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2016年高考数学理试题分类解析几何


2016 年高考数学理试题分类汇编 —— 圆锥曲线
一、求离心率

李远敬

1、(2016 年全国 II 高考)圆已知 F1 , F2 是双曲线 E : 直, sin ?MF2 F1 ?

x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点,点 M 在 E 上, MF1 与 x 轴垂 a 2 b2

1 ,则 E 的离心率为( 3
(B)



(A) 2

3 2

(C) 3

(D)2

【答案】A 2、 (2016 年全国 III 高考)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: 右顶点.P 为 C 上一点,且 PF ? x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中 点,则 C 的离心率为 (A) 【答案】A

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,A,B 分别为 C 的左, a 2 b2

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

x2 2 x2 2 3、(2016 年浙江高考) 已知椭圆 C1: 2 +y =1(m>1)与双曲线 C2: 2 –y =1(n>0)的焦点重合,e1,e2 分别为 C1, m n
C2 的离心率,则 A.m>n 且 e1e2>1 【答案】A B.m>n 且 e1e2<1 C.m<n 且 e1e2>1 D.m<n 且 e1e2<1

4、(2016 年山东高考)已知双曲线 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0),若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD a 2 b2

的中点为 E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是_______. 【答案】2 【解析】由题意 BC = 2c ,所以 AB = 3c,

( c, 于是点

3c c 2 9c 2 ) 在双曲线 E 上,代入方程,得 2 - 2 = 1 , 2 a 4b
2 2

在由 a + b = c 得 E 的离心率为 e = 二.求曲线的方程 5、(2016 年天津高考)已知双曲线

2

c = 2 ,应填 2. a

x2 y2 ? =1 (b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲 4 b2
-1-

线的两条渐近线相交于 A、B、C、D 四点,四边形的 ABCD 的面积为 2b,则双曲线的方程为( ( A) 【答案】D 1、(2016 年北京高考) 已知椭圆 C:



x2 3 y2 x2 4 y2 x2 y2 x2 y2 ? =1 (B) ? =1 (C) ? 2 =1 (D) ? =1 4 4 4 b 4 12 4 3

x2 y 2 3 , A(a, 0) , B (0, b) , O(0, 0) , ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 2 a b 2

?OAB 的面积为 1.
(1)求椭圆 C 的方程; (解析参考五解答题)

2、 (2016 年山东高考) 平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C: 的焦点 F 是 C 的一个顶点. (I)求椭圆 C 的方程;(解析参考五解答题)

x2 y 2 3 , 抛物线 E:x 2 ? 2 y ? 2 ? 1? a>b>0 ? 的离心率是 2 a b 2

3、(2016 年上海高考) 有一块正方形菜地 EFGH , EH 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到 F 点或河边运 走。于是,菜地分为两个区域 S1 和 S2 ,其中 S1 中的蔬菜运到河边较近,S2 中的蔬菜运到 F 点较近,而菜地内 S1 和

S2 的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点 O 为 EF 的中点,点 F 的坐
标为(1,0),如图

求菜地内的分界线 C 的方程 (1)

(解析参考五解答题)

4、(2016 年上海高考)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 双曲线 x ?
2

y2 ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、B 两点。 b2

(1)若 l 的倾斜角为

?
2

, ?F1 AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;

-2-

6、 (2016 年天津高考)设椭圆

x2 y2 1 1 3e , ? ? 1( a ? 3 )的右焦点为 F ,右顶点为 A ,已知 ? ? 2 | OF | | OA | | FA | a 3

其中 O 为原点, e 为椭圆的离心率. (Ⅰ)求椭圆的方程;(解析参考五解答题) 7、 (2016 年全国 III 高考)已知抛物线 C : y 2 ? 2 x 的焦点为 F ,平行于 x 轴的两条直线 l1 , l2 分别交 C 于 A,B 两点, 交 C 的准线于 P,Q 两点. (I)若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR∥FQ; (II)若 ?PQF 的面积是 ?ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程. 三.求距离 8、 (2016 年全国 I 高考) 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A, B 两点, 交 C 的准线于 D, E 两点.已知|AB|= 4 2 , |DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 【答案】B 0、(2016 年上海高考)已知平行直线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0, l2 : 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 l1 , l2 的距离_______________ (B)4 (C)6 (D)8

