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高中数学(沪教版)知识点归纳


高中数学知识点归纳
高一(上)数学知识点归纳
第一章 集合与命题

1.主要内容:集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等;集合的交、 并、补运算。四种命题形式、等价命题;充分条件与必要条件。 2.基本要求: 理解集合、 空集的意义, 会用列举法和描述法表示集合; 理解子集、 真子集、集合相等等概念,能判断两个集合之间的包含关系或相等关系;理解 交集、并集,掌握集合的交并运算,知道有关的基本运算性质,理解全集的意 义,能求出已知集合的补集。理解四种命题的形式及其相互关系,能写出一个 简单命题的逆命题、否命题与逆否命题;理解充分条件、必要条件与充要条件 的意义,能在简单问题的情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。 3.重难点:重点是集合的概念及其运算,充分条件、必要条件、充要条件。难点 是对集合有关的理解,命题的证明,充分条件、必要条件、充要条件的判别。 4.集合之间的关系:(1)子集:如果 A 中任何一个元素都属于 B,那么 A 是 B 的 子集,记作 A ? B.(2)相等的集合:如果 A ? B,且 B ? A,那么 A=B.(3).真子集: A ? B 且 B 中至少有一个元素不属于 A,记作 A ? B. 5.集合的运算:(1)交集: A ? B ? {x x ? A且x ? B}. (2)并集: A ? B ? {x x ? A或x ? B}. (3)补集: CU A ? {x x ?U且x ? A}. 6.充分条件、必要条件、充要条件 如果 P ? Q ,那么 P 是 Q 的充分条件,Q 是 P 的必要条件。 如果 P ? Q ,那么 P 是 Q 的充要条件。 也就是说, 命题 P 与命题 Q 是等价命题。 有关概念:1.我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合。 2.数集有:自然数集 N,整数集 Z,有理数集 Q,实数集 R。 3.集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。 4.用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法, 所用图 叫做文氏图。

5.真子集,交集,并集,全集,补集。 6.命题,逆命题,否命题,逆否命题,等价命题。 7 充分条件与必要条件。 注意:1.集合中的元素是确定的,各不相同的。 2 集合与元素的属于关系与几何之间的包含关系,两者不能混淆。 3.证明 A 是 B 的充要条件: (1)充分性的证明:A ? B.(2)必要性的证明: B ? A. 4.原命题与它的逆否命题同真(假) ,因此它们是等价命题,逆命题与否 命题互为逆否命题。

第二章

不等式

1.主要内容:不等式基本性质、不等式性质;一元二次不等式(组)的解法、 分时不等式的解法、绝对值不等式的解法、无理不等式的解法、某些高次不 等式的解法、基本不等式、不等式的证明。 2.基本要求:掌握不等式的基本性质及常用的不等式的性质,掌握一元二次不 等式的解法,掌握简单的分式不等式及绝对值不等式的解法,会解简单的无 理不等式和高次不等式,掌握比较法、综合法、分析法证明不等式的基本思 路,并会用这些方法证明简单的不等式。 3.重难点:重点是不等式的基本性质和一元二次不等式的解法,基本不等式及 其证明。难点是分式不等式与绝对值不等式的解法,解不等式的应用,比较 法、综合法、分析法证明简单的不等式。 不等式的基本性质:1.如果 a ? b, b ? c; 那么a ? c. 2. 如果 a ? b, 那么a ? c ? b ? c. 3.如果 a ? b, c ? 0, 那么ac ? bc : 如果a ? b, c ? 0, 那么ac ? bc. 4.如果 a ? b, c ? d , 那么a ? c ? b ? d . 5.如果 a ? b ? 0, c ? d ? 0, 那么ac ? bd. 6.如果 a ? b ? 0 ,那么 0 ?
1 1 ? . a b

7.如果 a ? b ? 0 ,那么 a n ? b n (n ? N ? ) .

