当前位置:首页 >> 数学 >>

江西省南昌市第二中学2013届高三第四次月考理科数学试卷 2


南昌市第二中学 2013 届高三第四次月考 数学(理)试卷
一、选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,把正确的选项填在答题卡相应的位置) 1.已知 a,b 是实数,则“| a+b |=| a |+| b |”是“ab>0”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不

必要条件 2.直线 3x ? y ? m ? 0与圆x2 ? y 2 ? 2x ? 2 ? 0 相切,则实数 m 等于 A. 3或 ? 3 B. ? 3或3 3 C. ?3 3或 3 D. ?3 3或3 3 3.已知 a ? b ? ?12 2 , a

? 4 , a 和 b 的夹角为 135? ,则 b 为

A.12 B.3 C.6 D. 3 3 y 轴交于点 P ,则 P 点坐标为 4.直线 l1 的斜率为 2 , l1 // l 2 ,直线 l 2 过点 (?1,1) 且与

A. (3, 0) B. (?3, 0) C. (0, ?3) D. (0,3) 5.已知 F1 , F2 是双曲线的两个焦点,Q 是双曲线上任一点(不是顶点) ,从某一焦点引

?F1QF2 的平分线的垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹是
A. 直线 6.若 sin ? ? cos? ? A. 2 ? 3 B. 圆

2 ,则 tan( ? ?
B. ?2 ? 3

?
3

C. 椭圆

D. 双曲线

) 的值是
C.

2? 3

D. ?2 ? 3

7.已知 Sn 表示等差数列 {a n } 的前 n 项和,且

S5 1 S ? , 那么 5 S10 3 S 20

A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 10 9 8 3 8.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图是 ..
3 1 正视图 2 2 正视图 1 俯视图
x y

3

3 1 正视图 2 2 正视图

3

侧视图

侧视图

侧视图

侧视图 1

A.
俯视图

B.

C.
俯视图

俯视图

D.

9.设 x, y ? R, a ? 1, b ? 1,若 a ? b ? 2 , a ? b ? 4 ,则 A. 3 B. 3 2 C. 4 D. 4 2

2 1 ? 的最大值为 x y

10.如图,函数 y=f (x)的图象为折线 ABC,设 f 1 (x)=f (x), f n+1 (x)=f [f n(x)],n∈ N*,则函数 y=f 4 (x)的图象为( )
y 1 -1 O -1 y 1 x y 1 第 1 页 -18 页 共 O -1 y 1 x A -1

y 1 B 1 O -1 (第 10 题图) C x

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分共 25 分,把正确的选项填在答题卡相应的 位置) 11. 在△ ABC 中, BC ? 3 , AC ? 2 , A ?

π ,则 B ? 3

.

2 2 2 12.过点(1,2)总可作两条直线与圆 x ? y ? kx ? 2 y ? k ? 15 ? 0 相切,则实数 k 的取值 范围是 .

13.已知双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过 F 的直线 l 与 C 交于两点 A、B,若 4 5 . AB ? 5 ,则满足条件的 l 的条数为 x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F1 ,O 为坐标原点,点 P 在椭圆上,点 Q 在椭 a2 b2

14.已知椭圆

圆的右准线上,若 PQ ? 2F1O, F1Q ? ? (

F1 P F1 P

?

F1O F1O

)(? ? 0) ,则椭圆的离心率为



15.给出下列命题: ① 经过空间一点一定可作一条直线与两异面直线都垂直;② 经过空间一点一定可作一平面与 两异面直线都平行;③ 已知平面 ? 、 ? ,直线 a、b,若 ? ? ? ? a , b ? a ,则 b ? ? ;④ 四 个侧面两两全等的四棱柱为直四棱柱;⑤ 底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥 是正三棱锥; .其中正确命题的序号是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤) 16. (本题满分 12 分)已知半径为 6 的圆 C 与 x 轴相切,圆心 C 在直线 3x ? y ? 0 上且在 第二象限,直线 l 过点 P(2,14) . (Ⅰ )求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点且 AB ? 4 5 ,求直线 l 的方程. 17. (本题满分 12 分)设 m ? R , a ? (cos x, sin x), b ? (m sin x,2 cos(

