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2015-2016学年河北省石家庄市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年河北省石家庄市高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题(共 13 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 A={x|1<x<4},B={x|x2﹣2x﹣3≤0},则 A∩B=( ) A. B. (﹣1,3) (1,3] C.[3,4) D.[﹣1,4) 2.若复数 z=i(3﹣2i) (i 是虚数单位) ,则 =( ) A.2﹣3i B.2+3i C.3+2i D.3﹣2i 3.有一段演绎推理是这样的:“所有 9 的倍数都是 3 的倍数,某奇数是 9 的倍数,故某奇数 是 3 的倍数”.那么,这个演绎推理( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.没有错误 4.在画两个变量的散点图时,下面叙述正确的是( ) A.预报变量在 x 轴上,解释变量在 y 轴上 B.预报变量在 y 轴上,解释变量在 x 轴上 C.两个变量可以选择 x,y 轴中的任意一个 D.样本点散布在某条直线上 5.用反证法证明“方程 ax2+bx+c=0(a≠0)至多有两个解”的假设中,正确的是( A.至多有一个解 B.有且只有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解 6.设 a,b∈R,则“a≥1 且 b≥1”是“a+b≥2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.输出下列四个命题: ①回归直线恒过样本点的中心( , ) ; ②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线; ③残差平方和越小的模型,模型拟合的效果越好; ④在线性回归分析中,如果两个变量的相关性越强,则相关系数就越接近于 1. 其中真命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.下面使用类比推理,得到正确结论的是( ) A.“若 a?3=b?3,则 a=b”类推出“若 a?0=b?0,则 a=b” B.“若(a+b)c=ac+bc,”类推出“(a?b)c=ac?bc” C.“若(a+b)c=ac+bc”类推出“ = + (c≠0)” )

D.“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn” 9.如图是求 S=1+2+3+5+…+99 的程序流程图,其中①应为(



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A.A≤97? B.A<99? C.A≤99? D.A≤101? 10.已知 f(x+1)= A.f(x)= ,f(1)=1(x∈N*) ,猜想 f(x)的一个表达式为( C.f(x)= D.f(x)= )

B.f(x)=

11.已知 a>0,b>0,且 4a+b=ab,则 a+b 的最小值为( ) A.4 B.9 C.10 D.4 12.[示范高中]定义在 R 上的偶函数 f(x) ,其导函数为 f′(x) ,当′x∈(﹣∞,0)时,都 有 f(x)+f′(x)>0,若 a=3f(3) ,b=(lnπ)f(lnπ) ,c=﹣2f(﹣2) ,则 a,b,c 的大 小关系为( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>b>a 13.[普通高中]观察下列图形: 个图形中的“☆”多( ) A.59 颗B.60 颗 C.87 颗 D.89 颗 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 14.函数 y=ln(x2﹣2)的定义域为 . 15.在复平面内.平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 对应的复数分别是 1+3i,﹣i, 2+i,则点 D 对应的复数为 . 16.已知不等式|x+1|+|x﹣2|>a 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是 . 17.观察式子 , . …,则可归纳出 …由此规律,则第 30 个图形比第 27

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn 是 2a 与﹣2nan 的等差中项,其中 a≠0. (1)求数列{an}的前三项 a1,a2,a3,并猜想数列的通项公式; (2)利用(1)的猜想,若 S10=90,求实数 a 的值. 19.已知复数 z1=4﹣m2+(m﹣2)i,z2=λ+2sinθ+(cosθ﹣2)i, (其中 i 是虚数单位,m,λ, θ∈R) .
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(1)若 z1 为纯虚数,求实数 m 的值; (2)若 z1=z2,求实数 λ 的取值范围. 20. 某冷饮店为了解气温对其营业额的影响, 随机记录了该店 1 月份销售淡季中的日营业额 y(单位:百元)与该地当日最低气温 x(单位:℃)的数据,如表所示: x 3 6 7 9 10 y 12 10 8 8 7 (Ⅰ)判定 y 与 x 的是正相关还是负相关;并求回归方程 = x+ ;

(Ⅱ)若该地 1 月份某天的最低气温为 0℃,预测该店当日的营业额

(参考公式:

=

=



= ﹣b . )

