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集合与简易逻辑典型例题解析


集合与简易逻辑典型例题解析
例 1 以下说法中正确的个数有( ① ③空集是唯一的;④ A﹒3 个 B﹒2 个 C﹒1 个 D﹒0 个 ) 与 表示同一个集合; ,则集合 。

表示同一个集合 ② 与

例 2 若集合: 则 M,N,P 的关系是( A﹒ C﹒ 例 3 设全集 ,

, ) B﹒ D﹒ , ,判断

与 之间的关系. )



例 4. 如图所示,I 是全集,M、P、S 是 I 的 3 个子集,则阴影部分所表示的集合是(

A﹒ C﹒ 例 5 解不等式 例 7 解不等式 例 8 不等式 例 9 已知 P 的取值范围。 例 10 例 11 解关于 的不等式:
I

B﹒ S D﹒
I

S

.例 6 解不等式 ( 为参数)



的解是全体实数,求实数 ,且 ,(

的取值范围。 ),求实数

分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题,并判断它们的真假. 的元素既是 的元素; 的元素又是 的元素;

(1)三个角相等的三角形不是直角三角形;(2) (3)若 是 的元素或 是 的元素,则 是

(4)两条对角线垂直的平行四边形是菱形或正方形;

(5) 例 12

不是方程 则

的解. ”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题:

把下列命题改写成“

(1)两条平行线不相交.(2)正数的算术平方根是正数. 例 13 判断下列命题的真假,并写出它的逆命题,否命题,逆否命题.同时,也判断这些命题的真假. ,则 或 .(2)若 中 ,则 . 轴有公共点. , 中

(1)若

(3)若在二次函数 例 14 已知三个关于 的方程: 至少有一个方程有实数根,求实数 例 15 已知关于

,则该二次函数图像与 ,

的取值范围. ) ① ②

的一元二次方程(

求方程①和②的根都是整数的充要条件。 例 16 已知 : 实数 的取值范围. 1.判断下列命题的真假: (1)已知 a, b, c, d ? R, 若 a ? c, 或b ? d , 则a ? b ? c ? d . (2) ?x ? N , x ? x
3 2





.若



的必要而不充分条件,求

(3)若 m ? 1, 则方程 x ? 2 x ? m ? 0 无实数根。
2

(4)存在一个三角形没有外接圆。 2.已知命题

p : x 2 ? x ? 6, q : x ? Z
2 2

q 且“ p且q ”与“非 ”同时为假命题,求 x 的值。

3.已知方程 x ? (2k ?1) x ? k ? 0 ,求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件。

p : 1?
4.已知 取值范围。

x ?1 ?2 2 2 ? p 是 ? q 的必要非充分条件,求实数 m 的 3 ;q : x ? 2x ? 1 ? m ? 0(m ? 0) 若

1 5.设 0 ? a, b, c ? 1,求证: (1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a 不同时大于 4 .
6.命题 命题

p : 方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根,

q : 方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数根。若“ p 或 q ”为真命题,求 m 的取值范围。

答案 1、解:①集合 M 表示由点(1,2)组成的单点集,集合 N 表示点(2,1)组成的单点集。 ②由集合元素无序性可知 M,N 表示同一个集合。 ③由 且 (其中 、 均为空集) 由集合相等定义可知 即证明空集唯一性。

④对于要认识一个集合,应从以下方面入手①判断集合元素是什么;②元素有何属性(如表示数集, 点集等),表示集合时与代表元素采用的字母无关。而④中的集合都表示大于等于 1 的实数组成的集合, 故相等,选 A。

2、 解 对集合
∴ ,故选 B。 ∴ ∴

对集合

对于

3、 解:∵


∴ 。但又不属于 S 集,所以为
IS,故选

4、 解 此阴影部分是属于 M 且属于 P,即

C。

5、 这是一个含有两个绝对值的符号的不等式,为了使其转化为解不含绝对值符号的不等 式,要进行分类讨论. 6、 7、分析 这是一个含有字母的一元二次不等式,在解题时要注意对字母的讨论. 解:原不等式可化为 若 若 若 因此,当 为 说明:此题是带字母问题,要涉及到分类讨论问题。讨论中又涉及到解二次不等式,所用到的知识比 较多,条理也要求必须清楚,才能正确解决此题. ,则 ,即 ,即 或 或 ,即 ,原不等式的解集为 ; ;

