当前位置:首页 >> 数学 >>

创新设计2016


1.2.2
明目标、知重点

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)

1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则. 2.能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅 限于形如 f(ax+b)的导数).

1.概念 一般地,对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x)

,如果通过变量 u,y 可以表示成 x 的函数,那么 称这个函数为 y=f(u)和 u=g(x)的复合函数,记作 y=f(g(x)). 2.复合函数的求导法则 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′·ux′.即

y 对 x 的导数是 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

探究点一 复合函数的定义 思考 1 观察函数 y=2xcos x 及 y=ln(x+2)的结构特点,说明它们分别是由哪些基本函数 组成的? 答 y=2xcos x 是由 u=2x 及 v=cos x 相乘得到的; 而 y=ln(x+2)是由 u=x+2 与 y=ln u(x> -2)经过“复合”得到的,即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数.所以它们称为 复合函数. 思考 2 对一个复合函数,怎样判断函数的复合关系? 答 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程.在分析时可以从外向里出

发,先根据最外层的主体函数结构找出 y=f(u);再根据内层的主体函数结构找出函数 u=

g(x),函数 y=f(u)和 u=g(x)复合而成函数 y=f(g(x)).
思考 3 在复合函数中,内层函数的值域 A 与外层函数的定义域 B 有何关系? 答 A? B. 小结 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别,对于复合函数,要掌握引入中间变量,

将其分拆成几个基本初等函数的方法. 例 1 指出下列函数是怎样复合而成的: (1)y=(3+5x) ;(2)y=log3(x -2x+5); (3)y=cos 3x. 解 (1)y=(3+5x) 是由函数 y=u ,u=3+5x 复合而成的;
-12 2 2 2

(2)y=log3(x -2x+5)是由函数 y=log3u,u=x -2x+5 复合而成的; (3)y=cos 3x 是由函数 y=cos u,u=3x 复合而成的. 小结 分析函数的复合过程主要是设出中间变量 u,分别找出 y 和 u 的函数关系,u 和 x 的函 数关系. 跟踪训练 1 指出下列函数由哪些函数复合而成: (1)y=ln

2

2

x;(2)y=esin x;(3)y=cos ( 3x+1).

解 (1)y=ln u,u= x; (2)y=e ,u=sin x; (3)y=cos u,u= 3x+1. 探究点二 复合函数的导数 思考 如何求复合函数的导数? 答 对于简单复合函数的求导,其一般步骤为“分解——求导——回代”,即:(1)弄清复合 关系,将复合函数分解成基本初等函数形式; (2)利用求导法则分层求导;(3)最终结果要将 中间变量换成自变量.注意不要漏掉第(3)步回代的过程. 例 2 求下列函数的导数: (1)y=(2x-1) ;(2)y=
4

u

; 1-2x

1

π 2x+3 (3)y=sin(-2x+ );(4)y=10 . 3 解 (1)原函数可看作 y=u , u=2x-1 的复合函数, 则 yx′=yu′·ux′=(u )′·(2x-1)′ =4u ·2=8(2x-1) . (2)y= 1 1 =(1-2x)- 可看作 y=u- , u=1-2x 的复合函数, 则 yx′=yu′·ux′=(- 2 2 1-2x 1
3 3 4 4

1 3 3 1 )u- ·(-2)=(1-2x)- = ; 2 2 2 ?1-2x? 1-2x π (3)原函数可看作 y=sin u,u=-2x+ 的复合函数, 3 π 则 yx′=yu′·ux′=cos u·(-2)=-2cos(-2x+ ) 3 π =-2cos(2x- ). 3 (4)原函数可看作 y=10 ,u=2x+3 的复合函数, 则 yx′=yu′·ux′=10 反思与感悟
2x+3

u

·ln 10·2=(ln 100)10

2x+3

.

分析复合函数的结构,找准中间变量是求导的关键,要善于把一部分量、式子

暂时看作一个整体,并且它们必须是一些常见的基本函数.