21.为调查某社区居民的业余生活状况,研究居民的休闲方式与性别的关系,随机调查了该 社区 80 名居民,得到下面的数据表: 性别 看电视 运动 总计 休闲方式 10 10 20 女性 10 50 60 男性 20 60 80 总计 1 ( )用分层抽样的方法,随机抽查其中 12 名以运动为休闲方式的居民,问其中男性居民有 多少人? (2)根据以上数据,能否有 99%的把握认为“居民的休闲方式与性别有关系”? 附:K2=

0.050

0.010

0.001

P(K2≥k) k 3.841 6.635 10.828 22.如图四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ABC=60°,AD=2,AB=PA=1, 且 PA⊥平面 ABCD. (1)请判定 PB 与 AC 的位置关系,并证明; (2)求顶点 A 到平面 PCD 的距离.

请考生在 23~25 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。[选修 4-2:几 何证明选讲](共 1 小题,满分 10 分) 23.如图,A,B,C 为圆 O 上三点,点 B 平分弧 ,点 P 为 AC 延长线上一点,PQ 是圆 O 的切线,切点为 Q,BQ 与 AC 相交于点 D. (1)求证:PD=PQ;
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(2)若 PC=1,AD=PD,求 BD?QD.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 24.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 过点 P( ,2) ,斜倾角为 60°,以原点 O 为极 点,x 轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2= .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求|PA|?|PB|的值. [选修 4-5:不等式选讲] 25.已知函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|. (1)解不等式 f(x)≥0; (2)若存在 x0∈[﹣7,7],使得 f(x0)+ m2<4m 成立,求实数 m 的取值范围.

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2015-2016 学年河北省石家庄市高二(下)期末数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 13 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 A={x|1<x<4},B={x|x2﹣2x﹣3≤0},则 A∩B=( ) A. 1 3 B 1 3 C 3 4 D 1 4 (﹣ , ) . ( , ] .[ , ) .[﹣ , ) 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 B 中不等式的解集,确定出 B,求出两集合的交集即可. 【解答】解:由 B 中的不等式变形得: (x﹣3) (x+1)≤0, 解得:﹣1≤x≤3,即 B=[﹣1,3], ∵A=(1,4) , ∴A∩B=(1,3]. 故选:B. 2.若复数 z=i(3﹣2i) (i 是虚数单位) ,则 =( A.2﹣3i B.2+3i C.3+2i D.3﹣2i )

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可. 【解答】解:复数 z=i(3﹣2i)=2+3i,则 =2﹣3i, 故选:A. 3.有一段演绎推理是这样的:“所有 9 的倍数都是 3 的倍数,某奇数是 9 的倍数,故某奇数 是 3 的倍数”.那么,这个演绎推理( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.没有错误 【考点】演绎推理的意义. 【分析】 要分析一个演绎推理是否正确, 主要观察所给的大前提, 小前提和结论是否都正确, 根据三个方面都正确,得到结论. 【解答】解:∵所有 9 的倍数都是 3 的倍数,某奇数是 9 的倍数,故某奇数是 3 的倍数, 大前提:所有 9 的倍数都是 3 的倍数, 小前提:某奇数是 9 的倍数, 结论:故某奇数是 3 的倍数, ∴这个推理是正确的, 故选:D 4.在画两个变量的散点图时,下面叙述正确的是( A.预报变量在 x 轴上,解释变量在 y 轴上 B.预报变量在 y 轴上,解释变量在 x 轴上 C.两个变量可以选择 x,y 轴中的任意一个 D.样本点散布在某条直线上 【考点】散点图.
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【分析】类比函数图象中,自变量值为横坐标在 x 轴上,函数值为纵坐标在 y 轴上,结合相 关关系中,散点图中预报变量及解释变量的作用,即可得到答案. 【解答】解:由于预报变量的值可类比为函数的函数值, 解释变量的值可类比为函数自变量的值, 故预报变量在 y 轴上,解释变量在 x 轴上. 故选:B. 5.用反证法证明“方程 ax2+bx+c=0(a≠0)至多有两个解”的假设中,正确的是( A.至多有一个解 B.有且只有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解 【考点】反证法与放缩法. 【分析】把要证的结论进行否定,得到要证的结论的反面,即为所求. 【解答】解:由于用反证法证明数学命题时,应先假设命题的否定成立, 命题:“方程 ax2+bx+c=0(a≠0)至多有两个解”的否定是:“至少有三个解”, 故选 C. 6.设 a,b∈R,则“a≥1 且 b≥1”是“a+b≥2”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可. 【解答】解:若 a≥1 且 b≥1 则 a+b≥2 成立, 当 a=0,b=3 时,满足 a+b≥2,但 a≥1 且 b≥1 不成立, 即“a≥1 且 b≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件, 故选:A 7.输出下列四个命题: ①回归直线恒过样本点的中心( , ) ; ②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线; ③残差平方和越小的模型,模型拟合的效果越好; ④在线性回归分析中,如果两个变量的相关性越强,则相关系数就越接近于 1. 其中真命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】相关系数. 【分析】根据回归直线的几何意义判断命题①②是否正确; 根据相关系数与残差平方和的意义判断命题③④是否正确. 【解答】解:对于①,回归直线恒过样本点的中心( , ) ,命题正确; 对于②,回归直线也可能不过任何一个点,所以命题 B 不正确; 对于③,用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越小,模型的拟合效果越好,命 题正确; 对于④,线性回归分析中,如果两个变量的相关性越强,则相关系数线性|r|就越接近于 1, 故命题错误. 所以真命题的序号为①③,共 2 个. 故选:B.
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8.下面使用类比推理,得到正确结论的是( ) A.“若 a?3=b?3,则 a=b”类推出“若 a?0=b?0,则 a=b” B.“若(a+b)c=ac+bc,”类推出“(a?b)c=ac?bc” C.“若(a+b)c=ac+bc”类推出“ = + (c≠0)”