,则原不等式的解集为 ,则原不等式的解集为 ;当

时,原不等式的解集为



时,原不等式的解集

8、 分析:此题应就所给不等式是一次还是二次进行分类讨论,针对二次的情形应结合二次函数的图象,
知此时应有 解:若 若 且 ,不等式为 ,不等式为 ,特别要强调此时 ,其解集为 ,其解集显然不是全体实数,故 不符合条件。 。



,不等式为二次不等式,有

解得



综上得,

说明:解含有字母的一元二次不等式要根据字母范围进行讨论,当二次系数含有字母时,应首先考虑 其值是否为零。

9、 解:由
(1)若方程无实根: (2)若方程有实根

知,关于

的二次方程 ,得 ; ,得

无正根。



,但无正根;此时由



,而由韦达定理

由 , ∴ 因此

知两根均为正或均为负,由条件显然须



,于是

由上述的(1),(2)得

的取值范围是

10、分析:由于字母系数
系数

的影响,不等式可以是一次的,也可以是二次的,在二次的情况下,二次项 的大小也受 的影响,这些都应予以考虑。

可正、可负,且对应二次方程的两个根 2, 解:当 时,原不等式化为

,其解集为



时,有

,原不等式化为

,其解集为

当 当

时,

。原不等式化为 ,其解集是

,其解集是

时,原不等式化为



时,原不等式化为

,其解集是

说明 对于二次项系数含有字母的不等式,一定要注意对二次项系数讨论,分为一元一次不等式和一 元二次不等式两种情况.

11、解:(1)这个命题是“非
因为

”的形式,其中

:三个角相等的三角形是直角三角形.

是假命题,所以这个命题是真命题. 的元素, : 的元素是

(2)这个命题是“ 且 ”的形式,其中 : 的元素是 的元素.因为 、 都是真命题,所以这个命题是真命题.

(3)这个命题是“ 是 的元素,则 是



”的形式,其中 的元素.因为 、

:若



的元素,则



的元素,

:若

都是真命题,所以这个命题是真命题.

(4)这个命题是“ 或 ”的形式,其中 :两条对角线垂直的平行四边形是菱形, :两条对 角线垂直的平行四边形是正方形. 因为 是真命题, 是假命题,所以这个命题是真命题. (5)这个命题是“非 以这个命题是假命题. ”的形式,其中 : 是方程 的解.因为 是真命题,所

12、 解:(1)原命题可写成:若两条直线平行,则两直线不相交;逆命题:若两条直线不相交,则两
直线平行; 否命题:若两直线不平行,则两直线必相交;逆否命题:若两直线相交,则两直线不平行. (2)原命题:若一个数是正数,则它的算术平方根是正数; 逆命题:若一个数的算术平方根是正数, 则它是正数;否命题:若一个数不是正数,则它的算术平方根不是正数; 逆否命题:若一个数的算术平方根不是正数,则它不是正数.

13、解:(1)该命题为真.逆命题:若
否命题:若 ,则 ,



,则

.为假. , ,则 .为真.

,为假.逆否命题:若 ,则 .为真.

(2)该命题为假.逆命题:若 否命题:若 ,则

.为真. 逆否命题:若

,则

.为假.

(3)该命题为假. 逆命题:若二次函数 否命题:若二次函数 逆否命题:若二次函数 的图像与 中, 的图像与 轴有公共点,则 ,则该二次函数图象与 轴没有公共点,则 .为假. 轴没有公共点.为假. .为假.

评注:(1)写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论,然 后依照定义来写. (2)在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要应用“原命题与其逆否命题同真 或同假;逆命题与否命题同真或同假”来判定.

