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2015年高中数学《双曲线》自测试题


2015 年高中数学《双曲线》自测试题 【梳理自测】 一、双曲线的概念 (教材改编)已知点 F1(-4,0)和 F2(4,0),一曲线上的动点 P 到 F1,F2 距离之差为 6,该曲线方 程是________. x2 y2 答案: - =1(x≥3) 9 7 ◆此题主要考查了以下内容: 平面内与两个定点 F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的 点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 集合 P={M||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0; (1)当 2a<2c 时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当 2a=2c 时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当 2a>2c 时,P 点不存在. 二、双曲线标准方程及性质 1.(教材改编)双曲线 x y - =1 的焦距为( 10 2
2 2

)

A.3 2 C.3 3 D.4 3

B.4 2

2.双曲线 y2-x2=2 的渐近线方程是(

)

A.y=±x B.y=± 2x C.y=± 3x D.y=±2x
x2 y2 3.已知双曲线 2- =1 的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( a 5 )

A. C.

3 14 3 2 B. 14 4 3 2

D.

4 3

4.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=________. 答案:1.D 2.A 3.C 4.- 1 4

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◆此题主要考查了以下内容: 标准方程 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点 性质 渐近线 离心率

x≥a 或 x≤-a,y∈R

x∈R,y≤-a 或 y≥a

对称轴;坐标轴对称中心:原点

A1(-a,0),A2(a,0) b y=± x a

A1(0,-a),A2(0,a) a y=± x b

c e= ,e∈(1,+∞) 其中 c= a2+b2 a
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2

实虚轴

叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半 轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长

a、b、c 的关系

c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
【指点迷津】

1.一条规律 根据方程中 x2 与 y2 的系数的正负来确定实轴与虚轴的位置,即焦点在实轴上. 2.两种方法 (1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定 2a、2b 或 2c,从而求 出 a2、b2,写出双曲线方程. (2)待定系数法:先确定焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上,设出标准方程,再由条件确定 a2、b2 的 x2 y2 值,即“先定型,再定量”;如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为 2- 2=λ (λ ≠0),再根 m n 据条件求 λ 的值. 3.三个关注点——双曲线几何性质的关注点 双曲线的几何性质从以下三点关注: (1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点;
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(2)“四线”:两对称轴(实、虚轴),两渐近线; (3)“两形”:中心、顶点、虚轴端点构成的三角形,双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构 成的三角形. 考向一 双曲线的定义及标准方程

例题 1 (1)(2014?陕西师大附中模拟)设过双曲线 x2-y2=9 左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于 点 P,Q,F2 为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则△F2PQ 的周长为( )

A.19 C.43 D.50

B.26

x2 y2 x2 y2 (2)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆 a b 16 9 离心率的两倍,则双曲线的方程为________. 【审题视点】 (1)利用双曲线定义|PF2|-|QF2|=2a 及三角形周长的计算求解. (2)已知双曲线的焦点及离心率求双曲线方程. 【典例精讲】 (1)如图,由双曲线的定义

?|PF2|-|PF1|=2a, 可得? ?|QF2|-|QF1|=2a, 将两式相加得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a, ∴△F2PQ 的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ| =4a+|PQ|+|PQ|=4?3+2?7=26. x2 y2 7 x2 y2 (2)椭圆 + =1 的焦点坐标为 F1(- 7,0),F2( 7,0),离心率为 e= .由于双曲线 2- 2= 16 9 4 a b x2 y2 1 与椭圆 + =1 有相同的焦点,因此 a2+b2=7. 16 9 a2+b2 7 7 2 7 又双曲线的离心率 e= = ,所以 = , a a a 4 x2 y2 所以 a=2,b =c -a =3,故双曲线的方程为 - =1. 4 3
2 2 2

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【答案】 (1)B

x y (2) - =1 4 3

2

2

【类题通法】 (1)涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题时,经常考虑双曲线的定义. x2 y2 (2)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时,其标准方程可设为 - =1(mn>0), 这样可避 m n 免讨论和复杂的计算;也可设为 Ax2+By2=1(AB<0),这种形式在解题时更简便; (3)当已知双曲线的渐近线方程 bx±ay=0,求双曲线方程时,可设双曲线方程为 b2x2-a2y2= λ (λ ≠0),据其他条件确定 λ 的值; x2 y2 x2 y2 (4)与双曲线 2- 2=1 有相同的渐近线的双曲线方程可设为 2- 2=λ (λ ≠0),据其他条件确定 a b a b λ 的值. 变式训练 1.根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 (1)与双曲线 - =1 有共同的渐近线,且过点(-3,2 3); 9 16 x2 y2 (2)与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2,2). 16 4 x2 y2 解析:(1)设所求双曲线方程为 - =λ (λ ≠0), 9 16 1 将点(-3,2 3)代入得 λ = , 4 x2 y2 1 ∴所求双曲线方程为 - = , 9 16 4 x2 y2 即 - =1. 9 4 4 x2 y2 (2)设双曲线方程为 - =1, 16-k 4+k 将点(3 2,2)代入得 k=4(k=-14 舍去). x2 y2 ∴所求双曲线方程为 - =1. 12 8 考向二 双曲线的性质及应用

