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高考专题辅导与测试第1部分 专题一 第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)


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第1部分 专题一 集合、常用逻辑用语、不等 式、函数与导数

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

第一讲

集合、常用逻辑用语?选择、填空题型?

考点统计

集合的概念及运算 命题及逻辑联结词 充要条件 量词、含量词的命题的否定 3年37考 3年4考 3年14考 3年6考

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

考情分析 1.高考对集合的考查主要是集合的含义、集合之间的基本关 系和集合的运算,并且以集合的运算为主.试题往往与不等式的

解集、函数的定义域和值域、方程的解集、平面上的点集等相互
交汇,如2013年安徽T2等.试题难度不大,但涉及的知识面较广, 同时还应注意在集合中常以创新题的形式考查考生分析问题和解

决问题的能力.
2.高考对常用逻辑用语的考查主要是命题、充要条件、逻辑联 结词和量词,并且以充要条件的判断、命题真假的判断为主,如

2013年安徽T4,新课标全国卷ⅠT5等.这两类问题通常把逻辑的
有关知识与具体数学知识结合在一起考查.对含有量词的命题的 否定也是一个值得注意的考点,该部分的备考以基本知识为主.
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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

1.(2013· 安徽高考)已知 A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1}, 则(?RA)∩B= A.{-2,-1} C.{-1,0,1} B.{-2} D.{0,1} ( )

解析:集合 A={x|x>-1},所以?RA={x|x≤-1},所以 (?RA)∩B={-2,-1}.
答案:A
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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

2.(2013· 重庆高考)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否 定为 A.对任意x∈R,都有x2<0 B.不存在x∈R,使得x2<0
2 C.存在x0∈R,使得x0≥0 2 D.存在x0∈R,使得x0<0

(

)

解析:因为“?x∈M,p(x)”的否定是“?x0∈M,綈 p(x0)”,故“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定是“存在x0 2 ∈R,使得x0<0”. 答案:D
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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

3.(2013· 安徽高考)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件

)

D.既不充分也不必要条件

1 1 解析:由(2x-1)x=0可得x= 2 或0,所以“x= 2 或0”是 “x=0”的必要不充分条件.

答案:B

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

4.(2013· 湖北高考)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一 次.设命题 p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指 定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围” 可表示为 A.(綈 p)∨(綈 q) B.p∨(綈 q) ( )

C.(綈 p)∧(綈 q) D.p∨q 解析:由题意可知,“至少有一位学员没有降落在指定范 围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”,使用
“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(綈p)∨(綈q). 答案:A
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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

5.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知命题 p:?x∈R,2x<3x;命题 q: ?x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是 A.p∧q B.綈 p∧q ( )

C.p∧綈 q D.綈 p∧綈 q 解析:容易判断当 x≤0 时 2x>3x,命题 p 为假命 题,分别作出函数 y=x3,y=1-x2 的图像,易
知命题 q 为真命题.根据真值表易判断綈 p∧q 为真命题.

答案:B
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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

1.集合的运算性质与结论 (1)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A. (2)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A. (3)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U. (4)A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A.

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

2.四种命题的关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关 系. 3.充分条件与必要条件 (1)若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p,q 互为充要条件; (2)充要条件与集合的关系:设命题 p 对应集合 A,命题 q 对 应集合 B,则 p?q 等价于 A?B,p?q 等价于 A=B.
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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

4.复合命题真假的判断方法 命题p∧q,p∨q及綈p真假可以用下表来判定:

p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

p∧q 真 假 假 假

p∨q 真 真 真 假

綈p 假 假 真 真

口诀记忆:p∨q,一真则真;p∧q,一假则假;綈p与p 真假相反.
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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

5.全(特)称命题及其否定 (1)全称命题p:?x∈M,p(x).它的否定綈p:?x0∈M, 綈p(x0). (2)特称命题p:?x0∈M,p(x0).它的否定綈p:?x∈M, 綈p(x).

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

集合的概念及运算
[例 1] (1)(2012· 山东高考)已知集合 A={0,1,2},则集合 B ( D.9 )

={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是 A.1 B.3 C.5

(2)(2013· 原 模 拟 ) 已 知 全 集 U = 太 {0,1,2,3,4},A={1,2,3},B={2,4},则如图阴 影部分表示的集合为 A.{0,2}
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(

) C.{1,3,4} D.{2,3,4}

B.{0,1,3}

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

(3)(2013· 合肥模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈ R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R},若A∩B= [0,3],则实数m的值为________.

[自主解答]

(1)逐个列举可得.x=0,y=0,1,2时,x-y

=0,-1,-2;x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;x=2, y=0,1,2时,x-y=2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 的元素为-2,-1,0,1,2,共5个. (2)由于?U(A∪B)={0},A∩B={2},故阴影部分所表示 集合为{0,2}.

