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上海市戏剧学院附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年上海市戏剧学院附中高一(上)期中数学试卷
一、填空题: (每题 4 分,共 40 分) 1. (4 分)设 A={x|x≥﹣2},B={x|x≤3},则集合 A∩B=. 2. (4 分)若 f(x)=x ,g(x)= ,则 f(x)?g(x)=.

3. (4 分)命题“若 a?b=0,则实数 a=0 或 b=0”的否命题是.

4. (4 分)已知

,则 f(f(﹣2) )=.

5. (4 分)函数 y=x+

(x>1)的最小值为.

6. (4 分)函数

的定义域是.

7. (4 分)若二次函数 y=x +bx+c 的两个零点分别是﹣1,2,则不等式 f(x)<0 的解集是. 8. (4 分)y=x ﹣4x﹣1(x∈[0,3])的最大值是 M,最小值是 m,则 M﹣m 的值是. 9. (4 分)已知奇函数 y=f(x)在区间[0,+∞)为 f(x)=x +2x,则 y=f(x)在区间(﹣∞, 0)上的解析式 f(x)=. 10. (4 分)研究问题:“已知关于 x 的不等式 ax ﹣bx+c>0 的解集为(1,2) ,则关于 x 的不 等式 cx ﹣bx+a>0 有如下解法:由 则 于 x 的不等式 ,所以不等式 cx ﹣bx+a>0 的解集为
2 2 2 2 2

2

,令



.参考上述解法,已知关

的解集为(﹣2,﹣1)∪(2,3) ,则关于 x 的不等式 的解集.

二、选择题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 11. (3 分)下列四组函数中,函数 f(x)与 g(x)表示同一个函数的是() A.f(x)=|x|,g(x)= B. f(x)=2x,g(x)=

C. f(x)=x,g(x)=

D.f(x)=x,g(x)=

12. (3 分)已知条件 p:x>1,条件 q: A.充分非必要条件 C. 充要条件

,则 p 是 q 成立的() B. 必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

13. (3 分)下列四个命题中,为真命题的是() 2 2 A.若 a>b,则 ac >bc B. 若 a>b,c>d 则 a﹣c>b﹣d C. 若 a>|b|,则 a >b
2 2

D.若 a>b,则 <
2

14. (3 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x ﹣x,则 f(1)=() A.﹣3 B . ﹣1 C. 1 D.3

三、解答题: (8 分+8 分+10 分+10 分+12 分=48 分) 2 15. (8 分)已知集合 A={1,4,x},集合 B={1,x },且 B?A,求实数 x 的值及集合 A,B. 16. (8 分)若不等式|x﹣2|﹣2>0 的解集为 A,函数 g(x)= 求 A,B 及 A∪?UB. 17. (10 分)设函数 f(x)=ax +(b﹣2)x+3(a≠0) ,若不等式 f(x)>0 的解集为(﹣1,3) . (1)求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在 x∈[m,1]上的最小值为 1,求实数 m 的值. 18. (10 分)如图设计一幅矩形宣传画,要求画面(阴影部分)面积为 4840cm ,画面上下边 要留 8cm 空白,左右要留 5cm 空白,怎样确定画面的高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张 面积最小?
2 2

的定义域为 B,U=R,

19. (12 分)已知函数 (1)判断并证明 y=f(x)在 x∈(0,+∞)上的单调性;

(2)若存在 x0,使 f(x0)=x0,则称 x0 为函数 f(x)的不动点,现已知该函数有且仅有一个 不动点,求 a 的值,并求出不动点 x0; (3)若 f(x)<2x 在 x∈(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围.

四、附加题: (4 分+16 分) 20. (4 分)不等式|x|≥a(x+1)对任意的实数 x 都成立,则实数 a 的取值范围是. 21. (16 分)已知 x∈R,函数 f(x)=x+ (x∈[0,+∞) ) ,求函数 f(x)的最小值.

2014-2015 学年上海市戏剧学院附中高一(上)期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、填空题: (每题 4 分,共 40 分) 1. (4 分)设 A={x|x≥﹣2},B={x|x≤3},则集合 A∩B=[﹣2,3]. 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 观察两个集合,形式已得到化简,依据交集定义求出两个集合的公共部分. 解答: 解:∵A={x|x≥﹣2},B={x|x≤3} ∴A∩B={x|﹣2≤x≤3} 故答案为:[﹣2,3]. 点评: 本题考查交集及其运算,解题的关键是掌握理解好交集的定义,并能根据定义求出 两个集合的交集. 2. (4 分)若 f(x)=x ,g(x)= ,则 f(x)?g(x)=2x,x>0.