【答案】

2 5 5

10、(2016 年浙江高考)若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是_______. 【答案】 9 四、求参数及参数取值范围 11、(2016 年四川高考)设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y 2 ? 2 px(p ? 0) 上任意一点,M 是线段 PF 上的点,且 PM =2 MF ,则直线 OM 的斜率的最大值为

(A)

3 3

(B)

2 3

(C)

2 2

(D)1

【答案】C

12、 (2016 年全国 II 高考)圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 13 ? 0 的圆心到直线 ax ? y ? 1 ? 0 的距离为 1,则 a=(



(A) ?

4 3

(B) ?

3 4

(C) 3

(D)2

【答案】A x2 y2 13、(2016 年全国 I 高考)已知方程m2+n–3m2–n=1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范
-3-

围是 (A)(–1,3) 【答案】A 14、(2016 年北京高考)双曲线 (B)(–1, 3) (C)(0,3) (D)(0, 3)

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的直线, a2 b 2

点 B 为该双曲线的焦点,若正方形 OABC 的边长为 2,则 a ? _______________. 【答案】2 五、解答题 15、(2016 年北京高考) 已知椭圆 C:

x2 y 2 3 , A(a, 0) , B (0, b) , O(0, 0) , ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 2 a b 2

?OAB 的面积为 1.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 的椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N. 求证: AN ? BM 为定值.

【解析】⑴由已知,

解得 a ? 2, b ? 1, c ? 3. c 3 1 ? , ab ? 1 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 , a 2 2 x2 ∴椭圆的方程为 ? y 2 ? 1. 4
2 x0 2 ? y0 ? 1. 4

⑵方法一: 设椭圆上一点 P ? x0 , y0 ? ,则 直线 PA : y ? ∴ BM ? 1 ?

y0 ?2 y0 . ? x ? 2 ? ,令 x ? 0 ,得 yM ? x0 ? 2 x0 ? 2

2 y0 x0 ? 2 y ?1 ? x0 直线 PB : y ? 0 . x ? 1 ,令 y ? 0 ,得 xN ? x0 y0 ? 1
∴ AN ? 2 ?

x0 y0 ? 1
x0 2 y0 ? 1? y0 ? 1 x0 ? 2

AN ? BM ? 2 ? ? ?


x0 ? 2 y0 ? 2 x0 ? 2 y0 ? 2 ? x0 ? 2 y0 ? 1
2 2 x0 ? 4 y0 ? 4 x0 y0 ? 4 x0 ? 8 y0 ? 4 x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2

2 x0 2 ? y0 ? 1 代入上式得 AN ? BM =4 4 故 AN ? BM 为定值.

-4-

方法二:

设椭圆 上一点 P ? 2 cos ? ,sin ? ? ,

sin ? sin ? . ? x ? 2 ? ,令 x ? 0 ,得 yM ? 2 cos ? ? 2 1 ? cos ? sin ? ? cos ? ? 1 ∴ BM ? 1 ? cos ? sin ? ? 1 2 cos ? 直线 PB : y ? . x ? 1 ,令 y ? 0 ,得 xN ? 2 cos ? 1 ? sin ? 2sin ? ? 2 cos ? ? 2 ∴ AN ? 1 ? sin ? 2sin ? ? 2 cos ? ? 2 sin ? ? cos ? ? 1 AN ? BM ? ? 1 ? sin ? 1 ? cos ?
直线 PA: y ?

?2 ?4

2 ? 2sin ? ? 2 cos ? ? 2sin ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? ? sin ? cos ?