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

(3)由已知得 A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}, 因为
?m-2=0, ? A∩B=[0,3],所以? ?m+2≥3, ? ?m=2, ? 即? ?m≥1, ?

故 m=2.

[答案]

(1)C

(2)A

(3)2

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

在本例(3)中,若A∩(?RB)=A,求m的取值范围.
解:因为A∩(?RB)=A,所以A??RB. 又?RB={x|x<m-2或x>m+2}, 所以m-2>3或m+2<-1, 即m>5或m<-3, 所以m的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

——————————规律· 总结————————————
解答集合的概念及运算问题的一般思路 (1)正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性、代表的意 义. (2)根据集合中元素的性质化简集合. (3)依据元素的不同属性采用不同的方法求解,此时常用到以下技 巧: ①若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解; ②若已知的集合是点集,用数形结合法求解; ③若已知的集合是抽象集合,用Venn图求解.

————————————————————————
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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

1.已知集合A={x∈R||x|≥2},B={x∈R|x2-x-2<0},且R为 实数集,则下列结论正确的是 A.A∪B=R C.A?(?RB) B.A∩B≠? D.A?(?RB) ( )

解析:集合A={x|x≥2或x≤-2},B={x|-1<x<2},所 以A?(?RB).

答案:C
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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

2.设整数n≥4,集合X={1,2,3,?,n}.令集合S={(x,y, z)|x,y,z∈X,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成 立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,则下列选项正确的 是 A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S ( )

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

解析:题目中x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立说明x, y,z是互不相等的三个正整数,可用特殊值法求解,不妨 取x=1,y=2,z=3,w=4满足题意,且(2,3,4)∈S,(1,2,4) ∈S,从而(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S成立.

答案:B

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

命题及逻辑联结词
[例2] (1)命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内 ( ) 是减函数,则loga2<0”的逆否命题是 不是减函数 B.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内 不是减函数 C.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内 是减函数 D.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内 是减函数
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A.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

?1? x ?1? -x (2)(2013· 贵阳模拟)已知命题p1:函数y= ?2? - ?2? 在R上 ? ? ? ? ?1? x ?1? -x 为减函数,p2:函数y= ?2? + ?2? 在R上为增函数,则在命题 ? ? ? ?

q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(綈p1)∨p2和q4:p1∧(綈p2)中,

真命题是 A.q1,q3 C.q1,q4 B.q2,q3 D.q2,q4

(

)

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

[自主解答]

(1)注意命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其

定义域内是减函数,则loga2<0”的条件与结论,可知其逆否命题为 “若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函 数”.
?1? x (2)因为函数y= ?2? -2x是R上的减函数,所以命题p1是真命题; ? ? ?1? x 1 5 因为x=1和x=-1时,都有y= 2 +2= 2 ,所以函数y= ?2? +2x不是R ? ?

上的增函数,故p2是假命题,所以p1∨p2是真命题,p1∧p2是假命 题,(綈p1)∨p2是假命题,p1∧(綈p2)是真命题,所以真命题是q1,q4.

[答案]
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(1)B

(2)C

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

——————————规律· 总结————————————

三步辨明“或”“且”“非”命题的真假性 (1)弄清构成命题的p和q的真假性; (2)弄清结构形式; (3)根据真值表判断构成新命题的真假性.
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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

3.已知命题 p:对于 x∈R,恒有 2x+2-x≥2 成立,命题 q:奇 函数 f(x)的图像必过原点, 则下列结论正确的是 A.p∧q 为真 C.(綈 p)∨q 为真 B.p∧(綈 q)为真 D.綈 p 为真 ( )

解析:“命题 p:对于 x∈R,恒有 2x+2-x≥2 成立”为 真命题,“命题 q:奇函数 f(x)的图像必过原点”为假命 题,所以只有选项 B 正确.
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答案:B

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

4.已知命题p:函数y=(c-1)x+1在R上单调递增;命题q:不 等式x2-x+c≤0的解集是?.若p且q为真命题,则实数c的取 值范围是________.
解析:若命题 p 是真命题,则 c-1>0,c>1;若命题 q 是真命题, ?c>1, ? 1 则 Δ=1-4c<0, 4.因此, p 且 q 是真命题得? 1 c> 由 即 c>1, ?c>4, ? 故实数 c 的取值范围是(1,+∞).

