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排列组合二项定理
考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求: (1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. (2)理解排列的意义,掌握排列

数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. (3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的 应用问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题.

§10. 排列组合二项定理 知识要点
一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列. ....... 从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那 么第一、第二??第 n 位上选取元素的方法都是 m 个,所以从 m 个不同元素中,每次取出 n n 个元素可重复排列数 m·m·? m = m .. 例如:n 件物品放入 m 个抽屉中,不限放法,共有 多少种不同放法? (解: m 种)
n

二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从 n 个不同 ...... 元素中取出 m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相 同. ?排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 A nm 表示. ?排列数公式:
A
m

? n ( n ? 1) ? ( n ? m ? 1) ?

n! ( n ? m )!

(m ? n, n, m ? N )

注意: n ? n! ?
m m m

( n ? 1)! ? n !
m ?1 n m

规定 0! = 1
m ?1 n

A n ? 1 ? A n ? A m ?C

? A n ? mA

A n ? nA n ? 1
m

m ?1

0 规定 C n ? C n ? 1 n

2. 含有可重元素的排列问题. ...... 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集 S 有 k 个不同元素 a1,a2,?...an 其中限重复

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数为 n1、n2??nk,且 n = n1+n2+??nk , 则 S 的排列个数等于 n ?
(1 ? 2 )! 1!2 !

n! n 1 ! n 2 !... n k !

.

例如:已知数字 3、2、2,求其排列个数 n 数?其排列个数 n
? 3! 3! ? 1.

?

? 3

又例如:数字 5、5、5、求其排列个

三、组合. 1. ?组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个组合. ?组合数公式: C m ? n
A
m n m

?

n ( n ? 1) ? ( n ? m ? 1) m!
m ?1 m n ?C n

C

m n

?

n! m ! ( n ? m )!

Am
n?m n

?两个公式:① C

m n

?C

;

②C

?C

m n ?1

①从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素,因此从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的, 因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的唯 一的一个组合. (或者从 n+1 个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取 m 个不同小球其不同选法,分 二类,一类是含红球选法有 C m ?n1 ?C 1 ? C m ?n1 一类是不含红球的选法有 C m ) n 1 ②根据组合定义与加法原理得; 在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时, 对于某一元素, 只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元素,所 以有 C
m ?1 n

,如果不取这一元素,则需从剩余 n 个元素中取出 m 个元素,所以共有 C
m ?1 m n ?C n

m n

种,

依分类原理有 C

?C

m n ?1

.

?排列与组合的联系与区别. 联系:都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系. ?①几个常用组合数公式

C n ? C n ? C n ? ??
0 1 2
0 2 4 1

n n

?2
3

n

C n ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ?C n ? ? ?2
5

n ?1

C n?C
m k

m m ?1

?C
k ?1 n ?1

m m?2

?C

m m?n

?C

m ?1 m ? n ?1

kC n ? nC 1 k ?1 C n?
k

1 n ?1

C

k ?1 n ?1

②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如: ii. 导数法.
1 2! ? 2 3! ? 3 4! ?? n ( n ? 1 )! ? 1? 1 ( n ? 1)!

(利用

n ?1 n!

?

1 ( n ? 1 )!

?

1 n!



iii. 数学归纳法.

iv. 倒序求和法.

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v. 递推法(即用 C m ? C m ?n1 ? C n ?m1 递推)如: C 3 ? C 4 ? C 5 ? ? C n ? C n
3 3 3 3

4 n ?1

.

vi. 构造二项式. 如: ( C n ) ? ( C n ) ? ? ? ( C n ) ? C
0 2 1 2 n 2

n 2n

证明:这里构造二项式 ( x ? 1) n (1 ?
C n ?C n ? C n ?C
0 n 1 n ?1 n

x ) ? (1 ? x )
n

2n

其中 x n 的系数,左边为
2 1 2 n 2

? C n ?C
2

n?2 n

? ? ? C n ?C n ? ( C n ) ? ( C n ) ? ? ? ( C n ) ,而右边 ? C
n 0 0

n 2n

四、排列、组合综合. 1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法. ②排除法. ③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再 考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n 个不同元 素排成一列,要求其中某 m ( m
? n)

个元素必相邻的排列有 A n ? m ? 1 ? A m 个.其中 A n ? m ? 1 是一个 n ? m ?1 n ? m ?1 m

“整体排列”,而 A m 则是“局部排列”. m
2 又例如①有 n 个不同座位,A、B 两个不能相邻,则有排列法种数为 A n ?