故 AN ? BM 为定值.

16、 (2016 年山东高考) 平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C: 的焦点 F 是 C 的一个顶点. (I)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 3 , 抛物线 E: x2 ? 2 y ? 2 ? 1? a>b>0 ? 的离心率是 2 a b 2

(II)设 P 是 E 上的动点,且位于第一象限,E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 D, 直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. (i)求证:点 M 在定直线上;

(ii)直线 l 与 y 轴交于点 G,记 △PFG 的面积为 S1 , △PDM 的面积为 S 2 ,求 的坐标
-5-

S1 的最大值及取得最大值时点 P S2

【解析】(Ⅰ) 由离心率是

3 2 2 ,有 a = 4b , 2

又抛物线 x 2 = 2 y 的焦点坐标为 F (0, ) ,所以 b = 所以椭圆 C 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 1 .

1 2

1 ,于是 a = 1 , 2

m2 (Ⅱ) (i)设 P 点坐标为 P(m, ), (m > 0) , 2

= x ,所以 E 在点 P 处的切线 l 的斜率为 m , 由 x 2 = 2 y 得 y′
因此切线 l 的方程为 y = m x-

m2 , 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , D( x0 , y0 ) ,

m2 将 y = m x- 代入 x 2 + 4 y 2 = 1 ,得 2

( 1 + 4m2 ) x 2 -4m3 x + m2-1 = 0 .
于是 x1 + x2 =

x1 + x2 4m 3 2m 3 x = = , , 0 2 1 + 4m 2 1 + 4m 2

m2 -m2 - = 又 y0 = m x0 , 2 2(1 + 4m 2 )
于是 直线 OD 的方程为 y = -

1 x. 4m

联立方程 y = -

1 1 x 与 x = m ,得 M 的坐标为 M(m, - ) . 4m 4
1 上. 4

所以点 M 在定直线 y = -

m2 m2 (ii)在切线 l 的方程为 y = m x- 中,令 x = 0 ,得 y = - , 2 2

1 m2 m2 ) ,又 P(m, ) , F(0, ) , 即点 G 的坐标为 G(0,- 2 2 2
所以 S1 =

1 m(m 2 + 1) m ×GF = ; 2 4
-6-

2m3 -m 2 再由 D( , ) ,得 4m2 + 1 2(4m2 + 1) 1 2m 2 + 1 2m3 + m m(2m 2 + 1) 2 S2 = × × 2 = 2 4 4m + 1 8(4m 2 + 1)
S1 2(4m 2 + 1)(m 2 + 1) 于是有 . = S2 (2m 2 + 1) 2
1 2 ( t - )(t + 1) S1 1 1 2 2 = = 2+ - 2 令 t = 2m + 1 ,得 2 S2 t t t
当 =

1 t

9 1 S1 时,即 t = 2 时, 取得最大值 . 4 2 S2
2

此时 m =

1 2 2 1 ,m = ,所以 P 点的坐标为 P( , ). 2 2 2 4

所以

9 S1 2 1 的最大值为 ,取得最大值时点 P 的坐标为 P( , ). 4 2 4 S2

17、(2016 年上海高考) 有一块正方形菜地 EFGH , EH 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到 F 点或河边 运走。于是,菜地分为两个区域 S1 和 S2 ,其中 S1 中的蔬菜运到河边较近,S2 中的蔬菜运到 F 点较近,而菜地内 S1 和 S2 的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点 O 为 EF 的中点,点 F 的 坐标为(1,0),如图

(2)求菜地内的分界线 C 的方程 (3)菜农从蔬菜运量估计出 S1 面积是 S2 面积的两倍,由此得到 S1 面积的“经验值”为

8 。设 M 是 C 上纵坐标为 3

1 的点,请计算以 EH 为一边、另一边过点 M 的矩形的面积,及五边形 EOMGH 的面积,并判断哪一个更接近于

S1 面积的经验值
【解析】
-7-

(1)因为 C 上的点到直线 ?? 与到点 F 的距离相等,所以 C 是以 F 为焦点、以

?? 为准线的抛物线在正方形 ?FG? 内的部分,其方程为 y 2 ? 4x ( 0 ? y ? 2 ).
(2)依题意,点 ? 的坐标为 ? 所求的矩形面积为

?1 ? ,1? . ?4 ?