-2-

复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程,直接运用公式, 从外层开始由外及内逐层求导. 跟踪训练 2 求下列函数的导数. (1)y=(2x+3) ; (2)y=e
-0.05x+1 3



(3)y=sin(π x+φ ). 解 (1)函数 y=(2x+3) 可以看成函数 y=u ,u=2x+3 的复合函数. ∴yx′=yu′·ux′=(u )′·(2x+3)′=2u·2=4(2x+3)=8x+12. (2)函数 y=e
-0.05x+1 2 2 2

可以看成函数 y=e 和函数 u=-0.05x+1 的复合函数.
u u
-0.05x+1

u

∴yx′=yu′·ux′=(e )′·(-0.05x+1)′=-0.05e =-0.05 e

.

(3)函数 y=sin(π x+φ )可以看成函数 y=sin u,u=π x+φ 的复合函数. ∴yx′=yu′·ux′=(sin u)′·(π x+φ )′=cos u·π =π cos(π x+φ ). 探究点三 导数的应用 例 3 求曲线 y=e 解 ∵y′=e ∴y′|
x?? 1 2

2x+1

1 在点(- ,1)处的切线方程. 2
2x+1,

2x+1

·(2x+1)′=2e

=2,
2x+1

∴曲线 y=e

1 在点(- ,1)处的切线方程为 2

y-1=2(x+ ),
即 2x-y+2=0. 反思与感悟 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数,要注意“在某点处的切线”与

1 2

“过某点的切线”两种不同的说法. 跟踪训练 3 曲线 y=e 方程. 解 设 u=sin x,则 y′=(e =cos xe
sin x sin x sin x

在(0,1)处的切线与直线 l 平行,且与 l 的距离为 2,求直线 l 的

)′=(e )′(sin x)′.

u

.

y′|x=0=1.
则切线方程为 y-1=x-0, 即 x-y+1=0. 若直线 l 与切线平行可设直线 l 的方程为 x-y+c=0.

-3-

|c-1| 两平行线间的距离 d= = 2? c=3 或 c=-1. 2 故直线 l 的方程为 x-y+3=0 或 x-y-1=0.

1.函数 y=(3x-2) 的导数为( A.2(3x-2) C.6x(3x-2) 答案 D

2

) B.6x D.6(3x-2)

解析 y′=2(3x-2)·(3x-2)′=6(3x-2). 2.若函数 y=sin x,则 y′等于( A.sin 2x C.sin xcos x 答案 A 解析 y′=2sin x·(sin x)′ =2sin x·cos x=sin 2x. 3.若 y=f(x ),则 y′等于( A.2xf′(x ) C.4x f(x) 答案 A 解析 设 x =u,则 y′=f′(u)·ux′ =f′(x )·(x )′=2xf′(x ). 4.设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直,则 a=________. 答案 2 解析 由题意知 y′|x=0=ae |x=0=a=2. [呈重点、现规律] 求简单复合函数 f(ax+b)的导数 求简单复合函数的导数,实质是运用整体思想,先把简单复合函数转化为常见函数 y=f(u),
ax ax
2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.2sin x D.cos x
2

) B.2xf′(x) D.f′(x )
2

u=ax+b 的形式,然后再分别对 y=f(u)与 u=ax+b 分别求导,并把所得结果相乘.灵活应
用整体思想把函数化为 y=f(u),u=ax+b 的形式是关键.

一、基础过关
-4-

1.下列函数不是复合函数的是( 1 3 A.y=-x - +1

)

x

π B.y=cos(x+ ) 4 D.y=(2x+3)
4

C.y=

1 ln x

答案 A π 解析 A 中的函数是一个多项式函数,B 中的函数可看作函数 u=x+ ,y=cos u 的复合函 4 1 数,C 中的函数可看作函数 u=ln x,y= 的复合函数,D 中的函数可看作函数 u=2x+3,y

u

=u 的复合函数,故选 A. 1 2.函数 y= 2的导数是( ?3x-1? A. 6 3 ?3x-1? B. ) 6 2 ?3x-1?