8.如果 a ? b ? 0 ,那么 n a ? n b (n ? N ? , n ? 1). 一元二次不等式的解法:这个知识点很重要,可根据 ? 与 0 的关系来求解,注意 解的区间的表示, 不等式组也是一样。解分式不等式的方法就是将它转化为解整 式不等式。 两个基本不等式:1.对于任意实数 a和b, 有 a 2 ? b 2 ? 2ab, 当且仅当 a ? b 时等号 成立。
a2 ? b2 ? ab ,当且仅当 a ? b 时等号 2.对任意正数 a和b, 有 2 a2 ? b2 和 ab 分别叫做正数 a、 b 的算术平均数和几何平均数。 2

成立。我们把

第三章

函数的基本性质

1.主要内容:函数、函数的运算;函数的奇偶性、单调性、周期性、函数的最大 值或最小值。 2.基本要求:理解函数的概念,能使用函数的记号 y ? f ( x) 表示 y是x的函数,会 求函数值 f (a ) ,会求简单函数的定义域和值域。理解函数运算意义,会求两 个函数的和与积。掌握函数奇偶性、单调性、周期性概念,会求一些简单函数 的最大值和最小值。 3.重难点:重点是函数关系的建立,函数奇偶性、单调性、周期性等的判定,以 及由函数图像研究其性质和由函数性质研究其图像的一般方法。 难点是求函数 的值域、最大值和最小值。 注意: ⑴函数的运算中一定要考虑函数自变量的定义域,定义域会随着函数的运 算改变而改变。 ⑵函数讲到奇偶性时其定义域一定要关于原点对称。 ⑶偶函数的性质: f ( x) = f (? x) . ⑷奇函数的性质: f ( x) ? ? f (? x) . ⑸单调性和最值性。 ⑹零点的概念,实际上,函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) =0 的解,也 就是函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴的交点的横坐标.

第四章

幂函数、指数函数和对数函数(上)

1.主要内容:幂函数的概念及其在 (0,??) 内的单调性。指数函数及其性质, 2.基本要求: 掌握幂函数的定义域及其性质,特别是在 (0,??) 内的单调性会画幂 函数的图像,掌握指数函数的图像及其性质。 3.重难点:重点是幂函数性质的探求,指数函数的图像和性质;难点是幂函数性 质的运用指数函数的单调性。 注意:1.幂函数的定义:一般地,函数 y ? x k (k为常数,k ? Q) 叫做幂函数。 2.指数函数的定义:一般地,函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数。其 中 x 是自变量,函数的定义域是 R. 幂函数与指数函数的形式一定要区分开。 指数函数的性质:1.指数函数 y ? a x 的函数值恒大于零.性质 2.指数函数 y ? a x 的图像经过点(0,1). 3.函数 y ? a x ( a >1)在 (??,??) 内是增函数; 函数 y ? a x (0< a <1)在 (??,??) 内是减函数.

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第四章 幂函数、指数函数和对数函数(下)

1.主要内容: 幂函数的概念及其在 (0, ??) 内的单调性。 对数; 反函数; 指数函数、 对数函数及其性质;简单的指数方程和对数方程。 2.基本要求:掌握幂函数的定义域及其性质,特别是在 (0, ??) 内的单调性。会画 幂函数的图像,熟练地将指数式与对数式互化。对数积、商、幂的运算性质, 掌握换底公式并会灵活运用, 掌握函数与它的反函数在定义域、值域以及图像 上的关系。 指数函数与对数函数互为反函数的结论,会解简单的指数方程和对 数方程。 3.重难点: 幂函数性质的探求及其运用。 对数的意义与运算性质, 反函数的概念, 指数函数与对数函数的图像和性质(单调性) 。

说 明 : ① 幂 函 数 y ? x? (? ? Q,?是常数 )的 定 义 域 D 由 常 数 ? 确 定 , 但 总 有
(0, +?) ? D.D不外乎是(0,+ ? ),[0,+ ? ),(- ? ,0) ? (0,+ ? ),(- ,+ ? ) ? 四种。当