5 11 ,而所求的五边形面积为 . 2 4

矩形面积与“经验值”之差的绝对值为

5 8 1 ? ? ,而五边形面积与“经验值”之差 2 3 6

的绝对值为

11 8 1 ? ? ,所以五边形面积更接近于 S1 面积的“经验值”. 4 3 12

18、(2016 年上海高考)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 双曲线 x ?
2

y2 ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、B 两点。 b2

(1)若 l 的倾斜角为 (2)设 b ?

?
2

, ?F1 AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;

??? ? ???? ??? ? 3 ,若 l 的斜率存在,且 ( F1 A ? F1B) ? AB ? 0 ,求 l 的斜率.
15 . 5

【答案】(1) y ? ? 2x .(2) ? 【解析】(1)设 ? ? x? , y? ? .

2 2 2 4 2 由题意, F2 ? c,0? , c ? 1 ? b , y? ? b c ? 1 ? b ,

?

?

因为 ?F 1?? 是等边三角形,所以 2c ? 3 y? ,
2 4 2 即 4 1 ? b ? 3b ,解得 b ? 2 .

?

?

故双曲线的渐近线方程为 y ? ? 2x . (2)由已知, F 1 ? ?2,0 ? , F 2 ? 2,0? . 设 ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,直线 l : y ? k ? x ? 2? .显然 k ? 0 .

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 2 2 由? ,得 ? k ? 3? x ? 4k x ? 4k ? 3 ? 0 . 3 ? y ? k ? x ? 2? ?
2 2 因为 l 与双曲线交于两点,所以 k ? 3 ? 0 ,且 ? ? 36 1 ? k ? 0 .

?

?

-8-

设 ?? 的中点为 ? ? x? , y? ? . 由 F ? k ? ?1 . 1? ? F 1? ? ?? ? 0 即 F 1? ? ?? ,故 kF 1?? ?? ? 0 ,知 F 1? 而 x? ?

?

???? ??? ? ??? ?

?

???? ? ??? ?

x1 ? x2 2k 2 6k 3k ? 2 , y? ? k ? x? ? 2 ? ? 2 , k F1? ? , k ?3 2k 2 ? 3 2 k ?3

所以

3 3k 15 ? k ? ?1 ,得 k 2 ? ,故 l 的斜率为 ? . 2 5 2k ? 3 5

19、(2016 年四川高考)已知椭圆 E:

的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 3

个顶点,直线 l:y=-x+3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T. (I)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标; (II)设 O 是坐标原点,直线 l’平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A、B,且与直线 l 交于点 P.证明:存在常数λ , 使得∣PT∣2=λ ∣PA∣· ∣PB∣,并求λ 的值.

? x2 y2 ? 2 ? 2 ? 1, 有方程组 ? 2b 得 3x2 ?12x ? (18 ? 2b2 ) ? 0 .① b ? y ? ? x ? 3, ?
2 方程①的判别式为 ?=24(b2 ? 3) ,由 ? =0 ,得 b =3 ,

此方程①的解为 x =2 ,

x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆 E 的方程为 6 3
点 T 坐标为(2,1).

-9-

由②得 x1 ? x2 = ?

4m 4m2 ? 12 , x1 x2 ? . 3 3

所以 PA ? (2 ?

2m 2m 5 2m ? x1 )2 ? (1 ? ? y1 )2 ? 2? ? x1 , 3 3 2 3

同理 PB ?