考点: 专题: 分析: 解答:

函数解析式的求解及常用方法. 计算题;函数的性质及应用. 先确定定义域,再求函数的解析式. 解:由题意,x>0, ? =2x,

f(x)?g(x)=x

故答案为:2x,x>0. 点评: 本题考查了函数解析式的求法,属于基础题. 3. (4 分)命题“若 a?b=0,则实数 a=0 或 b=0”的否命题是若 a?b≠0,则实数 a≠0 且 b≠0.

考点: 四种命题. 专题: 阅读型. 分析: 命题的否命题是把命题的条件否定做条件,结论否定做结论,根据规则写出否命题 即可 解答: 解:命题“若 a?b=0,则实数 a=0 或 b=0”的否命题是“若 a?b≠0,则实数 a≠0 且 b≠0” 故答案为:若 a?b≠0,则实数 a≠0 且 b≠0 点评: 本题考查四种命题,要求按规则写出命题的否命题,本题易将否命题错为命题的否 定而致错,对基本概念要正确理解.

4. (4 分)已知

,则 f(f(﹣2) )=﹣10.

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 本题属于基础题,根据分段函数在各个区间的解析式直接代入即可. 解答: 解:∵ ∴f(﹣2)=(﹣2) +1=5,f(f(﹣2) )=f(5)=
2

﹣2×5=﹣10 故答案为:﹣10. 点评: 理解分段函数的意义以及运算是解决此问题的关键. 5. (4 分)函数 y=x+ (x>1)的最小值为 .

考点: 专题: 分析: 解答: ∴y=x+

基本不等式. 不等式的解法及应用. 变形利用基本不等式的性质即可得出. 解:∵x>1, =x﹣1+ (x>1)的最小值为 +1. +1= +1, 当且仅当 x= +1 时取等号.

∴函数 y=x+

故答案为: +1. 点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.

6. (4 分)函数

的定义域是(﹣∞,﹣2)∪[1,+∞) .

考点: 函数的定义域及其求法.

分析: 偶次开方一定要非负,即 值范围. 解答: 解:由

,并且分母不能为 0,即 x+2≠0,进而求出 x 的取

且 x+2≠0 解得:x<﹣2 或 x≥1

故答案为: (﹣∞,﹣2)∪[1,+∞) . 点评: 定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现,通常注意偶次开方时被开方数一 定非负,分式中分母不能为 0,对数函数的真数一定要大于 0,指数和对数的底数大于 0 且不 等于 1.另外还要注意正切函数的定义域. 7. (4 分)若二次函数 y=x +bx+c 的两个零点分别是﹣1,2,则不等式 f(x)<0 的解集是(﹣ 1,2) . 考点: 一元二次不等式的解法;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 由﹣1 和 2 是函数 y=x +bx+c 的零点,从而求出不等式 f(x)<0 的解集. 2 解答: 解:二次函数 y=x +bx+c 的两个零点分别是﹣1,2, 又二次函数开口向上, f(x)<0 的解集是(﹣1,2) , 故答案为: (﹣1,2) 点评: 本题考查了函数的零点与求一元二次不等式的解集的问题,解题时注意二次函数的 开口方向,是解题的关键. 8. (4 分)y=x ﹣4x﹣1(x∈[0,3])的最大值是 M,最小值是 m,则 M﹣m 的值是 4. 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中的函数的解析式, 分析出函数的单调性, 进而根据函数的单调性得到区间[0, 3]上函数的最大值是 M,最小值是 m,进而得到答案. 2 2 解答: 解:y=x ﹣4x﹣1=(x﹣2) ﹣5 其图象是以直线 x=2 为对称轴,开口方向向上的抛物线 故函数在区间[2,3]为为增函数,在区间[0,2]上为减函数 ∴当 x=0 时,最大值 M=﹣1 当 x=2 时,最小值 m=﹣5, ∴M﹣m=4. 故答案为:4. 点评: 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义,其中熟练掌握二次函数的图象和性 质是解答本题的关键. 9. (4 分)已知奇函数 y=f(x)在区间[0,+∞)为 f(x)=x +2x,则 y=f(x)在区间(﹣∞, 2 0)上的解析式 f(x)=﹣x +2x. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用.
2 2 2