4

6 C.- 3 ?3x-1? 答案 C

6 D.- 2 ?3x-1?

1 -2 -6 解析 y′=[ 2]′= 3·(3x-1)′= 3,故选 C. ?3x-1? ?3x-1? ?3x-1? 3.若 f(x)=log3(x-1),则 f′(2)=________. 答案 1 ln 3 1 , ?x-1?ln 3

解析 f′(x)=[log3(x-1)]′= ∴f′(2)= 1 . ln 3
2

4.函数 y=x cos 2x 的导数为( A.y′=2xcos 2x-x sin 2x B.y′=2xcos 2x-2x sin 2x C.y′=x cos 2x-2xsin 2x D.y′=2xcos 2x+2x sin 2x 答案 B
2 2 2 2

)

解析 y′=(x )′cos 2x+x (cos 2x)′ =2xcos 2x+x ·(-2sin 2x) =2xcos 2x-2x sin 2x. 5.函数 y=(2 015-8x) 的导数 y′=________.
3 2 2

2

2

-5-

答案 -24(2 015-8x)

2

解析 y′=3(2 015-8x) ×(2 015-8x)′=3(2 015-8x) ×(-8)=-24(2 015-8x) . π π 6.曲线 y=cos(2x+ )在 x= 处切线的斜率为______. 6 6 答案 -2 解析 ∵y′=-2sin(2x+ π ), 6

2

2

2

π π ∴切线的斜率 k=-2sin(2× + )=-2. 6 6 7.函数 y=x(1-ax) (a>0),且 y′|x=2=5,则实数 a 的值为________. 答案 1 解析 y′=(1-ax) +x[(1-ax) ]′ =(1-ax) +x[2(1-ax)(-a)] =(1-ax) -2ax(1-ax). 由 y′|x=2=(1-2a) -4a(1-2a) =12a -8a+1=5(a>0),解得 a=1. 二、能力提升 8.已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为( A.1 C.-1 答案 B 解析 设直线 y=x+1 切曲线 y=ln(x+a)于点(x0,y0),则 y0=1+x0,y0=ln(x0+a), 又 y′= 1 1 ,∴y′|x=x0= =1, x+a x0+a B.2 D.-2 )
2 2 2 2 2 2 2

即 x0+a=1. 又 y0=ln(x0+a), ∴y0=0,∴x0=-1,∴a=2.
1

9.曲线 y= e 2 在点(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( 9 2 A. e 2 C.2e
2

x

2

)

B.4e D.e
2

2

答案 D
1 x 1 1 2 解析 ∵y′= e 2 · ,∴y′|x=4= e . 2 2

1 2 2 2 ∴曲线在点(4,e )处的切线方程为 y-e = e (x-4), 2
-6-

切线与坐标轴的交点分别是(0,-e ),(2,0), 则切线与坐标轴围成的三角形面积

2

S= |-e2||2|=e2.
10.若 f(x)=(2x+a) ,且 f′(2)=20,则 a=________. 答案 1 解析 f′(x)=2(2x+a)·2=4(2x+a),f′(2)=16+4a=20,∴a=1. 11.已知 a>0,f(x)=ax -2x+1+ln(x+1),l 是曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线.求 切线 l 的方程. 解 f(x)=ax -2x+1+ln(x+1),f(0)=1. 1 2ax +?2a-2?x-1 ∴f′(x)=2ax-2+ = , x+1 x+1
2 2 2 2

1 2

f′(0)=-1,
∴切点 P 的坐标为(0,1),l 的斜率为-1, ∴切线 l 的方程为 x+y-1=0. 12.有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离 s(单位:m)关于时间 t(单位: s)的函数为 s=s(t)=5- 25-9t .求函数在 t=
2 2