x2 y2 例题 2 (1)(2014?哈尔滨模拟)已知 P 是双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)上的点, F1, F2 是其焦点, a b
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5 → ?PF → =0,若△PF F 的面积为 9,则 a+b 的值为( 双曲线的离心率是 ,且PF 1 2 1 2 4

)

A.5 C.7 D.8

B.6

x2 y2 (2)F1、F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右 a b 两支分别交于 A、B 两点.若△ABF2 是等边三角形,则该双曲线的离心率为( )

A.2 B. 7 C. 13 D. 15
→ ?PF → =0 及 e=5转化为 a,b 的方程组. 【审题视点】 (1)利用PF 1 2 4 (2)利用双曲线定义及余弦定理求 a 与 c 的关系. → ?PF → =0,得PF → ⊥PF →, 【典例精讲】 (1)由PF 1 2 1 2 a=4, → |=m,|PF → |=n,不妨设 m>n,则 m2+n2=4c2,m-n=2a,1mn=9,c=5,解得? ? 设|PF 1 2 2 a 4 ?c=5, ∴b=3,∴a+b=7,故选 C. (2)如图,由双曲线定义得, |BF1|- |BF2|= |AF2| -|AF1| =2a,因为△ABF2 是正三角形,所以|BF2| = |AF2|=|AB|,因此|AF1|=2a,|AF2|=4a,且∠F1AF2=120°,在△F1AF2 中,4c2 1 =4a2+16a2+2?2a?4a? =28a2,所以 e= 7,故选 B. 2 【答案】 (1)C (2)B

【类题通法】 (1)求双曲线的离心率,就是求 c 与 a 的比值,一般不需要具体求出 a,c 的值, 只需列出关于 a,b,c 的方程或不等式解决即可. (2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,二者之间可以互求. 变式训练 x2 y2 2.(2014?济南模拟)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点 F 作一 a b 条渐近线的垂线,若垂足恰在线段 OF(O 为原点)的垂直平分线上,则双曲线 的离心率为________.
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解析:如图所示,不妨设 F 为右焦点,过 F 作 FP 垂直于一条渐近线,垂足为 P,过 P 作 PM⊥OF 于 M.由已知得 M 为 OF 的中点,由射影定理知|PF|2=|FM||FO|,又 F(c,0),渐近线方程为 bx-ay bc c c =0,∴|PF|= 2 =b,∴b2= ?c,即 2b2=c2=a2+b2,∴a2=b2,∴e= = 2 2 a b +a 答案: 2 考向三 直线与双曲线的综合应用 b2 1+ 2= 2. a

x2 例题 3 已知双曲线 C: 2-y2=1(a>0)与 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A、B,l 与 y 轴交于 a 5 点 P,若→ PA= → PB,则 a=________. 12 【审题视点】 联立方程组,利用 P、A、B 坐标之间的关系,建立 a 的方程.

【典例精讲】

?x -y =1, 因为双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点,故知方程组?a 有两组不 ?x+y=1
2 2

2

同的实数解,消去 y 并整理,得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,实数 a 应满足

?a>0, ?1-a ≠0, ?4a +8a (1-a )>0,
2 4 2 2

解得 0<a< 2且 a≠1. 设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 由一元二次方程根与系数的关系, 2a2 得 x1+x2= 2 ,① a -1 2a2 x1x2= 2 ,② a -1 又 P(0,1), 5 5 由→ PA= → PB,得(x1,y1-1)= (x2,y2-1), 12 12 5 从而 x1= x2,③ 12

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5 2a ? ?x =17?a -1, 由①③,解得? 代入②, 12 2a ? ?x =17?a -1
2 1 2 2 2 2 2 5 12 ? 2a ?2 2a2 得 ? ?? 2 ? = 2 , 17 17 ?a -1? a -1