?
2

? x)) ,

f ( x) ? a ? (b ? a) 且 f ? ? ? ? ? f ? 0 ? , ? ?
? 3?
(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)设 ?ABC 三内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c 且

?0, B?上的值域.
第 2 页 共 8 页

a2 ? c2 ? b2 c ,求 f (x) 在 ? 2 2 2 2a ? c a ?b ?c

18.(本题满分 12 分) 如图,平面 ABCD⊥ 平面 ADEF,其中 ABCD 为矩形,ADEF 为梯形, AF∥ DE,AF⊥ FE,AF=AD=2 DE=2,M 为 AD 中点. (Ⅰ 证明 MF ? BD ; ) (Ⅱ 若二面角 A-BF-D 的平面角的余弦值为 ,求 AB 的长. )
B C

1 3

A

D E F (第 18 题图)

19 .( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 S n 是 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 且

S3 ?

(Ⅱ)若数列 ?bn ? 是单调递减数列,求实数 ? 的取值范围.

3 21 , S 6 ? , bn ? ?a n ? n 2 . 2 16 (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式 an ;

2 的椭圆 2 x2 y2 1 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,直线 l :x=- 将线段 F1F2 分成两段,其长度之 a b 2 : 3.设 A,B 是 C 上的两个动点,线段 AB 的中点 M 在直线 l 上,线段 AB 的中垂线 比为 1 与 C 交于 P,Q 两点. (Ⅰ 求椭圆 C 的方程; ) (Ⅱ 是否存在点 M,使以 PQ 为直径的圆经过点 F2,若存在,求出 M 点坐标,若不存在, ) 请说明理由. y
20.(本题满分 13 分) 如图,F1,F2 是离心率为
P M A F1 O F2 x B

Q 第 3 页 共 8 页 x=- 1 2 (第 20 题图)

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ? (Ⅰ a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; )若 (Ⅱ )设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x) 的单调区间; 值范围.

1? a ( a ? R) . x

(Ⅲ )若在区间 [1, e] ( e ? 2.71828......) 上不存在 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取 ...

2012-2013 学年度上学期第四次月考 高三数学(理)参考答案
1A 2C 3C 4D 5B 6B 7A 8D 9C10D 11,

? ; 4

12, 2 ? k ?

8 3 8 3 或? ? k ? ?3 3 3 ;

13,3;

14,

5 ?1 ; 2

15,①

16.解:(Ⅰ )由题意,设圆心 C( x0 , ?3x0 ) ( x0 ? 0) 圆 C 的半径 r ? 6 ,又圆 C 和 x 轴相切, 则 r ? 6 ?| ?3x0 | , x0 ? ?2 .所以 x0 ? ?2 ,所以圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 6) ? 36 . 即
2 2

(Ⅱ)设 l 方程为 y ? 14 ? k ( x ? 2) ,由 d ?

4k ? 8

k 2 ?1 又 l 方程为 x ? 2 时也符合题意,故所求直线 l 方程为 x ? 2 或 3x ? 4 y ? 50 ? 0 m 2 2 17.解:(Ⅰ) f ( x) ? m sin x cos x ? cos x ? sin x ? sin 2 x ? cos 2 x 2

? 6 2 ? (2 5 ) 2 ? 4 ? k ?

3 , 4

f ( ? ) ? f ( 0) ? m ? 2 3 3
(Ⅱ)由余弦定理知:

?

a 2 ? c 2 ? b 2 2ac cos B c cos B c ? ? ? 2 2 2 2ab cosC b cosC 2a ? c a ?b ?c 即 2a cos B ? c cos B ? b cos C , 又由正弦定理知: 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cosC ? sin?B ? C ? ? sin A
即 cos B ?

? 1 ,所以 B ? 3 2

当 x ? ? 0,

? ? ? ?? ? ?? ? 时, 2 x ? 6 ? ? ? 6 , 2 ? , ? 3? ? ?

第 4 页 共 8 页

f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? ) , 6
故 f (x) 在 ?0, B ?上的值域为 ?? 1,2?

?

f ?x ? ? ?? 1,2?

