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2012高考理科圆锥曲线


2012 高考理科圆锥曲线
一、选择题
x y2 1.【2012 高考真题浙江理 8】如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a,b>0) a b
的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线 段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交与点 M,若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 A.
2

2 3 3

B。

6 2

C. 2

D.

3

2.【2012 高考真题新课标理 8】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准 线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为( )

( A) 2

(B) 2 2

(C ) ?

( D) ?

x2 y 2 3a 3.【2012 高考真题新课标理 4】设 F1F2 是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 2 a b
上一点, ?F2 PF 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 1
?



( A)

1 2

(B)

2 3

(C )

? ?

( D)

? ?

4.【2012 高考真题四川理 8】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 B、 2 3 C、 4 ) D、 2 5

5. 2012 高考真题山东理 10】 【 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心学率为 .双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的 2 a b 2

渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为 (A)

x2 y 2 ? ?1 8 2

(B)

x2 y 2 ? ?1 12 6

(C)

x2 y 2 ? ?1 16 4

(D)

x2 y 2 ? ?1 20 5

x2 y 2 6.【2012 高考真题湖南理 5】已知双曲线 C : 2 - 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上, a b
则 C 的方程为

-1-

x2 y2 x2 y 2 x2 y 2 A. =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20
7.【2012 高考真题福建理 8】已知双曲线 的焦点到其渐近线的距离等于 A.

x2 y2 D. =1 20 80

x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线 4 b

5

B. 4 2

C.3

D.5

8.【2012 高考真题安徽理 9】过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若

AF ? 3 ,则 ?AOB 的面积为(
( A)



2 2

(B)

2

(C )

3 2 2

( D) 2 2

9.【2012 高考真题全国卷理 3】 椭圆的中心在原点,焦距为 4 一条准线为 x=-4 ,则该椭圆的方程为 A

x2 y 2 + =1 16 12

B

x2 y 2 x2 y 2 + =1C + =1 12 8 8 4

D

x2 y 2 + =1 12 4

10. 2012 高考真题全国卷理 8】 【 已知 F1、 2 为双曲线 C: F x?-y?=2 的左、 右焦点, P 在 C 上, 1|=|2PF2|, 点 |PF 则 cos∠F1PF2= (A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

11.【2012 高考真题北京理 12】在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F.且与该撇物线相交于 A、B 两点.其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60?.则△OAF 的面积为

二、填空题
x2 y 2 ? ? 1 (a, b ? 0) 的两顶点为 A1 , A2 ,虚轴 a 2 b2 两端点为 B1 , B 2 ,两焦点为 F1 , F2 . 若以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B2 ,切点分别为 A, B, C , D . 则 (Ⅰ )双曲线的离心率 e ? ;
12.【2012 高考真题湖北理 14】如图,双曲线 (Ⅱ )菱形 F1 B1 F2 B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S 2 的比值 13.【2012 高考真题四川理 15】椭圆

S1 ? S2

.

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B ,当 4 3

?FAB 的周长最大时, ?FAB 的面积是____________。
14.【2012 高考真题陕西理 13】右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米. 15.【2012 高考真题重庆理 14】过抛物线 y ? 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两
2

点,若 AB ?

25 , AF ? BF , 则 AF = 12
-2-

.

16.【2012 高考真题辽宁理 15】已知 P,Q 为抛物线 x2 ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________。 17.【2012 高考真题江西理 13】椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 a2 b2

F1,F2。若 AF , F1F2 , F B 成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________. 1 1 18.【2012 高考江苏 8】 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 (5 的值为 ▲ .

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 m m m ?4

三、解答题
19.【2012 高考江苏 19】 (16 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分 a 2 b2

e 0) 别为 F1 (?c , , F2 (c , .已知 (1 , ) 和 ? e , 0)
(1)求椭圆的方程;

? ? ?

3? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 2 ? ?

(2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P.

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ? 20.【2012 高考真题浙江理 21】(本小题满分 15 分)如图,椭圆 C:
1 x2 y 2 + ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,其 2 a 2 b2

左焦点到点 P(2,1)的距离为 10 .不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程. 21.【2012 高考真题辽宁理 20】(本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 如图, 椭圆 C0 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0 , b 为常数), a, 动圆 C1 : x2 ? y 2 ? t1 , a b

b ? t1 ? a 。点 A1, A2 分别为 C0 的左,右顶点, C1 与 C0 相交于 A,B,C,D 四点。
(Ⅰ)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程;
2 (Ⅱ)设动圆 C2 : x2 ? y 2 ? t2 与 C0 相交于 A/ , B/ , C / , D/ 四点,其中 b ? t2 ? a , 2 t1 ? t2 。若矩形 ABCD 与矩形 A/ B / C / D / 的面积相等,证明: t12 ? t2 为定值。

22.【2012 高考真题湖北理】 (本小题满分 13 分)
-3-

设 A 是单位圆 x2 ? y 2 ? 1 上的任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线, D 是直线 l 与 x 轴的交点,点 且满足 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) . 当点 A 在圆上运动时, 记点 M 的轨迹为曲线 C . M 在直线 l 上, (Ⅰ )求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (Ⅱ )过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P ,Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴上的射影为点 N , 直线 QN 交曲线 C 于另一点 H . 是否存在 m ,使得对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH ?若存在,求

m 的值;若不存在,请说明理由.
23.【2012 高考真题北京理 19】 (本小题共 14 分)