D ? ( ??, 0)? (0,??或 ) D=(- ?,+ ?) 时 ,幂函数 y ? x? 是奇函数或偶函数,因此研
, ) 的性质。当 究 幂 函 数 的 性 质 , 主 要 是 研 究 幂 函 数 在 ( 0?? 上

是增函数;当 ? ? 0时,y ? x? 在(0, 上是减函数, ? ? 0时,y ? x? 在(0, +?) +?) 幂函数的图像都经过 (1,1) 。 ②指数函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 有些同学常会与幂函数 y ? x? (? ? Q,?是常数) 混淆。 ③换底公式 logb N ?
log a N .(其中a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1, N ? 0) log a b

④函数 y ? f ( x) 的定义域是它的反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域;函数 y ? f ( x) 的值域 就是它的反函数 y ? f ?1 ( x) 的定义域。互为反函数的两个函数的图像关于直线

y ? x 对称。
⑤对数函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 与指数函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 互为反函数。 ⑥在解对数方程时必须对求得的解进行检验, 因为在利用对数的性质将对数方程 变形的过程中,如果未知数的允许值范围扩大,那么可能会产生增根。

第五章

三角比

第 1 节 任意角的三角比 1.主要内容:正角、负角、零角、象限角、终边在坐标轴上的角,与某个角有重 合终边(包括这个角本身)的角的集合,弧度制,角度与弧度的互化,圆的弧 长公式,扇形的面积公式。任意角的六个三角比(正弦、余弦、正切、余切、 正割、余割)的定义及它们在各象限的符号。终边相同的两个角的同名三角比 的关系,单位圆。 2.重难点: 任意角的三角比的定义,由角的范围求三角比的取值范围和由三角比 的取值范围求角的范围。

第 2 节 三角恒等式 1.主要内容:同角三角比的关系(倒数关系、商数关系和平方关系) 、诱导公式、 两角和与差的正弦、余弦和正切,两倍角的正弦、余弦和正切,半角的正弦、 余弦和正切。 【理】三角比的积化和差与和差化积。 2.重难点:三角恒等变形,如何灵活运用三角公式进行三角恒等变形,三角公式 的变式训练。 第 3 节 解斜三角形 1.主要内容: 已知三角形的两边及夹角, 求三角形的面积。 正弦定理、 余弦定理、 扩充的正弦定理。解斜三角形。 2.重难点:正弦定理和余弦定理与其他数学知识的综合运用。

第六章

三角函数

第 1 节 三角函数的图像与性质 1.主要内容:正弦函数、余弦函数的定义域、值域、最大值和最小值、周期性、 奇偶性、单调性。正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。正弦 函数、余弦函数和正切函数的图像。 2.重难点: 掌握正弦函数的概念性质和图像并领悟有关方法。在此基础上类似地 研究并掌握余弦函数和正切函数。研究三角函数式的性质,设法把已知函数表 达式转化为形如 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的表达式。 第 2 节 反三角函数与最简三角方程 1.主要内容:反正弦函数、反余弦函数、反正切函数。最简三角方程,简单的三 角方程。 2.重难点:掌握反正弦函数的概念并领悟其研究方法,在此基础上,研究并掌握 反余弦函数和反正切函数。 含字母系数的简单三角方程的实数解的讨论。三角 函数的图像分析方法。