分析: 设 x∈(﹣∞,0) ,则﹣x∈(0,+∞) ,由已知表达式可求得 f(﹣x) ,根据奇函数性 质可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,从而可求得 f(x) . 解答: 解:设 x∈(﹣∞,0) ,则﹣x∈(0,+∞) , 2 2 则 f(﹣x)=(﹣x) +2×(﹣x) ,=x ﹣2x, 又 f(x)为奇函数,所以 f(﹣x)=﹣f(x) , 2 所以 f(x)=﹣f(﹣x)=﹣x +2x, 2 故 f(x)=﹣x +2x,x∈(﹣∞,0) . 2 故答案为﹣x +2x 点评: 本题考查函数奇偶性的判断及其应用,属基础题,定义是解决该类问题的基础. 10. (4 分)研究问题:“已知关于 x 的不等式 ax ﹣bx+c>0 的解集为(1,2) ,则关于 x 的不 等式 cx ﹣bx+a>0 有如下解法:由 则 于 x 的不等式 的解集 ,所以不等式 cx ﹣bx+a>0 的解集为
2 2 2

,令



.参考上述解法,已知关

的解集为(﹣2,﹣1)∪(2,3) ,则关于 x 的不等式 .

考点: 类比推理. 专题: 压轴题;探究型. 分析: 先明白题目所给解答的方法: ax ﹣bx+c>0 化为 为 cx ﹣bx+a>0,解答不等式;然后依照所给定义解答题目即可. 解答: 解:关于 x 的不等式 + <0 的解集为(﹣2,﹣1)∪(2,3) ,
2 2

, 类推



替换 x,不等式可以化为:

可得

可得 故答案为: .

点评: 本题是创新题目,考查理解能力,读懂题意是解答本题关键,将方程问题和不等式 问题进行转化是解答本题的关键. 二、选择题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 11. (3 分)下列四组函数中,函数 f(x)与 g(x)表示同一个函数的是() A.f(x)=|x|,g(x)= B. f(x)=2x,g(x)=

C. f(x)=x,g(x)=

D.f(x)=x,g(x)=

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 通过求函数的定义域以及化简函数解析式即可找出表示同一函数的选项. 解答: 解:A.不是同一函数,定义域不同,f(x)定义域为 R,g(x)定义域为[0,+∞) ; B.不是同一函数,定义域不同,f(x)定义域为 R,g(x)定义域为{x|x≠0}; C.是同一函数,g(x)= =x=f(x) ; =|x|.

D.不是同一函数,对应法则即解析式不同,g(x)=

故选 C. 点评: 考查确定函数的两要素:定义域和对应法则,以及求函数的定义域,以及对于函数 解析式的化简.

12. (3 分)已知条件 p:x>1,条件 q: A.充分非必要条件 C. 充要条件

,则 p 是 q 成立的() B. 必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

考点: 充要条件. 专题: 计算题. 分析: 先通过解分式不等式化简命题 q,再判断 p 成立是否推出 q 成立;条件 q 成立是否推 出 p 成立,利用充要条件的定义判断出 p 是 q 成立的什么条件. 解答: 解:条件 q: 即为 x>1 或 x<0

若条件 p:x>1 成立则命题 q 一定成立; 反之,当条件 q 成立即有 x>1 或 x<0 不一定有条件 p:x>1 成立 所以 p 是 q 成立的充分非必要条件 故选 A. 点评: 判断一个条件是另一个条件的什么条件,应该先化简两个条件,再利用充要条件的 定义进行判断. 13. (3 分)下列四个命题中,为真命题的是() A.若 a>b,则 ac >bc C. 若 a>|b|,则 a >b
2 2 2 2

B. 若 a>b,c>d 则 a﹣c>b﹣d D.若 a>b,则 <

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 分析: A,若 a>b,当 c=0 时,ac =bc ,可判断 A; B,令 a=3,b=2,c=2,d=0,可判断 B; C,利用不等式的性质可判断 C;