D.“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn” 【考点】类比推理. 【分析】根据等式的基本性质,可以分析①中结论的真假; 根据等式的基本性质,可以分析②中结论的真假; 根据指数的运算性质,可以分析③中结论的真假; 根据对数的运算性质,可以分析④中结论的真假; 【解答】解:A 中“若 a?3=b?3,则 a=b”类推出“若 a?0=b?0,则 a=b”,结论不正确; B 中“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a?b)c=ac?bc”,结论不正确; C 中“若(a+b)c=ac+bc”类推出“ = + (c≠0)”,结论正确;

D 中“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn”,结论不正确. 故选:C. 9.如图是求 S=1+2+3+5+…+99 的程序流程图,其中①应为( )

A.A≤97? B.A<99? C.A≤99? D.A≤101? 【考点】程序框图. 【分析】根据已知中程序的功能是求 S=1+3+5+…+99 的值,由于满足条件进入循环,每次累 加的是 A 的值,当 A≤99 应满足条件进入循环,进而得到答案. 【解答】解:模拟程序的运行可得程序的功能是计算并输出 S=1+3+5+…+99 的值, 且在循环体中,S=S+A 表示,每次累加的是 A 的值, 故当 A≤99 应满足条件进入循环, A>99 时就不满足条件 故条件为:A≤99?. 故选:C. ,f(1)=1(x∈N*) ,猜想 f(x)的一个表达式为(
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10.已知 f(x+1)=



A.f(x)=

B.f(x)=

C.f(x)=

D.f(x)=

【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【分析】根据题意得出 f(1)=1,f(2)= 【解答】解:∵f(1)=1(x∈N*) , ∴可以排除 A, ∵f(x+1)= ∴f(2)= , = ,f(3)= = ,可以选择答案.

∴排除 D,C 可判断 B 函数符合, 故选:B 11.已知 a>0,b>0,且 4a+b=ab,则 a+b 的最小值为( A.4 B.9 C.10 D.4 【考点】基本不等式. 【分析】由条件可得 + =1,即有 a+b=(a+b) ( + )=5+ + 最小值,注意等号成立的条件. 【解答】解:由 a>0,b>0,且 4a+b=ab, 可得 + =1, 则 a+b=(a+b) ( + )=1+4+ + ≥5+2 当且仅当 = =5+4=9. ,即 b=2a,又 4a+b=ab, ,再由基本不等式可得 )

