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2同角三角函数的基本关系及诱导公式含答案


高考同角三角函数的基本关系及诱导公式 基础巩固强化 1.已知{an}为等差数列,若 a1+a5+a9=π,则 cos(a2+a8)的值为 ( ) 1 A.-2 1 C.2 [答案] A π [解析] 由条件知,π=a1+a5+a9=3a5,∴a5=3, 2π π 1 ∴cos(a2+a8)=cos2a5=cos 3 =-cos3=-2,故选 A. 3 2. (文)(2012· 大

纲全国文)已知 α 为第二象限角, sinα=5, 则 sin2α =( ) 24 A.-25 12 C.25 [答案] A [解析] 此题是给值求值题,考查基本关系式、二倍角公式.∵ 3 π sinα=5,α∈(2,π),∴cosα=- 3 4 24 =2×5×(-5)=-25. [点评] 使用同角基本关系式求值时要注意角的范围. 2 (理)(2011· 河北石家庄一模)已知 α∈(0,π),且 sinα+cosα= 2 , 则 sinα-cosα 的值为( ) 3 4 1-?5?2=-5,∴sin2α=2sinαcosα 12 B.-25 24 D.25 3 B.- 2 3 D. 2

A.- 2 C. 2 [答案] D

6 B.- 2 6 D. 2

2 2 [解析] ∵sinα+cosα= 2 ,0< 2 <1,0<α<π, π ∴2<α<π,∴sinα-cosα>0. 1 ∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=2, 1 ∴2sinαcosα=-2; 3 ∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=2, 6 ∴sinα-cosα= 2 . 1 3.(文)已知角 α 的终边经过点 P(sin2θ,sin4θ),且 cosθ=2,则 α 的正切值为( 1 A.-2 1 C.2 [答案] B sin4θ 2sin2θ· cos2θ [解析] tanα=sin2θ= =2cos2θ sin2θ 1 =2(2cos2θ-1)=2(2×4-1)=-1,故选 B. (理)已知向量 a=(tanα,1),b=( 3,-1),α∈(π,2π)且 a∥b, ) B.-1 D.1

? ?π ? ? 则点 P?cos?2+α?,sin?π-α??在( ? ? ? ?

) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限 [答案] D

[解析] ∵a∥b,∴tanα=- 3, 5π ∵α∈(π,2π),∴α= 3 ,
?π ? 13π π ∴cos?2+α?=cos 6 =cos6>0, ? ? ? 2π? 2π sin(π-α)=sin?- 3 ?=-sin 3 <0, ? ?

∴点 P 在第四象限. 4.(2011· 绵阳二诊、长春模拟)已知 tanθ>1,且 sinθ+cosθ<0, 则 cosθ 的取值范围是( 2 A.(- 2 ,0) 2 C.(0, 2 ) [答案] A [解析] 5π 如图,依题意结合三角函数线进行分析可知, 2kπ+ 4 ) 2 B.(-1,- 2 ) 2 D.( 2 ,1)

3π 2 <θ<2kπ+ 2 ,k∈Z,因此- 2 <cosθ<0.选 A.

5.已知 tan140° =k,则 sin140° =( A. k 1+k2 k 1+k2 B.

) 1 1+k2 1 1+k2

C.-

D.-

[答案] C [解析] k=tan140° =tan(180° -40° )=-tan40° , ∴tan40° =-k,∴k<0,sin40° =-kcos40° , sin140° =sin(180° -40° )=sin40° , ∵sin240° +cos240° =1,∴k2cos240° +cos240° =1, ∴cos40° = -k 1 ,∴sin40° = 2 . k +1 k +1
2

π? ? π 6. (文)(2011· 重庆诊断)已知 2tanα· sinα=3, -2<α<0, 则 cos?α-6?
? ?