24.【2012 高考真题广东理 20】 (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e= ,且椭圆 C 上的点到 Q 2 a b 3

(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n)使得直线 l :mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B, 且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由. 25.【2012 高考真题重庆理 20】 (本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 5 分(Ⅱ)小问 7 分) 如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左右焦点分别为 F1 , F2 , 线段 的中点分别为 B1 , B2 ,且△ AB1B2 是面积为 4 的直角三角形. (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 做直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2 ? QB2 ,求直线 l 的方程 26.【2012 高考真题四川理 21】(本小题满分 12 分) 如图,动点 M 到两定点 A(?1, 0) 、 B(2, 0) 构成 ?MAB ,且 ?MBA ? 2?MAB ,设动点 M 的轨迹为 C 。 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; ( Ⅱ ) 设 直 线 y ? ?2 x ? m与 y 轴 交 于 点 P , 与 轨 迹 C 相 交 于 点 Q、R , 且
y M

| P Q |? | P R ,求 |

| PR | 的取值范围。 | PQ |

A

O

B x

27.【2012 高考真题新课标理 20】 (本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆
2

F 交 l 于 B, D 两点;
0 (1)若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程;

(2) A, B, F 三点在同一直线 m 上, 若 直线 n 与 m 平行, n 与 C 只有一个公共点, 且 求坐标原点到 m, n 距离的比值.
-4-

28.【2012 高考真题福建理 19】如图,椭圆 E:

的左焦点为 F1,右焦点

为 F2,离心率 .过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 8. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程. (Ⅱ)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相较于点 Q.试探究:在坐标平 面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. 29. 2012 高考真题上海理 22】 【 (4+6+6=16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知双曲线 C1 :2 x 2 ? y 2 ? 1 . (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P 、 Q 两点,若 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,求证: OP ? OQ ; (3)设椭圆 C 2 : 4 x 2 ? y 2 ? 1,若 M 、 N 分别是 C1 、 C 2 上的动点,且 OM ? ON ,求证: O 到直线

MN 的距离是定值.
30.【2012 高考真题陕西理 19】本小题满分 12 分)

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率。 已知椭圆 C1 : 4
(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程。 31.【2012 高考真题山东理 21】 (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,F 是抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点,M 是抛物线 C 上位于第一象限内的
2

??? ?

??? ?

任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程;

3 . 4

(Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, 说明理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l : y ? kx ? 不同的交点 D, E ,求当

1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B , l 与圆 Q 有两个 4

1 2 2 ? k ? 2 时, AB ? DE 的最小值. 2

32.【2012 高考真题江西理 21】 (本题满分 13 分) 已知三点 O(0,0) ,A(-2,1) ,B(2,1) ,曲线 C 上任意一点 M(x,y)满足 MA ? MB ? OM ? (OA ? OB) ? 2 . (1) 求曲线 C 的方程; (2) 动点 Q(x0,y0) (-2<x0<2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 向:是否存在定点 P(0,t) (t<0) ,使得 l 与 PA,PB 都不相交,交点分别为 D,E,且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数?若 存在,求 t 的值。若不存在,说明理由。 33.【2012 高考真题天津理 19】 (本小题满分 14 分)
-5-

??? ???? ?

???? ??? ??? ? ? ?

x2 y 2 设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆上且异于 A,B 两点,O 为坐标 a b
原点. (Ⅰ)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ?

1 ,求椭圆的离心率; 2

(Ⅱ)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足 k ?

3.

2012 高考理科直线与圆
1.【2012 高考真题重庆理 3】任意的实数 k,直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 的位置关系一定是 (1) 相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心

2.【2012 高考真题浙江理 3】设 a∈R ,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y=0 与直线 l2 :x+(a+1)y+4=0 平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 )

4.【2012 高考真题陕西理 4】已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , l 过点 P(3, 0) 的直线,则( A. l 与 C 相交 B. l 与 C 相切 C. l 与 C 相离 D. 以上三个选项均有可能

5. 2012 高考真题天津理 8】 m, n ? R , 【 设 若直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1相 切,则 m+n 的取值范围是 (A) [1 ? 3,1 ? 3] (C) [2 ? 2 2,2 ? 2 2 ] (B) (??,1 ? 3] ? [1 ? 3,??) (D) (??,2 ? 2 2 ] ? [2 ? 2 2 ,??)

6. 【2012 高考江苏 12】 分) (5 在平面直角坐标系 xOy 中, C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 , 圆 若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ▲ . 7.【2012 高考真题全国卷理 21】 (本小题满分 12 分) (注意:在试卷上作答无效) ........ 已知抛物线 C:y=(x+1)2 与圆 M: (x-1)2+( y ?

1 2 ) =r2(r>0)有一个公共点,且在 A 处两曲线的切线为 2

同一直线 l. (Ⅰ)求 r; (Ⅱ)设 m、n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线,m、n 的交点为 D,求 D 到 l 的距离. 8.【2012 高考真题湖南理 21】 (本小题满分 13 分) 2 2 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2: (x-5) +y =9 外,且对 C1 上任意一点 M,M 到直线 x=﹣2 的距 离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点 A,B 和 C, D.证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值.

-6-


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