解得 a=3,b=6,a+b 取得最小值 9. 故选:B. 12.[示范高中]定义在 R 上的偶函数 f(x) ,其导函数为 f′(x) ,当′x∈(﹣∞,0)时,都 有 f(x)+f′(x)>0,若 a=3f(3) ,b=(lnπ)f(lnπ) ,c=﹣2f(﹣2) ,则 a,b,c 的大 小关系为( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>b>a 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】构造函数 g(x) ,求出 g(x)的奇偶性和单调性,从而求出 a,b,c 的大小即可. 【解答】解:令 g(x)=xf(x) , g′(x)=f(x)+xf′(x) , ∵x∈(﹣∞,0)时,都有 f(x)+f′(x)>0,
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∴x∈(﹣∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0, ∴′x∈(﹣∞,0)时,g′(x)<0, g(x)在(﹣∞,0)递减, 而 g(﹣x)=﹣xf(﹣x)=﹣xf(x)=﹣g(x) , ∴g(x)在 R 上是奇函数, ∴g(x)在 R 递减, ∵3>lnπ>﹣2, ∴g(3)<g(lnπ)<g(﹣2) , ∴a<b<c, 故选:D.

13.[普通高中]观察下列图形: 个图形中的“☆”多( ) A.59 颗B.60 颗 C.87 颗 D.89 颗 【考点】归纳推理. 【分析】归纳出 an=1+2+…+n=

…由此规律,则第 30 个图形比第 27

,即可求出第 30 个图形比第 27 个图形中的“☆”多的

个数. 【解答】解:设第 n 个图形,“☆”的个数为 an,则 a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,an=1+2+…+n= ∴第 30 个图形比第 27 个图形中的“☆”多 故选:C. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 14.函数 y=ln(x2﹣2)的定义域为 (﹣∞,﹣ )∪( ,+∞) . 【考点】函数的定义域及其求法;对数函数的图象与性质. 【分析】根据函数解析式得出 x2﹣2>0,x2>2,求解即可. 【解答】解:∵函数 y=ln(x2﹣2) ∴x2﹣2>0,x2>2, 即 x∈(﹣∞, )∪( ,+∞) , 故答案为: (﹣∞, )∪( ,+∞) , 15.在复平面内.平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 对应的复数分别是 1+3i,﹣i, 2+i,则点 D 对应的复数为 3+5i . 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】设 D 的坐标(x,y) ,由于 ,可得(x﹣1,y﹣3)=(2,2) ,求出 x,y D 的值,即可得到点 对应的复数. 【解答】解:复平面内 A、B、C 对应的点坐标分别为(1,3) , (0,﹣1) , (2,1) ,设 D 的坐标(x,y) , 由于 ,∴(x﹣1,y﹣3)=(2,2) ,∴x﹣1=2,y﹣3=2,∴x=3,y=5. 故 D(3,5) ,则点 D 对应的复数为 3+5i,
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, ﹣ =87.

故答案为:3+5i. 16.已知不等式|x+1|+|x﹣2|>a 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是 (﹣∞,3) . 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】根据绝对值的意义可得|x+1|+|x﹣2|的最小值为 3,再由不等式|x+1|+|x﹣2|>a 的解集为 R,可得 a 的范围. 【解答】解:由于|x+1|+|x﹣2|表示数轴上的点 x 到﹣1、2 对应点的距离之和,它的最小 值为 3, 故由不等式|x+1|+|x﹣2|>a 的解集为 R,可得 a<3, 故答案为: (﹣∞,3) .

17.观察式子

, (n≥1) .

…,则可归纳出

【考点】归纳推理. 【分析】 根据已知中, 分析左边式子中的数与右边式了中的数之间的关系, 由此可写出结果. 【解答】解:根据题意,每个不等式的右边的分母是 n+1. 不等号右边的分子是 2n+1, ∴1+ 故答案为: …+ < (n≥1) .

(n≥1) .