的值是( A.0 C.1

) 3 B. 2 1 D.2

[答案] A 2sin2α [解析] ∵2tanαsinα=3,∴ cosα =3,

2?1-cos2α? 即 cosα =3,∴2cos2α+3cosα-2=0, 1 ∵|cosα|≤1,∴cosα=2, π? ? π 3 ∵-2<α<0,∴sinα=- 2 ,∴cos?α-6? ? ? π π 1 3 3 1 =cosαcos6+sinαsin6=2× 2 - 2 ×2=0. sin?-250° ?cos70° (理)(2012· 广东六校联考) 2 的值为( cos 155° -sin225° 3 A.- 2 1 C.2 [答案] C [解析] 原式= = -sin?270° -20° ?cos?90° -20° ? 2 2 cos 25° -sin 25° 1 B.-2 3 D. 2 )

cos20° sin20° sin40° cos50° 1 =2cos50° =2,故选 C. cos50° =2cos50°

1 π 7. (文)(2011· 山东烟台模拟)若 sin(π+α)=2, α∈(-2, 0), 则 tanα =________. 3 [答案] - 3 1 [解析] 由已知得 sinα=-2, π 3 又 α∈(-2,0),所以 cosα= 1-sin2α= 2 , sinα 3 因此 tanα=cosα=- 3 .

5π 1 π π (理)(2011· 盐城模拟)已知 cos(12+α)=3, 且-π<α<-2, 则 cos(12 -α)=________. 2 2 [答案] - 3 π 7π 5π π [解析] ∵-π<α<-2,∴-12<12+α<-12, 5π 1 5π 2 2 ∵cos(12+α)=3,∴sin(12+α)=- 3 , π π 5π ∴cos(12-α)=cos[2-(12+α)] 5π 2 2 =sin(12+α)=- 3 . 8.已知向量 a=(cosα,-2),b=(sinα,1),且 a∥b,则 tan(α π -4)=________. [答案] -3 1 [解析] ∵a∥b,∴cosα+2sinα=0,∴tanα=-2, 1 -2-1 π tanα-1 ∴tan(α-4)= = 1 =-3. 1+tanα 1-2 2tan70° 9. 设 a= , b= 1+tan270° 1+cos109° 3 1 , c = cos81° + , 2 2 2sin99°

将 a、b、c 用“<”号连接起来________. [答案] b<c<a [解析] a= b= 2tan70° 2sin70° cos70° = 2 =sin140° , 2 1+tan 70° cos 70° +sin270° 1-cos71° =sin142° , 2

1+cos109° = 2

c=sin60° cos81° +cos60° sin81° =sin141° , ∵y=sinx 在(90° ,180° )内单调递减,∴a>c>b. 10.(文)已知三点:A(4,0),B(0,4),C(3cosα,3sinα). → |=|BC → |,求角 α 的值; (1)若 α∈(-π,0),且|AC 2sin2α+sin2α → → (2)若AC· BC=0,求 的值. 1+tanα [解析] 4), → |=|BC → |得,(3cosα-4)2+9sin2α=9cos2α+(3sinα-4)2?sinα 由|AC =cosα, 3π ∵α∈(-π,0),∴α=- 4 . →· → =0 得,3cosα(3cosα-4)+3sinα(3sinα-4)=0, (2)由AC BC 3 7 解得 sinα+cosα=4,两边平方得 2sinαcosα=-16, 2sin2α+sin2α 2sin2α+2sinαcosα 7 ∴ = = 2sin α cos α =- sinα 16. 1+tanα 1+cosα π π (理)已知 tan(α+4)=2,α∈(0,2). (1)求 tanα 的值; 4π (2)求 sin(2α+ 3 )的值. [解析] tanα+1 π tanα+1 π (1)∵tan(α+4)= ,tan(α+4)=2,∴ =2. 1-tanα 1-tanα → =(3cosα-4,3sinα),BC → =(3cosα,3sinα- (1)由题得AC

1 解得 tanα=3. 1 π 10 3 10 (2)由 tanα=3, α∈(0, ) , 可得 sin α = , cos α = 2 10 10 .因此 sin2α