D,令 a=2>﹣1=b,可判断 D. 解答: 解:A,若 a>b,当 c=0 时,ac =bc ,A 错误; B,若 a=3,b=2,c=2,d=0,满足 a>b,c>d,但 a﹣c=1<b﹣d=2,故 B 错误; 2 2 2 C,若 a>|b|,则 a >|b| =b ,正确; D,若 a=2>﹣1=b,则 >﹣1,故 < 错误. 故选:C. 点评: 本题考查不等式的基本性质及应用,特值法是解决选择题的良好方法,属于中档题. 14. (3 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x ﹣x,则 f(1)=() A.﹣3 B . ﹣1 C. 1 D.3 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 要计算 f(1)的值,根据 f(x)是定义在 R 上的奇函数,我们可以先计算 f(﹣1) 2 的值,再利用奇函数的性质进行求解,当 x≤0 时,f(x)=2x ﹣x,代入即可得到答案. 2 解答: 解:∵当 x≤0 时,f(x)=2x ﹣x, 2 ∴f(﹣1)=2(﹣1) ﹣(﹣1)=3, 又∵f(x)是定义在 R 上的奇函数 ∴f(1)=﹣f(﹣1)=﹣3 故选 A 点评: 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题 的关键. 三、解答题: (8 分+8 分+10 分+10 分+12 分=48 分) 15. (8 分)已知集合 A={1,4,x},集合 B={1,x },且 B?A,求实数 x 的值及集合 A,B. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 2 2 分析: 根据 B?A,得到 x =4 或 x =x,解方程即可. 2 2 解答: 解:∵B?A,∴x =4 或 x =x…(2 分) 2 由 x =4,解得 x=2 或 x=﹣2 2 由 x =x,解得 x=0 或 x=1(舍 x=1)…. (4 分) 故 当 x=2 时,A={1,4,2},B={1,4}; 当 x=﹣2 时,A={1,4,﹣2},B={1,4}; 当 x=0 时,A={1,4,0},B={1,0}…..(8 分) 点评: 本题考查了集合的关系,如果 B?A,那么任意 x∈B,则 x∈A. 16. (8 分)若不等式|x﹣2|﹣2>0 的解集为 A,函数 g(x)= 求 A,B 及 A∪?UB. 考点: 绝对值不等式的解法;交、并、补集的混合运算;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 的定义域为 B,U=R,
2 2 2 2

分析: 利用绝对值不等式以及一元二次不等式的解法分别求出集合 A、B,再利用集合的混 合运算即可求出. 解答: 解:∵不等式|x﹣2|﹣2>0 的解集为 A, ∴A={x|x<0 或 x>4}, ∵函数 g(x)=
2

的定义域为 B,

∴x +x﹣2≥0 的解集为 B, ∴B={x|x≤﹣2 或 x≥1}, 则 CUB={x|﹣2≤x≤1}, ∴A∪?UB={x|x<1 或 x>4}. 点评: 此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的交集、并集及补集运算,为高考中的 常考内容,要认真掌握,并确保得分 17. (10 分)设函数 f(x)=ax +(b﹣2)x+3(a≠0) ,若不等式 f(x)>0 的解集为(﹣1,3) . (1)求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在 x∈[m,1]上的最小值为 1,求实数 m 的值. 考点: 一元二次不等式的应用;函数单调性的性质. 分析: 由不等式 f(x)>0 的解集为(﹣1,3)知:﹣1,3 是方程 f(x)=0 的两根,由韦 达定理便可解得 a,b 的值.由第(1)问求得 f(x)的解析式,得知 f(x)的开口方向以及 对称轴,判断出 f(x)在[m,1]上的单调性,然后由最小值等于 1 列方程,解得 m 的值.
2

解答: 解: (1)由条件得

解得:a=﹣1,b=4. 2 (2)f(x)=﹣x +2x+3 函数开口方向向下,对称轴方程为 x=1, ∴f(x)在 x∈[m,1]上单调递增, 2 ∴x=m 时 f(x)min=﹣m +2m+3=1 解得 . ∵ ,∴ . 点评: 考查一元二次不等式的解法,以及一元二次函数的单调性. 18. (10 分)如图设计一幅矩形宣传画,要求画面(阴影部分)面积为 4840cm ,画面上下边 要留 8cm 空白,左右要留 5cm 空白,怎样确定画面的高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张 面积最小?
2

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 设画面高为 xcm,宽为 ycm,求出所需纸张面积 S 的表达式,利用基本不等式求解 即可. 解答: 解:设画面高为 xcm,宽为 ycm,依意有 xy=4840,x>0,y>0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) 则所需纸张面积 S=(x+16) (y+10)=xy+16y+10x+160, 即 S=5000+16y+10x,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ∵x>0,y>0,xy=4840 ∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 当且仅当 16y=10x,即 x=88,y=55 时等号成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) 即当画面高为 88cm,宽为 55cm 时,所需纸张面积最小为 6760cm ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 点评: 本题考查函数的模型与应用,基本不等式的应用,考查计算能力.
2