答案:(1,+∞)
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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

充 要 条 件
[例3] α”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (1)(2013· 浙江高考)若α∈R,则“α=0”是“sin α<cos ( )

(2)已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:x>a,且綈q的一个充 分不必要条件是綈p,则a的取值范围是 A.[1,+∞) C.[-1,+∞)
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(

)

B.(-∞,1] D.(-∞,-3]

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

(1)当α=0时,sin α=0,cos α=1,∴sin π α<cos α;而α=-2时,有sin α=-1<0=cos α,此时α≠0,所 以α=0是sin α<cos α的充分不必要条件. [自主解答] (2)由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,故綈p:-3≤x≤1, 綈q:x≤a. 由綈q的一个充分不必要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分 不必要条件,故a≥1.

[答案]
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(1)A

(2)A

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

在本例(2)中,若p是q的既不充分也不必要条件,求a 的取值范围.
解:由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,借助数轴可知,若 p是q的既不充分也不必要条件,则a<1,即a的取值范围 是(-∞,1).

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

——————————规律· 总结———————————— 判断充分、必要条件时应关注三点
(1)要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推 出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能 推出B,且B不能推出A. (2)要善于举出反例:当从正面判断或证明一个命题的正确或 错误不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明. (3)要注意转化:綈p是綈q的必要不充分条件?p是q的充分不 必要条件;綈p是綈q的充要条件?p是q的充要条件.

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

5.设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a<b”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件

(

)

D.既不充分也不必要条件

解析:若(a-b)a2<0,则a≠0,且a<b,所以充分性成立; 若a<b,则a-b<0,当a=0时,(a-b)a2=0,所以必要性不 成立.故“(a-b)a2<0”是“a<b”的充分而不必要条件.

答案:A

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

6.已知命题p:“直线l⊥平面α内的无数条直线”的充要条件 是“l⊥α”;命题q:若平面α⊥平面β,直线a?β,则“a⊥ α”是“a∥β”的充分不必要条件,则下列命题中为真命题 的是 A.p∧q C.(綈p)∧綈q B.p∨綈q D.(綈p)∧q ( )

解析:由题意可知,p为假命题,q为真命题,因此(綈p)∧ q为真命题.
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答案:D

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

量词、含有量词的命题的否定 [例4] (1)(2013· 四川高考)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B

是偶数集.若命题p:?x∈A,2x∈B,则 A.綈p:?x∈A,2x?B B.綈p:?x?A,2x?B C.綈p:?x?A,2x∈B D.綈p:?x∈A,2x?B
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(

)

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

(2)(2013· 武汉模拟)命题“?x0<0,x2>0”的否定是 0 ( A.?x<0,x2>0 B.?x<0,x2≤0 C.?x0>0,x2>0 0 D.?x0<0,x2≤0 0 )

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

[自主解答]

(1)命题p是全称命题:?x∈A,2x∈B,则

綈p是特称命题:?x∈A,2x?B.

(2)特称命题与全称命题互为否定,只需改变量词并否 定其结论即可.
[答案] (1)D (2)B

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

——————————规律· 总结————————————
全(特)称命题的否定 全称命题的否定是将全称量词改为存在量词, 并把结论 否定; 特称命题的否定是将存在量词改为全称量词,并把 结论否定.

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

7.命题“函数y=f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为( A.?x0∈M,f(-x0)≠f(x0) B.?x∈M,f(-x)≠f(x) C.?x∈M,f(-x)=f(x) D.?x0∈M,f(-x0)=f(x0) 解析:由偶函数的定义及命题“函数y=f(x)(x∈M)是偶函
数”,可知“?x∈M,f(-x)=f(x)”,该命题是一个全称 命题,其否定是一个特称命题,即“?x0∈M,f(- x0)≠f(x0)”.
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)

答案:A

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

? 5? 2 8.设命题p:?x0∈?1,2?,使g(x0)=log2(tx0+2x0-2)有意义, ? ?

? 5? 解析:若綈p为假命题,则p为真命题,所以?x0∈ ?1,2? , ? ?

若綈p为假命题,则t的取值范围为________.

2 2 2 2 2 使tx0+2x0-2>0成立,即t>x2-x 有解,所以t大于x2-x 的 0 0 0 0
?1 1? 2 1 5 2 1 2 2 最小值即可.1<x0< 2 时, 5 < x <1,所以 x2 - x =2 ?x -2? - 2 ? 0 ? 0 0 0 ? 1 ? ∈?-2,0? ? ?
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? 1 ? 1 ,所以t>-2. 答案:?-2,+∞? ? ?

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

课题1
[典例]

集合中的新定义问题

(2013· 湖南高考)对于 E={a1,a2,?,a100}的

子集 X={ai1,a i2,?,aik},定义 X 的“特征数列”为 x1, x2,?,x100,其中 x i1=x i2=?=xik=1,其余项均为 0.例 如:子集{a2,a3}的“特征数列”为 0,1,1,0,0,?,0. (1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前 3 项和等于 ________;
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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

(2)若 E 的子集 P 的“特征数列”p1,p2,?,p100 满足 p1 =1,i+pi+1=1, 1≤i≤99; 的子集 Q 的“特征数列” q1,2, p E q ?, q100 满足 q1=1, j+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98, P∩Q 的元素个数 q 则 为________.

[考题揭秘]

本题主要考查新定义题型、集合子集的

概念,意在考查考生自学能力、数据处理能力和归纳推理 能力.

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

[审题过程] 定义.

第一步:审条件.题设给出了“特征数列”的

第二步:审结论.(1)求子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的 前3项和;(2)已知子集P和子集Q的“特征数列”的特征,求 P∩Q的元素个数. 第三步:建联系.根据“特征数列”的定义,分别用列举 法写出子集{a1,a3,a5}的“特征数列”即可解决问题(1);逆用 “特征数列”的定义即可求出子集P和Q,从而求出P∩Q的元素 的个数.
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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

[规范解答]

由集合E={a1,a2,?,a100}的子集X={ai1,

ai2,?,aik}的“特征数列”的定义可知.子集X的“特征数列” 有三个特征:(ⅰ)项的个数与集合E中所含元素的个数相同,即 集合E的子集X的“特征数列”的项数为100;(ⅱ)子集X中的元 素ai1,ai2,?,aik所对应的项为1,其余项为0;(ⅲ)“特征数 列”的项与集合E中元素的排列顺序是对应的.?????① (1)由上述分析可知,子集{a1,a3,a5}的“特征数列”为: 1,0,1,0,1,0,?,0.故其前3项和为2.

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

(2)由子集P的“特征数列”p1,p2,?,p100满足p1=1,pi +pi+1=1知“特征数列”的首项为1,且相邻两项的和为1,即 “特征数列”为1,0,1,0,?,1,0.故集合P={a1,a3,?,a99}; 同理可求集合Q={a1,a4,a7,?,a97}.????????② 则两个子集的公共元素为a1和100以内项数被6除余1的数对 应的项,??????????????????????③ 即a1,a7,?,a97,共17项.???????????④

[答案]

(1)2

(2)17

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

[模型归纳] 解决集合新定义问题的模型示意图如下:

明概念 准确理解新定义运算的规则,这是解决 此类问题的关键,如步骤① 定元素 确定题目中每个集合的所有元素,如步骤② 定运算 根据要求及新定义运算,将所求集合的运算问题 转化为集合的交、并、补的基本运算,或转化为 数的有关运算问题.常采用列举法或数形结合法 求解,如步骤③ 定结果 根据定义的运算进行求解,利用列举法写出所求 集合中的所有元素(或根据图形确定相关运算结 果),如步骤④
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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

[变式训练] 1.设集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x
∈A∩B,y∈A∪B},则A*B中元素的个数是 A.7 B.10 ( )

C.25 D.52 解析:因为A={-1,0,1},B={0,1,2,3},所以A∩B={0,1},A∪

B={-1,0,1,2,3}. 因为x∈A∩B,所以x可取0,1; 因为y∈A∪B,所以y可取-1,0,1,2,3. 则(x,y)的可能取值如下表所示:
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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

y

x
0

-1 (0,-1)

0 (0,0)

1 (0,1)

2 (0,2)

3 (0,3)

1

(1,-1)

(1,0)

(1,1)

(1,2)

(1,3)

故A*B中元素共有10个.

答案:B

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

2.(2013· 青岛模拟)用 C(A)表示非空集合 A 中的元素个数,定义
?C?A?-C?B?,C?A?≥C?B?, ? A*B= ? ?C?B?-C?A?,C?A?<C?B?, ?

若 A={1,2},B={x|(x2

+ax)(x2+ax+2)=0},且 A*B=1,设实数 a 的所有可能取 值构成的集合是 S,则 C(S)= A.4 C.2 B.3 D.1 ( )

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

解析:由A={1,2}得C(A)=2,由A*B=1,得C(B)=1或C(B)=3. 由(x2+ax)(x2+ax+2)=0得x2+ax=0或x2+ax+2=0.当C(B)= 1时,方程(x2+ax)(x2+ax+2)=0只有实根x=0,这时a=0.当 C(B)=3时,必有a≠0,这时x2+ax=0有两个不相等的实根x1= 0,x2=-a,方程x2+ax+2=0必有两个相等的实根,且异于x1 =0,x2=-a,由Δ=a2-8=0,得a=± 2 意,故S={-2 2,0,2 2},C(S)=3. 2 ,可验证均满足题

答案:B

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第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

预测演练提能

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