18.(Ⅰ).由已知 ?ADF 为正三角形, MF ? AD ? MF ? BD B (Ⅱ) 方法一:设 AB=x.取 AF 的中点 G.由题意得 DG⊥AF. 因为平面 ABCD⊥平面 ADEF,AB⊥AD,所以 AB⊥平面 ADEF, H
G A

C

D E

Q

所以 AB⊥DG.所以 DG⊥平面 ABF.过 G 作 GH⊥BF,垂足为 H, F 连结 DH,则 DH⊥BF,
(第 18 题图)

所以∠DHG 为二面角 A-BF-D 的平面角.在直角△AGD 中,AD=2,AG=1,得 DG = 3. 在直角△BAF 中,由

1 x AB GH GH =sin∠AFB= ,得 = ,所以 GH= . 2 2 BF FG x x ?4 x ?4
x x2 ? 4
,得 DH= 2

在直角△DGH 中,DG= 3 ,GH= 因为 cos∠DHG=

x2 ? 3 . x2 ? 4

GH 1 2 2 = ,得 x= 15 ,所以 AB= 15 . DH 3 5 5

方法二:设 AB=x.以 F 为原点,AF,FQ 所在的直线分别为 x 轴,y 轴建立空间直角 坐标系 Fxyz.

???? 则 F(0,0,0),A(-2,0,0),E( 3 ,0,0),D(-1, 3 ,0),B(-2,0,x),所以 DF ??? ? =(1,- 3 ,0), BF =(2,0,-x).
因为 EF⊥平面 ABF,所以平面 ABF 的法向量可取 n1 =(0,1,0).

?? ?

?? ? 设 n2 =(x1,y1,z1)为平面 BFD 的法向量,则
? 2 x1 ? z1 x ? 0, ? ? ? x1 ? 3 y1 ? 0, ?

z C

B

A

D E

y

?? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? n1 ? n2 2 3 1 F x ? ? 所以,可取 n2 =( 3 ,1, ).因为 cos< n1 , n2 >= ?? ?? = , x | n1 | ? | n2 | 3(第 18 题图)
得 x=

2 2 15 ,所以 AB= 15 . 5 5

方法三: M 为原点, 以 MA, 所在的直线分别为 x 轴, 轴建立空间直角坐标系 Fxyz. MF y 略 19.(Ⅰ 因为 S 3 ? )

3 21 a1 ?1 ? q 6 ? 21 a ?1 ? q 3 ? 3 , S6 ? ,所以 q ? 1, 1 , ? ? , 2 16 1? q 16 1? q 2

第 5 页 共 8 页

得1 ? q3 ?

n ?1 1 7 ,所以 q ? ? , a1 ? 2 .所以 an ? 2 ? ? ? 1 ? , ? ? 2 8 ? 2?

(Ⅱ)因为 bn ? ?an ? n 2 ,所以 bn ? 2? ? ? 1 ? ? ? ? 2?

n ?1

? n2 ,

由题意可知对任意 n ? N* ,数列 {bn } 单调递减,所以 bn?1 ? bn , 即 2? ? ? 1 ? ? ?n ? 1?2 ? 2? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 2? ? 2? 当 n 是奇数时, ? ? ?
n
n ?1

* ? 1? ? n ,即 6? ? ? ? ? 2n ? 1 对任意 n ? N 恒成立, ? 2?
2

n

(2n ? 1)2n (2n ? 1)2n , n ? 1时 ,? 当 取得最大值-1, 所以 ? ? ?1 ; 6 6 10 10 (2n ? 1)2n (2n ? 1)2n 当 n 是偶数时,? ? , n ? 2时 , 当 取得最小值 , 所以 ? ? . 3 3 6 6
综上可知, ?1 ? ? ?

10 10 ,即实数 ? 的取值范围是 (?1, ) . 3 3
c?

1 2 = 1 ,所以 c=1.因为离心率 e= 2 ,所以 a= 2 . 20.(Ⅰ 设 F2(c,0),则 ) 1 2 3 c? 2
所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

(Ⅱ 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=- )

此时 P( ? 2 ,0)、Q( 2 ,0) , F2 P ? F2Q ? ?1.不合; 当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设存在点 M(- y1),

???? ???? ? ?