5 2m 2? ? x2 , 2 3
5 2m 2m (2 ? ? x1 )(2 ? ? x2 ) 4 3 3

所以 PB ? PB ?

?

5 2m 2 2m (2 ? ) ? (2 ? )( x1 ? x2 ) ? x1 x2 4 3 3

5 2m 2 2m 4m 4m2 ? 12 ? (2 ? ) ? (2 ? )(? )? 4 3 3 3 3
? 10 2 m . 9
4 2 ,使得 PT ? ? PA ? PB . 5

故存在常数 ? ?

20、 (2016 年天津高考) 设椭圆

x2 y2 1 1 3e ? ? 1( a ? 3 )的右焦点为 F ,右顶点为 A ,已知 ? ? , 2 | OF | | OA | | FA | a 3

其中 O 为原点, e 为椭圆的离心率.
- 10 -

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B( B 不在 x 轴上) , 垂直于 l 的直线与 l 交于点 M , 与 y 轴交于点 H , 若 BF ? HF ,且 ?MOA ? ?MAO ,求直线的 l 斜率的取值范围. 【解析】

(2)

? x2 y 2 ?1 ? ? (Ⅱ)解:设直线 l 的斜率为 k ( k ? 0 ),则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) .设 B( xB , y B ) ,由方程组 ? 4 , 3 ? y ? k ( x ? 2) ?
消去 y ,整理得 (4k 2 ? 3) x 2 ?16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 . 解得 x ? 2 ,或 x ?

8k 2 ? 6 8k 2 ? 6 ? 12 k ,由题意得 xB ? ,从而 yB ? . 2 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3 9 ? 4k 2 12k , ) .由 BF ? HF ,得 BF ? HF ? 0 , 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

由(Ⅰ)知,F (1,0) ,设 H (0, y H ) ,有 FH ? (?1, yH ) ,BF ? (

所以

9 ? 4k 2 1 9 ? 4k 2 9 ? 4k 2 12kyH MH y ? y ? ? x ? ? ? 0 ,解得 . 因此直线 的方程为 . H 12k k 12k 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

? 1 9 ? 4k 2 20k 2 ? 9 y ? ? x ? ? y 设 M ( xM , yM ) , 由 方 程 组 ? 消 去 , 解 得 . 在 ?MAO 中 , x ? k 12k M 2 12 ( k ? 1 ) ? y ? k ( x ? 2) ?
2 2 2 2 即 ( xM ? 2) ? yM ? xM ? yM , 化简得 xM ? 1 , 即 ?MOA ? ?MAO ?| MA |?| MO | ,

20k 2 ? 9 6 解得 k ? ? ? 1, 2 4 12(k ? 1)

或k ?

6 . 4 6 6 ]?[ ,??) . 4 4

所以,直线 l 的斜率的取值范围为 (??,?

21、(2016 年全国 I 高考)设圆 x ? y ? 2x ?15 ? 0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合,l 交圆 A
2 2

于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (I)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程;
- 11 -

(II)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四 边形 MPNQ 面积的取值范围. 【解析】(Ⅰ)因为 | AD |?| AC | , EB // AC ,故 ?EBD ? ?ACD ? ?ADC , 所以 | EB |?| ED | ,故 | EA | ? | EB |?| EA | ? | ED |?| AD | . 又圆 A 的标准方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 16 ,从而 | AD |? 4 ,所以 | EA | ? | EB |? 4 . 由题设得 A(?1,0) , B(1,0) , | AB |? 2 ,由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ( y ? 0 ). 4 3

- 12 -

22、(2016 年全国 II 高考)已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上, A 是 E 的左顶点,斜率为 k (k ? 0) 的直线交 t 3

E 于 A, M 两点,点 N 在 E 上, MA ? NA .