19. (12 分)已知函数 (1)判断并证明 y=f(x)在 x∈(0,+∞)上的单调性; (2)若存在 x0,使 f(x0)=x0,则称 x0 为函数 f(x)的不动点,现已知该函数有且仅有一个 不动点,求 a 的值,并求出不动点 x0; (3)若 f(x)<2x 在 x∈(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题. 专题: 综合题. 分析: (1)先对函数的表达式进行化简,然后根据函数单调性的定义进行判断. (2)令 出 a 的值. (3) 将函数解析式代入 ( f x) <2x 中, 整理为 的最小值,令此最小值大于 ,即可求出 a 的范围. 解答: 解: (1) 对任意的 x1,x2∈(0,+∞)且 x1> x2 ∵x1>x2>0 ∴x1﹣x2>0,x1x2>0 ∴f(x1)﹣f(x2)>0,函数 y=f(x)在 x∈(0,+∞)上单调递增. (2)解:令 , , 在根据基本不等式的知识求出 转化为二次函数,根据该函数有且仅有一个不动点,令判别式等于 0 即可求

令 将
2

(负值舍去) 代入 ax ﹣x+a=0 得

(3)∵f(x)<2x ∴ ∵x>0 ∴ ∴ ∴a 的取值范围是 点评: 本题主要考查函数单调性的定义和基本不等式的应用.考查计算能力和综合运用能 力. 四、附加题: (4 分+16 分) 20. (4 分)不等式|x|≥a(x+1)对任意的实数 x 都成立,则实数 a 的取值范围是[﹣1,0]. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意不等式|x|≥a(x+1)对任意的实数 x 都成立,讨论 x+1、x 与 0 的关系,两边除 以 x+1,分离出 a,利用不等式的性质求最值,分别求出 a 的范围,最后求出交集即可. 解答: 解:由题意得,不等式|x|≥a(x+1) , ①若﹣1<x<0,原不等式化为:a≤ 又﹣1 >0,则 a≤0, = =﹣1 , (等号成立当 )

②若 x≥0 时,原不等式化为:a≤ 又 ,则 a≤0,

③若 x<﹣1,原不等式化为:a≥ 又﹣1 <﹣1,则 a≥﹣1,

=﹣1



④若 x=﹣1,则有 1≥0,恒成立; ∵不等式|x|≥a(x+1)对任意的实数 x 都成立, ∴以上情况取交集得,a∈[﹣1,0], 故答案为:[﹣1,0]. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,恒成立问题,运用了分类讨论的思想,解题的关键 是去掉绝对值,利用常数分离法进行求解,利用不等式的性质求最值,此类题目是高考常见的 题型.

21. (16 分)已知 x∈R,函数 f(x)=x+

(x∈[0,+∞) ) ,求函数 f(x)的最小值.

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 函数 f(x)=x+ (x∈[0,+∞) ) ,求函数 f(x)的最小值,探讨函数的单调性,

根据函数的单调性求得函数的最小值;而函数的单调性与参数 a 的取值有关,因此要对 a 取值 进行分类讨论. 解答: 解:设 x1、x2 是[0,+∞)内任意两个实数,且 x1<x2 则 f(x1)﹣f(x2)=x1+ ﹣x2﹣

=(x1﹣x2)+ (i)当 a<1 时, 1﹣ =

=(x1﹣x2) (1﹣

) .

>0, (x1﹣x2) (1﹣

)<0 即 f(x1)﹣f(x2)<0 因此,f(x)在[0,+∞)上时单调递增函数,故(f(x) )min=f(0)=a. (ii)当 a≥1 时, f(x)=x+ =(x+1)+ ,即 x= ﹣1≥2 ﹣1( ﹣1. ﹣1∈[0,+∝) )时,等号成立. ﹣1. .

当且仅当 x+1=

于是, (f(x) )min=f( 所以, (f(x) )min=

﹣1)=2

点评: 考查了应用函数单调性的定义探讨函数的单调性,注意:设 x1、x2 是[0,+∞)内任 意两个实数, 体现了分类讨论的数学思想; 应用函数的单调性求函数的最值也是常考的知识点, 属难题.


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