A n ?1 ? A 2 .
1 2

②有 n 件不同商品,若其中 A、B 排在一起有 A

n ?1 n ?1

?A 2 .
2

③有 n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有 A
2 2

2 n

? A n ?1 .
n ?1

注:①③区别在于①是确定的座位,有 A 种;而③的商品地位相同,是从 n 件不同商品任取 的 2 个,有不确定性. ④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主 要解决“元素不相邻问题”. 例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少? A n ? m ? A n ? m ?m1 (插 n?m 空法) ,当 n – m+1≥m, 即 m≤ n ? 1 时有意义.
2

⑤占位法: 从元素的特殊性上讲, 对问题中的特殊元素应优先排列, 然后再排其他一般元素; 从位置的特殊性上讲, 对问题中的特殊位置应优先考虑, 然后再排其他剩余位置.即采用“先 特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将 n 个元素进行全排列有 A n n 种, m ( m
? n)

个元素的全排列有 A m 种,由于要求 m 个元素次序一定,因此只能取其中的某 m

一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若 n 个元素排成一列,其中 m 个元素次序一 定,共有
A A
n n m m

种排列方法.

例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法?

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n m

解法一: (逐步插空法) (m+1) (m+2)?n = n!/ m! ;解法二: (比例分配法) A n / A m . ⑦平均法:若把 kn 个不同元素平均分成 k 组,每组 n 个,共有
C
n kn

?C

n ( k ?1) n

?C

n n

Ak

k

.

例如:从 1,2,3,4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法?有

C

2 4

? 3

(平均分组

2!

就用不着管组与组之间的顺序问题了) 又例如将 200 名运动员平均分成两组, 其中两名种子 选手必在一组的概率是多少? (P
? C 18 C 2 C
10 20 8 2



/ 2!

注意:分组与插空综合. 例如:n 个元素全排列,其中某 m 个元素互不相邻且顺序不变,共 有多少种排法?有 A n ? m ? A n ? m ? 1 / A m ,当 n – m+1 ≥m, 即 m≤ n ? 1 时有意义.
n?m m m

2

⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题. 例如: x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一 列, 在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板, 把球分成 4 个组.每一种方法所得 球的数目依次为 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 显然 x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 , 故( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )是方程的一组解.反之, 方程的任何一组解 ( y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) ,对应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式(如图
x1 x2 x3 x 4 所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板 的方法数 C . 注 意 : 若 为 非 负 数 解 的 x 个 数 , 即 用 a , a , .a . . 中 a i 等 于 x ? 1 , 有 x1 ? x 2 ? x 3 . .? . x n ? A ? a 1 ? 1 ? a 2 ? 1 ? . a n. ? 1 ? A , 进 而 转 化 为 求 a 的 正 整 数 解 的 个 数 为 .
3 11
1 2 n
i

C

n ?1 A?n

.

⑨定位问题:从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内, 并且都排在某 r 个指定位置则有 A r A n ? r . 例如:从 n 个不同元素中,每次取出 m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定 在)某一位置上,共有多少种排法? 固定在某一位置上: A
m
m ?1 n ?1

r

k?r

;不在某一位置上: A n ? A
m

m ?1 n ?1

或 A n ?m1 ? A m ? 1 ? A m ?1 (一类是不取出 1 n ?1

特殊元素 a,有 A n ? 1 ,一类是取特殊元素 a,有从 m-1 个位置取一个位置,然后再从 n-1 个元素中取 m-1,这与用插空法解决是一样的) ⑩指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列 (或组合) 规定某 r 个元素都包含在 , 内 。先 C 后 A 策略,排列 C rr C nk ??rr A k ;组合 C rr C kn ? rr . ? k ii. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合) ,规定某 r 个元素都不包含

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在内。先 C 后 A 策略,排列 C n ? rk A k ;组合 C n ? kr . k iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合) ,规定每个排列(或组合) 都只包含某 r 个元素中的 s 个元素。先 C 后 A 策略,排列 C r C
s k?s n?r

A k ;组合 C r C

k

s

k?s n?r

.