(Ⅰ)当 t ? 4,| AM |?| AN | 时,求 ?AMN 的面积; (Ⅱ)当 2 AM ? AN 时,求 k 的取值范围. 【解析】 ⑴当 t ? 4 时,椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,A 点坐标为 ? ?2 ,0 ? , 4 3

则直线 AM 的方程为 y ? k ? x ? 2 ? .
? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 3 联立 ? 4 并整理得, 3 ? 4k x ? 16k x ? 16k ? 12 ? 0 ? y ? k ? x ? 2? ?

?

?

8k 2 ? 6 12 8k 2 ? 6 2 AM ? 1 ? k ? ? 2 ? 1? k2 ? 解得 x ? ?2 或 x ? ? ,则 2 2 3 ? 4 k 3 ? 4k 2 3 ? 4k

? 1? AN ? 1 ? ? ? ? ? 因为 AM ? AN ,所以 ? k?

2

12 ? 1? 3 ? 4 ? ?1 ? ? ? k?
2

? 1? k2 ?

12 3k ? 4 k

因为 AM ? AN , k ? 0 ,

所以

1? k2 ?

12 12 ? 1? k2 ? 2 4 ,整理得 ? k ? 1? ? 4k 2 ? k ? 4 ? ? 0 , 3 ? 4k 3k ? k

4k 2 ? k ? 4 ? 0 无实根,所以 k ? 1 .

所以 △AMN 的面积为

1 AM 2

2

1? 12 ? 144 ? ? 1?1 ? . ? ? 2? 3? 4? 49

2

⑵直线 AM 的方程为 y ? k x ? t ,

?

?

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 2 3 联立 ? t 并整理得, ? 3 ? tk ? x ? 2t tk x ? t k ? 3t ? 0 ?y ? k x ? t ?

?

?

解得 x ? ? t 或 x ? ?

t tk 2 ? 3 t , 3 ? tk 2

2 所以 AM ? 1 ? k ?

t tk 2 ? 3 t 6 t ? t ? 1? k2 ? 2 3 ? tk 3 ? tk 2
6 t

所以

AN ? 1 ? k 2 ?

3k ?

t k
- 13 -

因为 2 AM ? AN
2 ? 1? k2 ? 6 t 6 t 6k 2 ? 3k ? 1? k2 ? 2 t ? ,整理得, . t 3 ? tk 3k ? k3 ? 2 k

所以

因为椭圆 E 的焦点在 x 轴,所以 t ? 3 ,即

6k 2 ? 3k ? k 2 ? 1? ? k ? 2 ? ? 0 ? 3 ,整理得 k3 ? 2 k3 ? 2

解得 3 2 ? k ? 2 . 23、(2016 年全国 III 高考)已知抛物线 C : y 2 ? 2 x 的焦点为 F ,平行于 x 轴的两条直线 l1 , l2 分别交 C 于 A,B 两 点,交 C 的准线于 P,Q 两点. (I)若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR∥FQ; (II)若 ?PQF 的面积是 ?ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.

- 14 -

24、(2016 年浙江高考)如图,设椭圆

x2 ? y 2 ? 1 (a>1). 2 a

( I)求直线 y = kx+1 被椭圆截得的线段长(用 a、 k 表示); ( II)若任意以点 A ( 0,1 )为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点,求椭圆离心率的取值范围 .
? y ? kx ? 1 ? 【试题解析】(I)设直线 y ? kx ? 1 被椭圆截得的线段为 ?? ,由 ? x 2 得 2 ? y ? 1 ? 2 ?a

?1 ? a 2 k 2 ? x 2 ? 2a 2kx ? 0 ,故 x1 ? 0 , x2 ? ?
因此 ?? ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ?

2a 2 k . 1 ? a2k 2

2a 2 k ? 1? k 2 . 1 ? a2k 2

(II)假设圆与椭圆的公共点有 4 个,由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ? , Q ,满足

?? ? ?Q .
记直线 ?? , ?Q 的斜率分别为 k1 , k2 ,且 k1 , k2 ? 0 , k1 ? k2 .

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