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第七章 数列与数学归纳法

1.主要内容:第 1 节数列:数列的概念,等差数列与等比数列的定义,等差中项

与等比数列,等差数列与等比数列的通项公式。 第 2 节数学归纳法:数学归纳法的原理,数学归纳法的一般步骤, 数学归纳法的应用。 第 3 节数列的极限:数列极限的概念,数列极限的运算法则,常用 的数列极限公式,无穷等比数列各项的和。 2.基本要求:第 1 节数列:理解数列的概念,掌握等差数列与等比数列的定义, 会求等差中项与等比数列, 理解数列通项公式的含义,掌握等差数列与等比数 列的通项公式。 第 2 节数学归纳法: 会用数学归纳法解决整除问题及证明某些与正整数有关的 等式,领会“归纳—猜想—论证”的思想方法。 第 3 节数列的极限:掌握数列极限的运算法则,常用的数列极限公式,掌握无 穷等比数列前 n 项和的极限公式。 3.重难点:第 1 节数列:等差数列与等比数列的通项公式,数列的概念及由计算 数列的前若干项,通过归纳得出数列的通项公式。 第 2 节数学归纳法: 用数学归纳法证明命题的步骤,数学归纳法的应用及通过 归纳猜想命题的一般结论。 第 3 节数列的极限:无穷等比数列各项和公式的应用。 公式:(1)等差数列 {an } 的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d . (2)等差数列 {an } 的前 n 项和公式: S n ?
n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2

(3)等比数列 {an } 的通项公式: an ? a1q n?1 . (4)等比数列 {an } 的前 n 项和公式: S n ? na1 (q ? 1)

a ? an q a1 (1 ? q n ) Sn ? 或S n ? 1 (q ? 1) 1? q 1? q
(5)当 q ? 1时, limq n ? 0 , lim
1 ? 0 ( n ? ?) n

(6)无穷等比数列各项的和: S ?

a1 ( q ? 1) . 1? q

第八章

平面向量的坐标表示

1.主要内容:平面向量及其运算,平面向量的坐标表示及其运算,基向量、平面 向量分解定理,平面向量的数量积及其坐标表示,平面向量的夹角,平面向量 的平行和垂直。 2.基本要求:理解平面向量的有关概念:向量的方向,向量的模,单位向量,位 置向量,负向量,向量的相等,向量的平行,向量的垂直,向量的夹角,向量 的加减法,向量的数乘,向量的数量积,一个向量在另一个向量上的投影等。 掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则,掌握向量的坐标表示方法, 线段的定比分点公式和中点公式。会判别两个向量的平行关系和垂直关系,会 运用两个非零向量平行或垂直的充要条件解决一些简单的问题。 理解基向量和 平面向量分解定理。 3.重难点:重点是向量的数量积,向量的平行关系和垂直关系,向量的夹角。难 点是向量的夹角的概念和向量的数量积。

? ?x ? 注意:(1)有向线段的定比分点的坐标公式: ? ?y ? ?

x1 ? ?x 2 1 ? ? ( ? ? ?1 ) y1 ? ?y 2 1? ?

(2)向量 a与向量b 的夹角 ? 的取值范围是 0 ? ? ? ? . (3)向量 a与向量b 的数量积: a ? b ? a b cos? (4)向量 a与向量b 垂直的充要条件是: a ? b ? 0 (5)向量 a ? ( x, y) 的模的计算公式: a ? x 2 ? y 2 .

第九章

矩阵和行列式初步

1.主要内容:矩阵及矩阵有关运算,二阶行列式、三阶行列式,二元、三元线性 方程组的矩阵表示,二元、三元线性方程组的解的讨论。

2.基本要求:理解矩阵的意义,会进行矩阵的数乘、加法、乘法运算。掌握行列 式的意义,理解二元、三元线性方程组的矩阵表示形式,掌握二阶、三阶行列 式的对角线展开法则,掌握三阶行列式按照某一行(列)的代数余子式展开的 方法,会运用行列式解二元、三元线性方程组,并会对含字母系数的二元、三 元线性方程组的解的情况进行讨论, 会根据二元线性方程组的解的情况判断直

角坐标系平面内两条直线的位置关系。 3.重难点:重点是运用行列式研究二元、三元线性方程组,难点是对含字母系数 的二元、三元线性方程组的解的情况进行讨论。 注意:(1)经过往年高考试题分析代数余子式这个知识点常考,一般是出在填空 题;

? a x ? b1 y ? c1 (2)二元一次方程组 ? 1 ( ? )的解的判别: (i)D≠0,方程组 ?a2 x ? b2 y ? c2

( ? )有唯一解.(ii)D=0:① Dx、Dy 中至少有一个不为零,方程组( ? )无 解;② Dx ? Dy ? 0 ,方程组( ? )有无穷多解。

第十章

算法初步

1.算法的表述:主要有三种表述方法: (1)通常语言(2)程序框图(3)计算机 程序 2.算法的思想方法:主要是将接替过程数值化、程序化、机械化的方法。 3.高考每年必考一道填空题,学生大部分能做对,难度不大。

