2017 届佛山一中高三 9 月考理科数学
一、单选题 1.已知全集 U=R,集合
集合为( ) , ,下图中阴影部分所表示的
A. 考点:集合的运算 答案:B 试题解析:
B.
C.
D.
所以图中阴影部分所表示的集合为
2.若复数 满足
A. B.
,则
( )
C.
D.
考点:复数乘除和乘方 答案:B 试题解析:因为 ,所以
所以
3.下列四个命题:
;
;
;
.
其中的真命题是(
A.
)
B. C. D.
考点:全称量词与存在性量词 答案:C 试题解析:当 x>0 时, 当x 时, 恒成立,故 1 错; 恒成立,故 2 正确;
当 x=
时,
故 3 错;
当
时,
故 4 正确 的图象大致是( )
4.函数
A.
B.
C.
D.
考点:函数图象 答案:A 试题解析:当 x>0 时,函数有两个零点 2,4,故排除 B,C; 又当 时,y<0,故选 A。
5.已知实数
满足条件
,且
则 的最小值是(
A. 考点:线性规划 答案:D
)
B. C. D.
试
题
解
析
:
作
可
行
域
:
由图知:当目标函数线过 A(3,1)时, 目标函数值最小,为
6.运行如图所示的程序框图,则输出的结果 为( )
A. 考点:算法和程序框图 答案:D 试 题 解 析 :
B.
C.
D.
是
;
是
;
是; 是; 是; 是; 是; 否,则输出的结果 为 。 上, 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 的取值范围是
7.已知点 P 在曲线 y=
( ) A.[0, C. 考点:导数的概念和几何意义 答案:D )
B. D.
试题解析:
且 y’<0.
即
倾斜角
的取值范围是 .若 ,且
。 ,则 B. D. 的取值范围是( )
8.已知函数
A. C. 考点:均值定理的应用 答案:B 试题解析: 所以 ab=1,所以
,即
若
,则
当且仅当 b=2a 时等号成立。
9.已知 为坐标原点,双曲线 过
上有一点
,
作两条渐近线的平行线,且与两渐近线的交点分别为 的面积为 ,则双曲线的离心率为( )
C.
,平行四边形
A.
B.
D.
考点:双曲线 答案:A 试题解析:P(a,0). 双曲线的渐近线为 直线 所以 所以 与 过P与 交点为 A( 平行的直线为: ) 。
所以
10.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,若粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体
的体积为( )
A.
B.
C.
D.
考点:空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图 答案:C 试题解析:
11.四面体
的四个顶点都在某个球
的表面上, 所
是边长为
的等边三角
形,当 A 在球 O 表面上运动时,四面体
能达到的最大体积为
,则四面体
的体积为(
)
A.
B.
C.
D.
考点:空间几何体的表面积与体积 答案:C 试题解析:当 A,O 在一条线上时,四面体 所以 设球的半径为 R, 所以 即四面体 所以四面体 的高为 9-5=4. 的体积为: 解得:R=5. 的体积最大,
12.已知函数
称的点,则 的取值范围是( A. )
与
的图象上存在关于
轴对
B.
C.
D.
考点:函数综合 答案:D 试题解析:问题等价于: 即 因为函数 当 所以 时, 时, 即 在( 在( )上有解。 在( )单调递增, )上有解。
13.设函数
(Ⅰ)解不等式 ;
.
(Ⅱ)若
,使得
,求实数
的取值范围.
考点:绝对值不等式 答案:见解析 试题解析: (Ⅰ) ①当 ,即 ②当 ,即 ③当 ,即 时, ,解得 ,又 ,∴ . ,解得 时, ,解得 ,又 ,∴ , ; 时, ,又 ,∴ ; , ,
综上,不等式
的解集为
(Ⅱ)
,∴
.
∵
,使得
,∴
,
整理得:
,解得:
,
因此
的取值范围是
二、填空题(共 4 小题)
14.从 六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位
数,这样的三位数共有______个. (结果用数字作答) 考点:排列组合综合应用
答案:48 试题解析:当偶数为 0 时,这样的三位数有 当偶数为 4 或 6 时,这样的三位数有 所以这样的三位数共有:12+36=48 个. 故答案为: 15.已知奇函数 的定义域为 R,直线 ______. 考点:函数综合 答案:1 试题解析:因为直线 所以 所以函数的周期为 4. 所以 故答案为: 16.已知 ,则 的展开式中常数项为__________________. 是曲线 ,即 的对称轴,且函数为奇函数, 是曲线 的对称轴,且 ,则 个, 个;
考点:二项式定理与性质积分 答案: 试题解析:
所以
的通项公式为:
令 所以展开式中常数项为: 故答案为: 17.若实数 为______. 考点:函数综合 答案:8 满足 ,则 的最小值
试题解析:因为
,
所以
的最小值为即为两曲线
上距离最近的两点间的距离的平方。
作 令 所以切线为:
的平行于
的切线。两平行线间距离最小。 切点为(1,-1) ,
所以两平行线间的距离为: 故答案为:8
三、解答题(共 7 小题)
18.在 (Ⅰ)求 (Ⅱ)若 中, 的值; ,求 的面积. , .