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn 是 2a 与﹣2nan 的等差中项,其中 a≠0. (1)求数列{an}的前三项 a1,a2,a3,并猜想数列的通项公式; (2)利用(1)的猜想,若 S10=90,求实数 a 的值. 【考点】归纳推理;等差数列的性质. 【分析】 (1)因为 Sn 是 2a 与﹣2nan 的等差中项,则 Sn=a﹣nan,由此求数列{an}的前三项 a1,a2,a3,并猜想数列的通项公式; (2)若 S10=90,即 S10=a﹣10a10=90,即可求实数 a 的值. 【解答】解: (1)因为 Sn 是 2a 与﹣2nan 的等差中项,则 Sn=a﹣nan,… 由 a1=a﹣a1,∴a1= ; 由 a1+a2=a﹣2a2,∴a2= 由 a1+a2+a3=a﹣3a3,∴a3= 故猜想 an= ; ;…

. (写出结果即可)…

(2)若 S10=90,即 S10=a﹣10a10=90,… 解得 a=99…

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19.已知复数 z1=4﹣m2+(m﹣2)i,z2=λ+2sinθ+(cosθ﹣2)i, (其中 i 是虚数单位,m,λ, θ∈R) . (1)若 z1 为纯虚数,求实数 m 的值; (2)若 z1=z2,求实数 λ 的取值范围. 【考点】复数的基本概念. 【分析】 (1)由 z1 为纯虚数,列出方程组,求解即可得实数 m 的值; (2)由 z1=z2,列出方程组,再结合正弦函数图象的性质,即可求得实数 λ 的取值范围. 【解答】解: (1)∵z1 为纯虚数,则 解得:m=﹣2; (2)由 z1=z2,得 , ,

∴λ=4﹣cos2θ﹣2sinθ=sin2θ﹣2sinθ+3=(sinθ﹣1)2+2. ∵﹣1≤sinθ≤1, ∴当 sinθ=1 时,λmin=2; 当 sinθ=﹣1 时,λmax=6. ∴实数 λ 的取值范围是[2,6]. 20. 某冷饮店为了解气温对其营业额的影响, 随机记录了该店 1 月份销售淡季中的日营业额 y(单位:百元)与该地当日最低气温 x(单位:℃)的数据,如表所示: x y 3 12 6 10 7 8 9 8 10 7 = x+ ;

(Ⅰ)判定 y 与 x 的是正相关还是负相关;并求回归方程

(Ⅱ)若该地 1 月份某天的最低气温为 0℃,预测该店当日的营业额

(参考公式:

=

=



= ﹣b . )

【考点】线性回归方程. 【分析】 (Ⅰ)随着 x 的增加,y 减小,故 y 与 x 的是负相关,该地当日最低气温 x 和日营 业额 y 的平均数,得到这组数据的样本中心点,利用最小二乘法求出线性回归方程的系数, 代入样本中心点求出 a 的值,写出线性回归方程. (Ⅱ)将 x=0,即可求得该店当日的营业额. 【解答】解: (Ⅰ)由图表数据可知:随着 x 的增加,y 减小,故 y 与 x 的是负相关, 由 = =7, = =9,

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=

=

=﹣0.7,

= ﹣b =9+7×0.7=13.9. 故回归直线方程为: =﹣0.7x+13.9,

(Ⅱ)当 x=0 时,代入回归直线方程 y=﹣0.7×0+13.9=13.9, 该地 1 月份某天的最低气温为 0℃,该店当日的营业额 13.9. 21.为调查某社区居民的业余生活状况,研究居民的休闲方式与性别的关系,随机调查了该 社区 80 名居民,得到下面的数据表: 性别 看电视 运动 总计 休闲方式 10 10 20 女性 10 50 60 男性 20 60 80 总计 (1)用分层抽样的方法,随机抽查其中 12 名以运动为休闲方式的居民,问其中男性居民有 多少人? (2)根据以上数据,能否有 99%的把握认为“居民的休闲方式与性别有关系”? 附:K2=

0.050

0.010

0.001

P(K2≥k) k 3.841 6.635 【考点】独立性检验的应用;分层抽样方法.