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第十一章 坐标平面上的直线

1.主要内容:直线的点方向式方程、直线的点法向式方程、点斜式方程、直线方 程的一般式、直线的倾斜角和斜率等。点到直线的距离,两直线的夹角以及两 平行线之间的距离。 2.基本要求:掌握求直线的方法,熟练转化确定直线方向的不同条件(例如:直 线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等) 。熟练判断点与直线、直线与直线的 不同位置, 能正确求点到直线的距离、 两直线的交点坐标及两直线的夹角大小。

3.重难点: 初步建立代数方法解决几何问题的观念,正确将几何条件与代数表示 进行转化,定量地研究点与直线、直线与直线的位置关系。根据两个独立条件 求出直线方程。熟练运用待定系数法。 (1)图形与方程

图形 直线 l



程 ①

ax ? by ? c ? 0 ( a , b 不同时为零)

(2)直线的几何特征与二元一次方程的代数特征 几何特征 点 A 在直线上 直线 l 的法方向 直线 l 平行的向量 倾斜角 (3)直线的已知条件与所选直线方程的形式 直线的已知条件 已知直线 l 经过点 A( x0 , y0 ) 且与向量 d =(u,v)平行 已知直线 l 经过点 A( x0 , y0 ) 且与向量 n =(a,b)垂直 已知直线 l 经过点 A( x1 , y1 ) 和点 B( x2 , y2 ) 已知直线 l 的斜率为 k,且经 过点 A( x0 , y0 ) 点斜式方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 一般式方程 ax ? by ? c ? 0 点法向式方程 a( x ? x0 ) ? b( y ? y0 ) ? 0 所选择直线方程的形式 点方向式方程
x ? x0 y ? y 0 ? u v

代 数 特 征 点 A 的坐标(x,y)是方程①的解。
? 法向量 n ? (a, b)

? 方向向量 d ? ( b , ? a )

斜率 k= ?

a b

(4)两直线的位置关系: li : y ? ki x ? bi (i ? 1,2). 位置关系 系 数 关 系

l1与l 2 相交

k1 ? k 2

l1与l 2 平行 l1与l 2 重合 l1与l 2 垂直
(5)点到直线的距离公式 d ?

k1 ? k 2 且 b1 ? b2 k1 ? k 2 且 b1 ? b2

k1 ? k 2 ? ?1

ax0 ? by0 ? c a2 ? b2
a1 a 2 ? b1b2 a1 ? b1
2 2

(6)两直线的夹角公式 cos? ?

a 2 ? b2

2

2

(7)直线的倾斜角 ? 的范围是 0 ? ? < ? ,当直线 l 的斜率不存在时, 直线的倾斜

? . 2

第十二章

圆锥曲线

1.主要内容:直角坐标系中,曲线 C 是方程 F(x,y)=0 的曲线及方程 F(x,y) =0 是曲线 C 的方程,圆的标准方程及圆的一般方程。椭圆、双曲线、抛物线 的标准方程及它们的性质。 2.基本要求:理解曲线的方程与方程的曲线的意义,利用代数方法判断定点是 否在曲线上及求曲线的交点。掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和求这 些曲线方程的基本方法。求曲线的交点之间的距离及交点的中点坐标。利用 直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们的位置关系并利用解析 法解决相应的几何问题。 3.重难点:建立数形结合的概念,理解曲线与方程的对应关系,掌握代数研究 几何的方法,掌握把已知条件转化为等价的代数表示,通过代数方法解决几 何问题。

4.椭圆、双曲线和抛物线及其标准方程表格 图 形 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线

平面内到两个定点

平面内与两个定点

F1 , F2 的距离和等于
几 何 条 件
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

F1 , F2 的距离之差的绝
对值等于常数

平面上与一定点 F 和 一条直线 l ( F 不在 l 上)的距离相等

常数 2a(2a ? F1 F2 )