14、点拨

这类求参数取值范围的问题,直接求需分类讨论,很繁冗.若用反证法的思想和补集的思想 求解,就一目了然. 解 设三个关于 的方程均无实数根,则

解①,得



解②,得

,或

;解③,得



取①,②,③的交集,即不等式组的解集为 则使三个方程中至少有一个方程有实根的实数 的取值范围应为

. ,即



15、解 方程①有实数根的充要条件是

,解得



方程②有实数根的充要条件是

,解得



所以 当 当

。而 时,方程①为 时,方程①为

,得

,或

,或

。 时,方程②为 ,无整数根;

,无整数根;当 ,方程②为 ;反之, 。

,①和②的根都是整数。 ①和②的根都是整数。

从而,①和②的根都是整数

所以方程①和②的根都是整数的充要条件是

16 点拨 可以有两个思路:
(1)先求出 和 ,然后根据 , ,求得 的取值范围;

(2)若原命题为“若 ,则 ”,其逆否命题是“若 则 ”,由于它们是等价的,可以把求 是 的必要而不充分条件等价转换为求 是 的充分而不必要条件. 解法一 求出 : : 由 是 的必要而不充分条件,知 B 或 或 , .

A,它等价于

同样解得 解法二 根据思路二, : 是 ;

的取值范围是 是

. 的充分而不必要条件.设 ;

的必要而不充分条件,等价于 :

所以,A

B,它等价于

同样解得

的取值范围是



1.解:(1)为假命题,反例: 1 ? 4,或5 ? 2,而1 ? 5 ? 4 ? 2 (2)为假命题,反例: x ? 0, x ? x 不成立(3)为真命题,因为 m ? 1 ? ? 4 ? 4m ? 0 ? 无实数根
3 2

(4)为假命题,因为每个三角形都有唯一的外接圆。 2.解:非 q 为假命题,则 q 为真命题; p且q 为假命题,则 p 为假命题,即

? x2 ? x ? 6 ? 0 ? , ?2 ? x ? 3, x ? Z ? 2 x 2 ? x ? 6, 且x ? Z x ?x?6?0 ? ? x ? ?1,0,1, 或2 ? ,得
3.解:令 f ( x) ? x ? (2k ? 1) x ? k ,方程有两个大于 1 的实数根
2 2

? ? ? (2k ? 1) 2 ? 4k 2 ? 0 ? ? 2k ? 1 ? ?? ?1 2 ? 1 1 0?k ? 0?k ? f (1) ? 0 ? ? 4 ,所以其充要条件为 4 即

?p : 1 ?
4.解:

x ?1 ? 2, x ? ?2, 或x ? 10, A ? ?x | x ? ?2, 或x ? 10? 3

?q : x2 ? 2x ?1? m2 ? 0, x ? 1? m, 或x ? 1? m, B ? ?x | x ? 1? m, 或x ? 1? m?

? p 是 ? q 的必要非充分条件,? B

?1 ? m ? ?2 ? m ? 9,? m ? 9 ? 1 ? m ? 10 A ,即 ? 。

1 1 1 (1 ? a )b ? , (1 ? b)c ? , 4 4 5.证明:假设 (1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a 都大于 4 ,即

(1 ? c)a ?

1 1? a ? b 1 1? b ? c 1 ? (1 ? a)b ? , ? (1 ? b)c ? , 4 ,而 2 2 2 2

1? c ? a 1 1? a ? b 1? b ? c 1? c ? a 3 ? (1 ? c) a ? , ? ? ? 2 2 得 2 2 2 2
3 3 ? 即 2 2 ,属于自相矛盾,所以假设不成立,原命题成立。
6.解:“

p 或 q ”为真命题,则 p 为真命题,或 q 为真命题,或 q 和 p 都是真命题



p 为真命题时,则 q

?? ? m 2 ? 4 ? 0 ? ? x1 ? x2 ? ? m ? 0 ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2

,得 m ? ?2 ; 当 为真命题时,则

q

? ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0, 得 ? 3 ? m ? ?1
当 和

p 都是真命题时,得 ?3 ? m ? ?2 ? m ? ?1


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