10.828

【分析】 (1)根据分层抽样可知:设其中男性居民 n 人,

=

,解方程求得 n 的值;

(2)计算 K 的观测值 K2,对照题目中的表格,得出统计结论. 【解答】解: (1)设其中男性居民 n 人,则 … 所以 n=10; (Ⅱ)根据样本提供的 2×2 列联表得: K2= = ;… = ,…

K2>6.635 所以有 99%的把握认为“居民的休闲方式与性别有关”… 22.如图四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ABC=60°,AD=2,AB=PA=1, 且 PA⊥平面 ABCD. (1)请判定 PB 与 AC 的位置关系,并证明; (2)求顶点 A 到平面 PCD 的距离.
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【考点】点、线、面间的距离计算;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】 (1)证明 AC⊥平面 PAB,即可判定 PB 与 AC 的位置关系; (2)过 A 作 AH⊥PC,垂足为 H,则 AH⊥平面 PCD,利用等面积求顶点 A 到平面 PCD 的距离 【解答】证明: (1)∵PA⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD, ∴PA⊥AC;… 在△ABC 中,∠ABC=60°,BC=2,AB=1, ∴AC2=AB2+BC2﹣2 AB?BC cos60°=1+4﹣2=3,则 AB2+AC2=BC2, ∴AB⊥AC;… 又 PA∩AB=A,∴AC⊥平面 PAB, ∵PB? 平面 PAB, ∴PB⊥AC;… (2)由(1)知:AC⊥CD,又 PA⊥CD,则 CD⊥平面 PAC, ∵CD? 平面 PCD,∴平面 PCD⊥平面 PAC;… 过 A 作 AH⊥PC,垂足为 H,则 AH⊥平面 PCD;… 在 Rt△PAC 中,AH= 即 A 到平面 PCD 的距离为 = . ….

请考生在 23~25 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。[选修 4-2:几 何证明选讲](共 1 小题,满分 10 分) 23.如图,A,B,C 为圆 O 上三点,点 B 平分弧 ,点 P 为 AC 延长线上一点,PQ 是圆 O 的切线,切点为 Q,BQ 与 AC 相交于点 D. (1)求证:PD=PQ; (2)若 PC=1,AD=PD,求 BD?QD.

【考点】与圆有关的比例线段;弦切角. 【分析】 (1)连接 CQ,BC,AB,证明∠PQD=∠CDQ,即可证明 PD=PQ;
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(2)利用切割线定理,求出 CD=1,AD=PD=2,即可求 BD?QD. 【解答】证明: (1)连接 CQ,BC,AB, 因为 PQ 是圆 O 的切线,所以∠PQC=∠CBD, 因为点 B 平分弧 ,所以∠CQB=∠ACB,… 所以∠PQC+∠CQB=∠CBD+∠ACB, 即∠PQD=∠CDQ,故 PD=PQ… (2)设 CD=t,则 PD=PQ=1+t,PA=2+2t,… 由 PQ2=PC?PA 得 t=1,所以 CD=1,AD=PD=2, 所以 BD?QD=CD?AD=2…

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 24.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 过点 P( ,2) ,斜倾角为 60°,以原点 O 为极 x 点, 轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2= .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求|PA|?|PB|的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,代入曲线 C 的极坐标方程,可得曲线 C 的直 角坐标方程; (2)求得直线 l 的参数方程,代入曲线 C 的直角坐标方程,运用韦达定理,结合参数的几 何意义,即可得到所求值. 【解答】解: ( 1)由 ρ2= 知,ρ2+ρ2sin2θ=4,

由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,代入上式,可得 x2+2y2=4, 所以曲线 C 的直角坐标方程为 (2)已知直线 l 过点 P( 所以直线 l 的参数方程为 + =1;

,2) ,倾斜角为 60°, (t 为参数)

即为

(t 为参数) ,

代入曲线 C 的直角坐标方程 x2+2y2=4,得:7t2+20 设 A、B 两点对应的参数为 t1、t2,

t+28=0,

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则 t1t2=4,故|PA|?|PB|=|t1t2|=4. [选修 4-5:不等式选讲] 25.已知函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|. (1)解不等式 f(x)≥0; (2)若存在 x0∈[﹣7,7],使得 f(x0)+ m2<4m 成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)利用绝对值的几何意义,化简函数的解析式,然后列出不等式求解即可. 2 ( )求出函数的值域,转化不等式,得到二次不等式,求解即可.

【解答】解: (1)由 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|=

f(x)≥0,可得: 解得:{x|x≤﹣5 或 x≥1};…







(2)当 x0∈[﹣7,7],时,f(x0)∈[﹣ ,12],… 由题意 f(x0)+ m2<4m 知,﹣ <4m﹣ m2,即 m2﹣8m﹣9<0, 解得:﹣1<m<9…

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2016 年 8 月 30 日

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