II. 排列组合常见解题策略: ①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题先选后排的 策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列) ;④正难则反,等价转化策略; ⑤相邻问题插空处理策略; ⑥不相邻问题插空处理策略; ⑦定序问题除法处理策略; ⑧分排问题直排处理的策略; ⑨“小 集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题. ①均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,假定其中 r 组元素个数相等,不管 是否分尽,其分法种数为 A / A rr (其中 A 为非均匀不编号分组中分法数).如果再有 K 组均匀 分组应再除以 A kk . 例:10 人分成三组,各组元素个数为 2、4、4,其分法种数为 C 102 C 84 C 4 / A 2 ? 1575 .若分成 4 2 六组,各组人数分别为 1、1、2、2、2、2,其分法种数为 C 101C 91C 82 C 62 C 42 C 2 / A 2 ? A 4 2 2 4 ②非均匀编号分组: n 个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,其 分法种数为 A ? A m m 例:10 人分成三组,各组人数分别为 2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方法为:
C 10 ?C 8 ?C 5 ? A 3 种.
2 3 5 3

若从 10 人中选 9 人分成三组,人数分别为 2、3、4,参加不同的劳动,则安排方法有
C 10 C 8 C 5 ? A 3 种
2 3 4 3

③均匀编号分组:n 个不同元素分成 m 组,其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序,其 分法种数为 A / A rr ? A m . m
C 10 C 8 C A2
2 2 4 4 4

例:10 人分成三组,人数分别为 2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为

?A 3
3

④非均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,每组元素数目均不相同,且不考
2 1 k 虑各组间顺序,不管是否分尽,其分法种数为 A ? C n C n - m 1 ? C n - (m 1 ? m 2 ? ...? m k -1 )

m

m

m

例:10 人分成三组,每组人数分别为 2、3、5,其分法种数为 C 出 6 人分成三组,各组人数分别为 1、2、3,其分法种数为 C 五、二项式定理.
1 10

2 10

C 8 C 5 ? 2520
3 5
3

若从 10 人中选

C 9 C 7 ? 12600
2

.

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0 n 1. ?二项式定理: ( a ? b ) n ? C n a n b 0 ? C n1 a n ?1 b ? ? ? C nr a n ? r b r ? ? ? C n a 0 b n .

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展开式具有以下特点: ① 项数:共有 n ? 1 项;
0 1 2 r ② 系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n , ? ,C n , ? ,C n ; n

③ 每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列展开. ?二项展开式的通项.
( a ? b)
n

展开式中的第 r ? 1 项为: T

r n?r r b r ?1? C n a

(0 ? r ? n , r ? Z ) .

?二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数最大. .....
n

I. 当 n 是偶数时,中间项是第

n 2

? 1 项,它的二项式系数 C n ?1 2 n ?1 2

2 n

最大;
n ?1 n ?1 2 n

II. 当 n 是奇数时, 中间项为两项, 即第 最大. ③系数和:
C n ?C n ? ? ?C n ?2
0 2 4 0 1 n n 1 3 n ?1

项和第

? 1 项, 它们的二项式系数 C

?C

2 n

C n ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ? ? ?2

附: 一般来说 ( ax

? by ) ( a , b

n

为常数) 在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求 ...........

解. 当

? A k ? A k ?1 , ? A k ? A k ?1 或? (Ak 为T a ? 1或 b ? 1 时,一般采用解不等式组 ? ? A k ? A k ?1 ? A k ? A k ?1

k ?1

的系数或系数

的绝对值)的办法来求解. ? 如 何 来 求 (a ? b ? c) n 展 开 式 中 含 a p b q c r 的 系 数 呢 ? 其 中
( a ? b ? c ) ? [( a ? b ) ? c ]
n?r n n

p, q, r ? N ,



p?q?r ? n



r 视 为 二 项 式 , 先 找 出 含 有 C r 的 项 C n (a ? b) n?r C r , 另 一 方 面 在

(a ? b)

中含有
r

b

q

的 项 为 C n ? rq a n ? r ? q b q ? C n ? rq a p b q , 故 在
q n?r

(a ? b ? c)

n

中含

a b c

p

q

r

的项为

C nC

r

q p q n?r a b

c .其系数为 C nr C

?

n!

r ! ( n ? r )! q ! ( n ? r ? q )!

?

( n ? r )!

?

n! r! q! p!

?C n C

p

q r n? p C r

.

2. 近似计算的处理方法. 当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时,常用近似公式 (1 ? a ) n ? 1 ? na ,因为这时展开式的 后面部分 C n2 a 2 ? C n3 a 3 ? ? ? C nn a n 很小,可以忽略不计。类似地,有 (1 ? a ) n ? 1 ? na 但使用这两 个公式时应注意 a 的条件,以及对计算精确度的要求.

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