2a(2a ? F1 F2 )

标 准 方 程

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

y 2 ? 2 px
( p ? 0)

x 2 ? 2 py

其中 c ? a ? b
2 2

2

其中 c ? a ? b
2 2

2

( p ? 0)

x 轴,长轴为 2 a
对 称 轴
(?a,0) ( a ,0 ) (0, b) (?a,0) (a,0)

y 轴,短轴为 2 b

原点都对称 x 轴,y 轴,

x轴

y轴

顶 点 坐 标

(0,?b)

原点

(? a 2 ? b 2 ,0)
焦 点 坐 标 渐 近 线 方

(? a 2 ? b 2 ,0) ( a ? b ,0)
2 2

( a ? b ,0)
2 2

p ( ,0 ) 2

p (0, ) 2

y??

b x a



准 线 方 程

x??

p 2

y??

p 2

第十三章

复数

1.主要内容:⑴复数的有关概念:复数,虚数,纯虚数,复数的实部和虚部,复 数的相等,复数的共轭。⑵复平面的有关概念:复平面,实轴与虚轴,复数的 坐标表示, 复数的向量表示, 复数的模, 复平面上两点的距离。 ⑶复数的运算: 加、减、乘、除、乘方,平方根,立方根(仅限于 1 的平方根的应用) ,复数 的积、商与乘法的模,实系数一元二次方程。 2.基本要求:掌握复数的有关概念,理解复平面的有关概念,会进行复数的四则 运算法则,会求复数的平方根,会利用 1 的平方根求复数的立方根。会求复数 的模,会计算两个复数的积、商、与乘方的模,掌握结论 z ? z ? z 的结论, 会求复数的模的最大值与最小值。会在复数集内解实系数一元二次方程。 3.重难点:复数的模,模是实数,复数的模的综合问题。
2

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第十四章 空间直线与平面

1.主要内容:平面的概念及其表示方法,平面的基本性质,用“斜二测”方法画 简单的直观图,简单几何体的截面,空间直线与直线的位置关系,平行公理, 等角定理, 异面直线的概念, 异面直线所成的角, 空间直线与平面的位置关系, 空间平面与平面的位置关系。 2.基本要求:掌握画空间图形的基本技能,培养空间想象能力,理解异面直线所 成角的概念,会画简单图形中的异面直线所成角的大小。 3.重难点:平面的基本性质和平行线的传递性,空间直线和直线、直线和平面、

平面和平面的位置关系及其各种表示法,用反证法证明两条直线是异面直线, 运用平面的基本性质进行说理证明问题。 知识结构图 平面的基本性质 3 个公理及 3 个推论

空 间 直 线 与 平 面 两条直线的位置 关系 相交

直线和平面的位置 关系

平行 平面和平面的位置关系 相 交

第十五章

简单几何体

图形的性质 ? ?多面体? ? 简单几何体 ? ? -- ?体积和表面积的计算 ?旋转体? ? 直观图的画法 ?

1.“斜二侧”画图法:图中的 x 轴、y 轴、z 轴分别表示现实中的前后方向、左 右方向、铅垂方向。现实中 1cm 长的线段,在 x 轴、y 轴、z 轴方向上的直 观图中的长度分别是 0.5cm、1cm、1cm. 2.祖恒定理:用一组平行线去截两个空间图形,若在任意等高处的截面面积相 等则这两空间图形的体积必然相等。 3.多面体和旋转体共同性质和度量公式: 多面体 柱体 锥体 球 棱柱 棱锥 球 旋转体 圆柱 圆锥 球 主要特征 侧棱或母线平行,两底面平行 侧棱或母线共点,只有一个底面 球面上的点到球心的距离相等 体 积

S ?h

1 Sh 3 4 3 ?r 3

4.设几何体的底面周长为 c (有两个不同底面时,周长分别记为 c1,c2 ) ,母线 或斜高长为 h ' . (1)圆柱和直棱柱的表面积分别为 S圆柱 =

?c 2
2

? ch' , S 直 ? ch ' +地面面积 ? 2
1 ' ch +底面面积 2

(2)圆锥和正棱锥的表面积分别为 S圆锥 ? (3)半径为 r 的球的表面积为 S 球 ? 4?r 2 .