3 4 4π 4π = 2sinαcosα = 5 , cos2α = 1 - 2sin2α = 5 , sin(2α + 3 ) = sin2αcos 3 + 4π 3 1 4 3 -3-4 3 cos2αsin 3 =-5×2-5× 2 = . 10 [ 点评 ] 1 2sinαcosα 求第 (2)问时,可由 tanα=3 得, sin2α= 2 = sin α+cos2α

cos2α-sin2α 1-tan2α 4 2tanα 3 4π =5,cos2α= 2 2 2 = 2 = ,再求 sin(2α+ 3 ). tan α+1 cos α+sin α 1+tan α 5 能力拓展提升 11.(2013· 浙江金华一中 12 月月考)△ABC 的内角 A 满足 tanA- sinA<0,sinA+cosA>0,则角 A 的取值范围是( π A.(0,4) π 3 C.(2,4π) [答案] C [解析] 由 tanA-sinA<0 及 A 为△ABC 的内角知,A 为钝角,排 3π 除 A、B;再由 sinA+cosA>0 知,A< 4 ,排除 D,选 C. π 2π [点评] ①可取特值检验,取 A=3, 3 ,排除 A、B、D; ②可利用单位圆中的三角函数线求解. π π B.(4,2) 3 D.(4π,π) )

12.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a、 7 b、c 成等比数列,且 a+c=3,tanB= 3 ,则△ABC 的面积为( 7 A. 4 7 C. 2 [答案] A [解析] ∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac, 7 7 3 ∵tanB= 3 ,∴sinB= 4 ,cosB=4, ∵a+c=3,b2=a2+c2-2accosB,∴ac=2, 1 7 ∴S△ABC=2acsinB= 4 . 13.(文)(2011· 哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联考) 4 π 已知 cosα=5,α∈(-4,0),则 sinα+cosα 等于( 1 A.5 7 C.-5 [答案] A 4 π [解析] 由于 cosα=5,α∈(-4,0), 3 1 所以 sinα=-5,所以 sinα+cosα=5,故选 A. (理)已知函数 f(x)=sinx-cosx 且 f ′(x)=2f(x), f ′(x)是 f(x)的导 1+sin2x 函数,则 2 =( cos x-sin2x ) 1 B.-5 7 D.5 ) 5 B. 4 5 D. 2 )

19 A.- 5 11 C. 3 [答案] A

19 B. 5 11 D.- 3

[解析] f ′(x)=cosx+sinx,∵f ′(x)=2f(x), 1+sin2x ∴ cosx + sinx = 2(sinx - cosx) , ∴ tanx = 3 , ∴ 2 = cos x-sin2x 1+sin2x 2sin2x+cos2x 2tan2x+1 19 = 2 = =- 5 . 2 cos x-2sinxcosx cos x-2sinxcosx 1-2tanx

14 . 已 知 函 数 ________. [答案] -1 [解析]

?2cosπx, 3 f(x) = ? ?x-102,

x≤2000 x>2000

, 则 f[f(2014)] =

?2cosπx, 3 由 f(x)=? ?x-102,
? ?

x≤2000 x>2000

得,f(2014)=2014-102

?π ? π π =1912,f(1912)=2cos?3×1912?=2cos(637π+3)=-2cos3=-1,故

f[f(2014)]=-1. π 7 2 π π 15.已知 sin(A+4)= 10 ,A∈(4,2),求 cosA. π π π π 3π [解析] 解法一:∵4<A<2,∴2<A+4< 4 , π 7 2 ∵sin(A+4)= 10 , π ∴cos(A+4)=- π 2 1-sin2?A+4?=- 10 .