考点:两角和与差的三角函数正弦定理 答案:见解析 试题解析: (Ⅰ)在 所 中,因为 , , 以
(
Ⅱ
)
根
据
正
弦
定
理
得
:
,
.
19.已知等差数列 为等比数列, (Ⅰ)求 与
的各项均为正数, ,且 ;
,前 项和为 .
,
(Ⅱ)求和:
.
考点:倒序相加,错位相减,裂项抵消求和等差数列 答案:见解析 试题解析: (1) 设 的公差为 , 的公比为 , 则 ,
,
依题意有
①
解得
或
(舍去)
故
(2) . ∴
20.如图,
是半圆
的直径, 是半圆
上除
、
外的一个动点,
垂直于半圆
所在的平面,
∥
,
,
.
(Ⅰ)证明:平面 (Ⅱ)若
平面 ,求二面角
; 的余弦值.
考点:平面法向量的求法空间的角垂直 答案:见解析
试题解析:
(Ⅰ)证明:∵ ∵ ∵ ∵ ,∴ ∵ , 平面 平面 平面
是直径,∴ ,∴ ,∴ 平面 ,∴ . ,∴平面 平面 ., .
,
是平行四边形,
. , , ,
(Ⅱ)如图所示,建立空间直角坐标系,则 则 , .
设面
的法向量为
,
,即
,
取
,得
, 的 法 向 量 为 ,
由 题 意 可 知 平 面
. 可以判断 与二面角 的平面角互补,
二面角
的余弦值为
.
21.已知函数 (Ⅰ)若 在
, 上是增函数,求 的取值范围;
(Ⅱ)讨论函数
的零点个数.
考点:导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性 答案:见解析 试 题 解 析 :( Ⅰ ) 由 题 意 得 在 上 恒 成 立 。
. 在 上递增, . 时, 没有零点; .
的取值范围是 (Ⅱ) (1)当
(2)当
时
时, 且 ,因此 又
,
在
上单调递减, ;
有一个零点; 时 有
;
;
; ;
综上所述, 当 当 当 22.已知函数 (Ⅰ)求 , 的值; (Ⅱ)若对函数 的取值范围. (Ⅲ)求证:对一切 ,都有成立 定义域内的任一个实数 ,都有 恒成立,求实数 或 时,函数 没有零点; 时,函数 时,函数 有一个零点;
有两个零点 在点 处的切线方程为 .
考点:导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性 答案:见解析
试题解析: (Ⅰ)由
.
而点 又直线
在直线 的斜率为
上,∴ ,∴
, ,
故有
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
,由
.
令
.
令 ∴当 从而当 ∴ 在 时, 时, 是增函数,在 ,当 ,当
,∴ 时, 时, 是减函数,故 .
在区间 .
上是减函数,
要使 证明:要证 即证明: 设 当 时,
成立,只需
,故
的取值范围是 成立,
.
成立.
递增;当
时,
递减;
设 当 时 , 递 增 ; 当 时 , 递 减 ;
. 成立 23.如图,直线 与 相切于点 , 是 成立 的弦, 的平分线 交 于点
, 连结
, 并延长与直线
相交于点
, 若
,
.
(Ⅰ)求证: (Ⅱ)求弦 的长.
;
考点:圆相似三角形 答案:见解析 试题解析: (Ⅰ)证明:∵ 由切割线定理得: ∴ (Ⅱ)∵ 与 相切于点 ,∴ . . 与 相切于点 ,
∵ 又知 代入 由 ,
,∴
,∴
,
,得 ,知 ∽ ,
.
∴
,∴
.
24.在平面直角坐标系
中,直线 的参数方程为
( 为参数) ,直线
与曲线 (Ⅰ)求弦 (Ⅱ)以 的长;
交于
、
两点.
为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点
的极坐标为
,求点
到线段
的中点
的距离.
考点:参数和普通方程互化极坐标方程 答案:见解析
试题解析: (Ⅰ)直线 的参数方程
代入曲线
方程得
,
设 ∴ (Ⅱ) 又中点
对应的参数分别为 . 的直角坐标为 对应参数为
,则
,
,
,所以点 , 到线段
在直线 上,
由参数 的几何意义,∴点
中点
的距离
.