?c 2 ? ch '
2

, S正 ?

5.球面距离:通过球面上两点的大圆劣弧的弧长。

第十六章

排列组合和二项式定理

1.乘法原理:如果完成一件事需要 n 个步骤,第 1 步有 m1 种不同的方法,第 2 步有 m 2 种不同的方法,……,第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事 共 有 N ? m1m2 ?mn 种不同的方法。 2.加法原理: 如果完成一件事有 n 类办法, 在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法, 在第 2 类办法中有 m 2 种不同的方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不同的

方 法,那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法。 3.排列:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m ? n )个元素,按一定的次序排成 一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 4.排列数公式: Pnm ? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1). 特别地: Pnn ? n(n ? 1)(n ? 2) ? ?? 3 ? 2 ?1 ? n!. 此外排列数公式还可写成
Pnm ? n! . (n ? m)!

5.组合:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m ? n )个元素组成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。
m 6.组合数公式: Cn ?

Pnm n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ? . (其中 m ? n )此外组合 m m! Pm
n! . m!(n ? m)!
m m?1 m ② Cn + Cn = Cn ?1 .

m ? 数公式还可以写成 C n

m n?m 7.组合数性质:① C n = Cn .

8.二项式定理:一般地,对于任意正整数 n 有
0 n 1 n?1 1 r n ?r r n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b
r n?r r Tr ?1 ? Cn a b .( n ? N ? )

9.二项式系数的性质:① (a ? b) n 的二项式展开式中,与首末两项“等距离” 的两项的二项式系数相等。 ② (a ? b) n 的二项式展开式中,所有二项式系数的和等于 2 n . 10.本章数学思想:化归思想和分类计数法。

第十七、十八章
知识结构图:

概率论初步、基本统计方法

样本空间 ?

随机事件 A、B

对立事件 A

事件的和 A ? B

独立事件的积 A ? B

P( A)

P( A ? B)

P( A ? B)

样本空间 ?

随机变量 ?

分布律

数学期望 方差 标准差

知识点:基本事件、随机事件、试验、必然事件、不可能事件、对立事件、随机 事件的概率、概率的基本性质、随即事件的频率、频率的“大数定律”性质、互 不相容事件、独立事件、事件和的概率、独立事件积的概率、随机变量、数学期 望。 1.在古典概率中,事件 A 出现的概率为 P( A) ?
事件A所包含的基本事件数 试验中所有的基本事件 数

2.必然事件记作 ? ,其概率为 1;不可能事件记作 ? ,其概率为 0. 3.E 和 F 叫做对立事件,如果⑴ E ? F ? ?; ⑵ E ? F ? ?

P( A) ? P( A) ? 1

4.频率的大数定律:频率在大数次试验中稳定于某一个常数(概率) 。 5.总体;统计问题中,研究对象的全体。总体的每一个对象叫做个体。 6.总体均值 ? ?
1 ( x1 ? x 2 ? ? ? x N ) N

7.中位数:把总体的各个个体依从小到大的顺序排列,当 N 为奇数时,位于该数 列正中位置的数。当 N 为偶数时,位于正中位置两个数的平均数。 8.总体方差公式:? 2 ?
1 [( x1 ? ? ) 2 ? ( x 2 ? ? ) 2 ? ? ? ( x N ? ? ) 2 ] ,总体方差 ? 2 反 N

映的是数据的离散程度。其中 ? 叫做总体标准差。 9.总体均值的点估计值公式: x ?
x1 ? x 2 ? ? ? x n n

总体标准差的点估计值公式: s ?

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 n ?1

10.抽样方法:随机抽样、系统抽样、分层抽样。


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