π π π π ∴cosA=cos[(A+4)-4]=cos(A+4)cos4+ π π 2 2 7 2 2 3 sin(A+4)sin4=- 10 × 2 + 10 × 2 =5. π 7 2 解法二:∵sin(A+4)= 10 , 7 7 ∴sinA+cosA=5,∴sinA=5-cosA, 14 49 代入 sin2A+cos2A=1 中得 2cos2A- 5 cosA+25=1, π π 2 3 ∵4<A<2,∴0<cosA< 2 ,∴cosA=5. 16.(2011· 潍坊质检)如图,以 Ox 为始边作角 α 与 β(0<β<α<π),
? 3 4? 它们终边分别与单位圆相交于点 P,Q,已知点 P 的坐标为?-5,5?. ? ?

sin2α+cos2α+1 (1)求 的值; 1+tanα →· → =0,求 sin(α+β). (2)若OP OQ 3 4 [解析] (1)由三角函数定义得 cosα=-5,sinα=5,

2sinαcosα+2cos2α 2cosα?sinα+cosα? ∴原式= = sinα sinα+cosα 1+cosα cosα
? 3?2 18 ?- ? = . =2cos2α=2· 5 25 ? ?

→· → =0,∴α-β=π,∴β=α-π, (2)∵OP OQ 2 2 π 3 ∴sinβ=sin(α-2)=-cosα=5, π? ? 4 cosβ=cos?α-2?=sinα=5.
? ?

∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 4 4 ? 3? 3 7 ?- ? = . =5· 5+ 5 · 5 25
? ?

1. 设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+α), 其中 a, b, α∈R, 且 ab≠0, α≠kπ (k∈Z).若 f(2011)=5,则 f(2014)等于( A.4 C.-5 [答案] C [解析] ∵f(2011)=asin(2011π+α)+bcos(2011π+α)=-asinα- bcosα=5, ∴asinα+bcosα=-5.∴f(2014)=asinα+bcosα=-5. 2.设 cos(-80° )=k,那么 tan100° =( 1-k2 A. k C. k 1-k2 ) B.3 D.5 )

1-k2 B.- k D.- k 1-k2

[答案] B [解析] sin80° = 1-cos280° = 1-cos2?-80° ?= 1-k2, 1-k2 sin80° 所以 tan100° =-tan80° =-cos80° =- k . 3.已知 sin10° =a,则 sin70° 等于( A.1-2a2 C.1-a2 [答案] A [解析] 由题意可知,sin70° =cos20° =1-2sin210° =1-2a2,故 选 A. 4.下列关系式中正确的是( A.sin11° <cos10° <sin168° B.sin168° <sin11° <cos10° C.sin11° <sin168° <cos10° D.sin168° <cos10° <sin11° [答案] C [解析] ∵sin11° =cos79° ,sin168° =cos78° , 又∵y=cosx 在[0° ,90° ]上单调递减, 90° >79° >78° >10° , ∴cos79° <cos78° <cos10° , ∴sin11° <sin168° <cos10° ,选 C. π 3 1 5.(2012· 银川第一次质检)已知 α∈(0,2),sinα=5,则cos2α+ tan2α 的值为________. [答案] 7 ) )

B.1+2a2 D.a2-1

4 7 [解析] 由题意知, cosα= 1-sin2α=5, cos2α=1-2sin2α=25, sinα 3 2tanα 24 1 25 24 tanα=cosα=4,tan2α= ,因此 + tan2 α = 2 = cos2α 7+7= 1-tan α 7 7. sin?kπ-α?· cos[?k-1?π-α] 6.化简 =______(k∈Z). sin[?k+1?π+α]· cos?kπ+α? [答案] -1 [解析] 对参数 k 分奇数、偶数讨论.当 k=2n+1(n∈Z)时,原 sin?2nπ+π-α?· cos?2nπ-α? 式= sin?2nπ+2π+α?· cos?2nπ+π+α? = sin?π-α?· cosα sinα· cosα = =-1. sinα· cos?π+α? sinα· ?-cosα?

当 k=2n(n∈Z)时,原式 = = sin?2nπ-α?· cos?2nπ-π-α? sin?2nπ+π+α?· cos?2nπ+α? -sinα· ?-cosα? =-1. -sinα· cosα

sin?kπ-α?· cos[?k-1?π-α] 所以 =-1. sin[?k+1?π+α]· cos?kπ+α?


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