17 2a2 289 17 ? ? 即 2 = ,解得 a= ,?a=- 舍去?. 13 a -1 60 13 ? ? 【答案】 17 13

【类题通法】 (1)判断直线 l 与双曲线 E 的位置关系时, 通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A、 B 不同时为 0)代入双曲线 E 的方程 F(x,y)=0,消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 ?Ax+By+C=0 y)的一元方程.即? 消去 y 后得 ax2+bx+c=0.由此转化为两点坐标的关系. ?F(x,y)=0, (2)特殊情况考虑与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系,数形结合求解. 变式训练 3.已知点 A(- 2,0),点 B( 2,0),且动点 P 满足|PA|-|PB|=2,则动点 P 的轨迹与直线 y =k(x-2)有两个交点的充要条件为 k∈________. 解析:由已知得动点 P 的轨迹为一双曲线的右支且 2a=2,c= 2,则 b= c2-a2=1,∴P 点的 轨迹方程为 x2-y2=1(x>0),其一条渐近线方程为 y=x.若 P 点的轨迹与直线 y=k(x-2)有两个交 点,则需 k∈(-∞,-1)∪(1,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)

双曲线与渐近线的关系不清致误 典型例题 (2014?浙江温州适应性测试)已知 F1,F2 为双曲线 Ax2-By2=1 的焦点,其顶点是线 段 F1F2 的三等分点,则其渐近线的方程为( )

A.y=±2 2x

B.y=±

2 x 4 2 x 4

C.y=±x D.y=±2 2x 或 y=±

【正解】 依题意 c=3a,∴c2=9a2.又 c2=a2+b2,

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b b a 2 ∴ 2=8, =2 2, = .故选 D. a a b 4 【答案】 D b 【易错点】 (1)默认为双曲线焦点在 x 轴其渐近线为 y=± x,而错选为 A. a (2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为 C. (3)把 a,b,c 的关系与椭圆 c2=a2-b2 混淆致错. x2 y2 b 【警示】 (1)对于方程 2- 2=1 来说,求渐近线方程就相当于求 的值,但要分焦点的位置是 a b a 在 x 轴还是在 y 轴上,此题没有给出焦点的位置,其渐近线斜率有四种情况. b x2 y2 (2)渐近线为 y=± x 所对应的双曲线为 2- 2=λ (λ ≠0).当 λ >0 时,表示焦点在 x 轴上, a a b 当 λ <0 时,焦点在 y 轴上. 真题体验 x2 1.(2013?高考福建卷)双曲线 -y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于( 4 )

2

A. C.

2 5 2 5 4 5 D. 5 5

B.

4 5

解析:选 C.求出双曲线的顶点和渐近线,再利用距离公式求解. 1 |±2±0| 双曲线的渐近线为直线 y=± x,即 x±2y=0,顶点为(±2,0),∴所求距离为 d= = 2 5 2 5 . 5 3 2.(2013?高考广东卷)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则 C 的 2 方程是( ) x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 2 5

x2 y2 A. - =1 4 5 x2 y2 C. - =1 2 5

解析:选 B.求双曲线的标准方程需要确定焦点位置及参数 a,b 的值.
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c 3 右焦点为 F(3,0)说明两层含义:双曲线的焦点在 x 轴上;c=3.又离心率为 = ,故 a=2,b2 a 2 x2 y2 =c -a =3 -2 =5,故 C 的方程为 - =1,选 B. 4 5
2 2 2 2

y2 3.(2013?高考北京卷)双曲线 x - =1 的离心率大于 2的充分必要条件是( m
2

)

A.m>

1 B.m≥1 2

C.m>1 D.m>2
解析:选 C.用 m 表示出双曲线的离心率,并根据离心率大于 2建立关于 m 的不等式求解. y2 ∵双曲线 x - =1 的离心率 e= 1+m, m
2

又∵e> 2,∴ 1+m> 2,∴m>1. π x2 y2 y2 4 .(2013?高考湖北卷 ) 已知 0 < θ < ,则双曲线 C1 : - = 1 与 C2 : - 4 cos2θ sin2θ sin2θ x2

sin2θ tan2θ

=1 的(

)

A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等
解析:选 D.先根据 θ 的范围,确定双曲线方程的类型,判断焦点所在的坐标轴,然后分析双曲 线 C1 和 C2 的实轴长、虚轴长、焦距、离心率是否相等. 双曲线 C1 的焦点在 x 轴上,a=cos θ ,b=sin θ ,c=1,因此离心率 e1= 的焦点在 y 轴上,由于 0<θ < 1

cos θ

;双曲线 C2

π ,所以 a=sin θ ,b=sin θ tan θ ,c= sin2θ +sin2θ tan2θ , 4

sin2θ +sin2θ tan2θ sin θ 1+tan2θ 1 因此离心率 e2= = = . sin θ sin θ cos θ
故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等,离心率相等

======*以上是由明师教育编辑整理======

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