7 s 时的导数,并解释它的实际意义. 15
2

解 函数 s=5- 25-9t 可以看作函数 s=5- x和 x=25-9t 的复合函数,其中 x 是中间 变量. 1 ?1 由导数公式表可得 sx′=- x 2 ,xt′=-18t. 2 故由复合函数求导法则得 st′=sx′·xt′ 1 ?1 9t =(- x 2 )·(-18t)= , 2 2 25-9t 7 7 将 t= 代入 s′(t),得 s′( )=0.875 (m/s). 15 15 7 它表示当 t= s 时,梯子上端下滑的速度为 0.875 m/s. 15 三、探究与拓展 13.曲线 y=e ·cos 3x 在(0,1)处的切线与直线 l 的距离为 5,求直线 l 的方程. 解 y′=(e )′·cos 3x+e ·(cos 3x)′ =2e ·cos 3x-3e ·sin 3x, ∴y′|x=0=2. ∴经过点(0,1)的切线方程为 y-1=2(x-0), 即 y=2x+1.
-72x 2x 2x 2x 2x

设适合题意的直线方程为 y=2x+b, 根据题意,得 5= ∴b=6 或-4. ∴适合题意的直线方程为 y=2x+6 或 y=2x-4. |b-1| , 5

-8-


相关文章:
2016届 《创新设计》高考总复习 大一轮
2016 届 《创新设计》高考总复习 大一轮 《创新设计》高考总复习 大一轮 ( 湖南专用 )---字形练习 2>2016 届 《创新设计》 高考总复习 大一轮 ( 湖南专用 ...
(语文)2016届 《创新设计》
(语文)2016届 《创新设计》_语文_高中教育_教育专区。必修二 文言基础知识 《氓》 《采薇》 《离骚》 《孔雀东南飞》 《归园田居》 《兰亭集序》 《赤壁赋...
创新设计2016届历史专题通关练习测评实力综合卷(一).doc
创新设计2016届历史专题通关练习测评实力综合卷(一).doc_政史地_高中教育_教育专区。第四部分 测评实力综合卷 测评实力综合卷(一) (时间:90 分钟 分值:150 分...
2016年全国大学生生物医学工程创新设计竞赛电子类命题...
2016年全国大学生生物医学工程创新设计竞赛电子类命题说明_营销/活动策划_计划/解决方案_实用文档。2016 年全国生物医学工程创新设计竞赛命题组电子类 心电数据采集与...
【创新设计】2015-2016学年高中数学(人教A版选修2-1)同...
创新设计】2015-2016学年高中数学(人教A版选修2-1)同步课时作业与单元检测:常用逻辑用语1.1.2_数学_高中教育_教育专区。【创新设计】2015-2016学年高中数学(...
《创新设计》2016年高考生物(课标人教版)一轮复习教师W...
创新设计2016年高考生物(课标人教版)一轮复习教师WORD文档(全套)1-2单元_英语_高中教育_教育专区。基础课时案 1 2016 备考· 最新考纲 借助显微镜走近细胞 1...
《创新设计》2016年高考化学一轮复习教师用书WORD文档1...
创新设计2016年高考化学一轮复习教师用书WORD文档11-12章完_理化生_高中教育_教育专区。《创新设计2016年高考化学一轮复习教师用书WORD文档11-12章完 ...
2016创新设计外研版英语必修1
2016创新设计外研版英语必修1_高三英语_英语_高中教育_教育专区。最优质详细的复习学案资料 第1 课时 Part 1 个人情况(Personal information) 基础梳理 导· 学·...
《创新设计》2016年高考物理一轮复习WORD版训练1-2-1.doc
创新设计2016年高考物理一轮复习WORD版训练1-2-1.doc_生活休闲。第二章 相互作用 第 1 课时 重力、弹力 基本技能练 1.如图 1 所示,两辆车在以相同的...
【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 小题综合...
创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 小题综合限时练一 文_数学_高中教育_教育专区。【创新设计】 (全国通用)2016 高考数学二轮复习 小题综合限时练一 ...
更多相关标签: