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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编3:函数的性质(单调性、最值、奇偶性与周期性)


北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 3:函数的性质(单调性、最值、奇偶性 与周期性)
一、选择题 1 .(2013 北京高考数学(文))下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是





A. y ?

1 x

B. y ? e

?x

C y ? ?x ?1


2

D. y ? lg | x |

2 . (北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学(理) 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数 )

的是 A. y ? e x B. y ? sin 2 x C. y ? ? x 3 D. y ? log 1 x
2





3 .(2012 年高考(陕西文))下列函数中,既是奇函数又是增函数的为





A. y ? x ? 1

B. y ? ? x

2

C. y ?

1 x

D. y ? x | x | 满足 ( ) ,

4 . (北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)试题)定义在 R 上的函数



时,

,则

A. C.

B. D.

5 .(2013 湖南高考数学(文))已知 f ( x) 是奇函数, g ( x ) 是偶函数,且 f (?1)+g (1)=2, f (1)+g( ? 1)=4 ,

则 g(1)等于____ A.4 B.3 C.2 D.1





6 .(2012 年高考(天津文))下列函数中,既是偶函数,又在区间 (1, 2) 内是增函数的为





A. y ? cos 2 x

B. y ? log 2 | x |

e x ? e? x C. y ? 2

D. y ? x ? 1
3

7 .(2012 年高考(广东理))(函数)下列函数中,在区间 ? 0, ?? ? 上为增函数的是





A. y ? ln ? x ? 2 ?

B. y ? ? x ? 1

?1? C. y ? ? ? ?2?

x

D. y ? x ?

1 x
( )

8 . (北京市海淀区 2013 届高三上学期期中练习数学(理)试题) 下列函数中,在定义域内是减函数的是

A. f ( x) ? ?
9

1 x

B. f ( x ) ?

x

C. f ( x) ?
203

1 2x

D. f ( x) ? tan x

.( 北 京 北 师 特 学 校

届 高 三 第 二 次 月 考 理 科 数 学 ) 若

n x ? R, n ? N *, 定义Ex ? x( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? n ? 1)

,





第 1 页,共 8 页

5 4 E?4 ? (?4) ? (?3) ? (?2) ? (?1) ? 24 则 f ( x) ? x ? Ex ? 2 的奇偶性为





A.偶函数不是奇函数; B.奇函数不是偶函数; C.既是奇函数又是偶函数; D.非奇非偶函数 10.下列函数中既是偶函数,又是区间[-1,0]上的减函数的是 A. y ? cos x C. y ? ln B. y ? ? x ? 1 D. y ? e ? e
x ?x





2? x 2? x
B. y ? x3

11.(2012 年高考(广东文))(函数)下列函数为偶函数的是

( D. y ? ln x 2 ? 1



A. y ? sin x

C. y ? e x

12 . 北 京 东 城 区 普 通 校 2013 届 高 三 12 月 联 考 理 科 数 学 ) 已 知 函 数 f (x) 在 [0,??) 上 是 增 函 (

数, g ( x) ? ? f ( x ) ,若 g (lg x) ? g (1) ,则 x 的取值范围是 A. (10,??) B. (

( D. (0,



1 ,10 ) 10

C. (0,10)

1 ) ? (10,??) 10
( )

13. (2013 北京房山二模数学理科试题及答案) 下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是

A. y ? x ? 1

B. y ? tan x

C. y ? x

3

D. y ? log 2 x
3

? , 14 . 2013 重 庆 高 考 数 学 ( 文 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? bsi n x? 4(a , b R) f (lg(log 2 10)) ? 5 , 则 ( )
f (lg(lg 2)) ?
A. ?5 B. ?1 C. 3 D. 4 ( )

15.已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,且 y ? f ( x ? 2) 在 [0, 2] 上是单调减函数,则 f (0), f (?1), f (2) 由小到大

排列为 A. f (0) ? f (?1) ? f (2) C. f (?1) ? f (2) ? f (0) B. f (?1) ? f (0) ? f (2) D. f (2) ? f (?1) ? f (0)





16 . (2013 山东高考数 学(文 )) 已知函数 f (x) 为 奇函数 ,且当

x ? 0 时 , f ( x) ? x 2 ?
D.-2

1 , 则 f (?1) ? x
( )

A.2

B.1

C.0

17 . 对 于 任 意 两 个 实 数

?a a 、 b , 定 义 运 算 “*” 如 下 : a * b ? ? ?b

a?b a?b

, 则 函 数

f ( x) ? x 2 * [(6 ? x) * (2 x ? 15)] 的最大值为
A.25 B.16 C.9 D.4





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?1 ? 2 ? x ( x ? 0) , 则该函数是 18.(湖北省黄冈市 2012 年高考模拟试题)已知函数 f ( x ) ? ? x ? 2 ? 1( x ? 0)
A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增
二、填空题





B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减

19.(2012 年高考(浙江文))设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则

3 =_______________. f( ) 2
20.(2012 年高考(重庆文))函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) 为偶函数,则实数 a ? ________ 21. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )奇函数

f ? x ? 的定义域为 ? ?2, 2? ,若 f ? x ?

在 ? 0, 2 ? 上单调递减,且

f ?1 ? m ? ? f ? m ? ? 0 ,则实数 m 的取值范围是



22.(2012 年高考(安徽文))若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递 增区间是 [3, ??) ,则 a ? _____

23.(2012 年高考(上海春))函数 y ? log 2 x ?

4 ( x ? [2, 4]) 的最大值是______. log 2 x

24. (北京北师特学校 203 届高三第二次月考理科数学)已知 f ( x) 在 R 上是奇函数,且满足 f ( x ? 4) ? f ( x) ,

当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (7) ? _______________
2

25. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 已知定义域为 R 的偶函数 )

f ? x ? 在 ?? ?,0?

上是减函数,且 f ?

?1? x ? ? 2 ,则不等式 f 2 ? 2 的解集为_____________. ?2?

? ?

26 . (2012 年 高 考 ( 上 海 文 )) 已 知 y ? f (x) 是 奇 函 数 . 若 g ( x) ? f ( x) ? 2 且 g (1) ? 1 ., 则

g (?1) ? _______ .
27 . 若 不 等 式 ax ? 4 x ? a ? 1 ? 2 x
2 2

对任意实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是

________________________.
28. (2013 大纲卷高考数学(文))设 f ? x ? 是以 2 为周期的函数,且当 x ? 1, 3? 时, f ? x ? =x ? 2 ,则

?

f (?1) ? ____________.
29 . (2012 年 高 考 ( 课 标 文 )) 设 函 数 f ( x) ?

( x ? 1 2 ? s ixn ) 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 2 x ?1

M ? m ? ________.
第 3 页,共 8 页

30 . ( 北 京 四 中

2013

届 高 三 上 学 期 期 中 测 验 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 函 数

______.
三、解答题 31. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期中考试数学 (理) 试题) 已知函数 f ( x) ? 2ax ? 4 x ? 3 ? a , a ?R .
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 ? ?1,1? 上的最大值; (Ⅱ)如果函数 f ( x) 在区间 ? ?1,1? 上存在零点,求 a 的取值范围.

第 4 页,共 8 页

北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 3:函数的性质(单调性、最值、奇偶性与周期性)参考答 案 一、选择题 1.

1 -x C [解析] 对于 A,y= 是奇函数,排除.对于 B,y=e 既不是奇函数,也不是偶函数,排除.对于 D,y=lg |x|

x

2. 3. 4.

是偶函数,但在(0,+∞)上有 y=lgx,此时单调递增,排除.只有 C 符合题意. C 解析:运用排除法,奇函数有 y ? D【解析】由题意可知,函数 示 :∵ ∴ ,选 D.

1 和 y ? x | x | ,又是增函数的只有选项 D 正确. x
的图象关于 y 轴对称,且周期为 2,故可画出它的大致图象,如图所 且 ,而函数 在 是减函数,

5.

B 解: 由题知 f(-1)+g(1)= - f(1)+g(1)= 2, f(1)+g(-1)= f(1)+ g(1)= 4,上式相加,解得 g(1) = 3 . 选B 【解析】函数 y ? log 2 x 为偶函数,且当 x ? 0 时,函数 y ? log 2 x ? log 2 x 为增函数,所以在 (1,2) 上 也为增函数,选 B.

6.

7. 8. 9.

解析:A. y ? ln ? x ? 2 ? 在 ? ?2, ?? ? 上是增函数. C
5 A【解析】由题意知 f ( x) ? xEx ?2 ? x( x ? 2)( x ? 1) x( x ? 1)( x ? 2) ? x 2 ( x 2 ? 4)( x 2 ? 1) ,所以函数为偶

函数,不是奇函数,选 A.
10. D 11.解析:D. f ? ? x ? ? ln

??x?

2

? 1 ? ln x 2 ? 1 ? f ? x ? .

12. B【解析】因为 g ( x) ? ? f ( x ) ,所以函数 g ( x) ? ? f ( x ) 为偶函数,因为函数 f (x) 在 [0,??) 上是增函

数,所以当 x ? 0 时, g ( x) ? ? f ( x ) ? ? f ( x) ,此时为减函数,所以当 x ? 0 ,函数 g ( x) ? ? f ( x ) 单调 递增.因为 g (lg x) ? g (1) ,所以有 ?1 ? lg x ? 1 ,解得
13.

1 1 ? x ? 10 ,即 ( ,10) ,选 B. 10 10

C
第 5 页,共 8 页

14.

C.[ 解 析 ]

因 为

? ? 1 ?? =f(-lg(lg f(lg(log210))=f ?lg? lg 2?? ? ? ??

2))=5, 又 因 为

f(x)+f(-x)=8, 所 以

f(-lg(lg2))+f(lg(lg2))=5+f(lg(lg2))=8,所以 f(lg(lg 2))=3,故选 C. 15. A
16. D 解析:∵ 当 x ? 0 时, f ( x ) ? x 2 ?

1 ,∴ 1 f (1) ? 12 ? ? 2 ,又∵ f ( x ) 为奇函数, x 1

∴ f (? 1) ? ? f (1) ? ? 2 .答案:D.
17. C 18. C 二、填空题 19.

【答案】

3 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 3 ?1 ? . 2 2

【命题意图】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性. 【解析】 f ( ) ? f ( ? 2) ? f (? ) ? f ( ) ?
20.

【答案】4 【解析】由函数 f ( x) 为偶函数得 f (a) ? f (?a) 即 (a ? a)(a ? 4) ? (?a ? a)(?a ? 4)

? a ? 4.
【考点定位】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称, 且对定义域内的一切 a 都有 f (a) ? f (?a) 成立.
21. 【答案】 [?

1 ,1] 2

【 解 析 】 因 为 奇 函 数 在 ? 0, 2 ? 上 单 调 递 减 , 所 以 函 数 f ( x) 在 ? ?2, 2? 上 单 调 递 减 。 由

? ? ?2 ? m ? 2 ?2 ? m ? 2 ? ? ? f ?1 ? m ? ? f ? m ? ? 0 得 f (1 ? m) ? ? f (m) ? f (?m) ,所以由 ? ?2 ? 1 ? m ? 2 ,得 ? ?3 ? m ? 1 ,所 ?1 ? m ? ? m ? 1 ? ?m ? ? ? 2
1 1 ? m ? 1 ,即实数 m 的取值范围是 [? ,1] 。 2 2 a 22. 【解析】 ?6 由对称性: ? ? 3 ? a ? ?6 2
以?
23.

5

24. ?2 【解析】 f ( x ? 4) ? f ( x) 可知函数的周期是 4,所以 f (7)=f (7 ? 8)=f (?1) ,又因为函数是奇函数, 由

所以 f (?1) ? ? f (1) ? ?2 ,所以 f (7)= ? 2
25. 答 案

?? 1,?? ? 因 为 函 数 为 你 偶 函 数 , 所 以

1 1 f (? ) ? f ( ) ? 2 , 且 函 数 在 ( 0,?? )上 递 增 . 所 以 由 2 2

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f (2 x ) ? 2 得 2 x ?
26.

1 x ,即 x ? ?1 ,所以不等式 f ?2 ? ? 2 的解集为 ?? 1,?? ? . 2

[解析] y ? f (x) 是奇函数,则 f (?1) ? ? f (1) , g (1) ? g (?1) ? f (1) ? f (?1) ? 4 ? 4 , 所以 g (?1) ? 4 ? g (1) ? 3 .

27.

(a ? 2) x 2 ? 4 x ? a ? 1 ? 0 恒成立,当 a ? ?2 时, x ?
2

3 不恒成立,不满足 4

当 a ? ?2 时,要使不等式 (a ? 2) x ? 4 x ? a ? 1 ? 0 恒成立,则须

?a ? ?2 ?a ? ?2 ?a ? 2 ? 0 ?? 2 ?? ?a?2 ? ?16 ? 4(a ? 2)( a ? 1) ? 0 ?a ? a ? 6 ? 0 ?a ? 2或a ? ?3
28.

?1 【解析】∵ f ? x ? 是以 2 为周期的函数,且 x ? ?1,3? 时, f ? x ? =x ? 2 ,
则 f ? ?1? ? f (?1 ? 2) ? f (1) ? 1 ? 2 ? ?1

【考点定位】函数的周期性,函数求值 29. 【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.

2 x ? sin x , x2 ? 1 2 x ? sin x 设 g ( x ) = f ( x) ? 1 = ,则 g ( x) 是奇函数, x2 ? 1
【解析】 f ( x) = 1 ? ∵ f ( x) 最大值为 M,最小值为 m ,∴ g ( x) 的最大值为 M-1,最小值为 m -1, ∴ M ?1 ? m ?1 ? 0 , M ? m =2.

30.

5 1 f (2) ? f (1) ? f (?1) ? 2 f (1) ? 2 ? ? 1 f (1) ? f (?1) ? f (2) ,即 2 【解析】 x ? ?1 得 2 令 .令 x ? 1 f (3) ? f (1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ?


1 3 3 5 ?1 ? f (5) ? f (3 ? 2) ? f (3) ? f (2) ? ? 1= 2 2 .令 x ? 3 得 2 2

三、解答题 31.解:(Ⅰ)当 a ? 1 时,则 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 4
2

? 2( x 2 ? 2 x) ? 4 ? 2( x ? 1)2 ? 6 .
因为 x ? ? ?1,1? ,所以 x ? 1 时, f ( x) 的最大值 f (1) ? 2 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x) ? 4 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1? 上有零点, 所以 a ? 0 时成立 当 a ? 0 时,令 ? ? 16 ? 8a(3 ? a) ? 8(a ? 1)(a ? 2) ? 0 , 解得 a ? ?1, a ? ?2
第 7 页,共 8 页

(1) 当 a ? ?1 时,

f ( x) ? ?2 x 2 ? 4 x ? 2 ? ?2( x ? 1) 2

由 f ( x) ? 0 ,得 x ? 1? [ ? 1,1] ; 当 a ? ?2 时, f ( x) ? ?4 x 2 ? 4 x ? 1 ? ?4( x ? ) 2 . 由 f ( x) ? 0 ,得 x ?

1 2

1 ? [ ? 1,1] , 2

所以当 a ? 0, ?1, ?2 时, y ? f ( x) 均恰有一个零点在 ? ?1,1? 上 (2)当 f (?1)?f (1) ? (a ? 7)(a ? 1) ? 0 ,即 ?1 ? a ? 7 时,

y ? f ? x ? 在 ? ?1,1? 上必有零点.
(3)若 y ? f ? x ? 在 ? ?1,1? 上有两个零点, 则

? a ? 0, ? a ? 0, ? ? ? 8( a ? 1)( a ? 2) ? 0, ? ? ? 8( a ? 1)( a ? 2) ? 0, ? ? ? ? 1 1 或 ? ?1 ? ? ? 1, ? ?1 ? ? ? 1, a a ? ? ? f ( ?1) ? 0, ? f ( ?1) ? 0, ? ? ? f (1) ? 0 ? f (1) ? 0. 解得 a ? 7 或 a ? ?2 .
综上所述,函数 f ( x) 在区间 ? ?1,1? 上存在极值点,实数 a 的取值范围是

a ? ?1 或 a ? ?2

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