1 , 2

1 ,m) (m≠0),直线 AB 的斜率为 k, A(x1, 2

? x12 2 ? ? y1 ? 1, y ? y2 ?2 B(x2,y2).由 ? 2 得(x1+x2)+2(y1+y2) ? 1 =0,则 -1+4mk=0, x1 ? x2 ? x2 ? y 2 ? 1, 2 ? 2 ?
故 k= 即

1 1 .此时,直线 PQ 斜率为 k1 ? ?4m ,PQ 的直线方程为 y ? m ? ?4m( x ? ) . 2 4m

y ? ?4mx ? m .

? y ? ?4mx ? m ? 联立 ? x 2 消去 y,整理得 2 ? ? y ?1 ?2

( 3 2 2 ? 1x2 ? 1m2 x? m ) 6

m? 22

?. 0 2

所以 x1 ? x2 ? ?

2m 2 ? 2 16m 2 , x1 x2 ? .由题意 F2 P ? F2Q ? 0,于是 32m2 ? 1 32m 2 ? 1
第 6 页 共 8 页

F2 P ? F2Q ? (x1-1)(x2-1)+y1y2 ? x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? (4mx1 ? m)(4mx2 ? m)
? (1 ? 16m2 ) x1x2 ? (4m2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? 1 ? m2

?

19 19m 2 ? 1 (1 ? 16m2 )(2m2 ? 2) (4m2 ? 1)(?16m2 ) =0. ?m ? ? ? ? 1 ? m2 ? 2 2 2 32m ? 1 19 32m ? 1 32m ? 1
2

因为 M 在椭圆内,?m ?

7 19 符合条件; ?m ? ? 8 19

综上,存在两点 M 符合条件,坐标为 M (? ,? 21.解:(Ⅰ f ( x) ? x ? ln x ? f ?( x ) ? )

1 2

19 ). 19

x ?1 ? 0 ? x ?1 x ∴ f ( x ) 在 (0,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1 1? a ( x ? 1)[ x ? (1 ? a )] (Ⅱ h( x) ? x ? a ln x ? ) ∴h?( x ) ? x x2 ① a ? ?1 时, h?( x) ? 0 ,∴h( x) 在 (0, ??) 上递增 当 ② a ? ?1 时, h?( x) ? 0 ? x ? 1 ? a ,∴h( x) 在 (0,1 ? a) 上递减,在 (1 ? a, ??) 上递增 当
(Ⅲ 先解区间 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立 )

? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 在 [1, e] 上有解 ? 当 x ? [1, e] 时, h( x)min ? 0
由(Ⅱ )知

? ?1 时, h( x) 在 [1, e] 上递增,∴hmin ? h(1) ? 2 ? a ? 0 ? a ? ?2 ∴a ? ?2 ② a ? ?1 时, h( x) 在 (0,1 ? a) 上递减,在 (1 ? a, ??) 上递增 当 (ⅰ )当 ?1 ? a ? 0 时, h( x) 在 [1, e] 上递增 ∴hmin ? h(1) ? 2 ? a ? 0 ? a ? ?2 ∴a 无 ,
① a 当

解 (ⅱ )当 a ? e ? 1 时, h( x) 在 [1, e] 上递减
∴hmin

1? a e2 ? 1 e2 ? 1 ?0?a ? ∴a ? e e ?1 e ?1 (ⅲ )当 0 ? a ? e ? 1 时, h( x) 在 [1,1 ? a] 上递减,在 (1 ? a, e] 上递增 ∴hmin ? h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) 2 ? a ? a ln(1 ? a ) 2 2 1 ? ? 1 ? ln(1 ? a) ,则 F ?(a) ? ? 2 ? ?0 令 F (a) ? a a a 1? a 2 ? 0 ∴F (a) ? 0 无解 ∴F ( a ) 在 (0, e ? 1) 递减 ∴F ( a ) ? F (e ? 1) ? e ?1 即 hmin ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 0 无解 ? h(e) ? e ? a ?
综上可得:存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,实数 a 的取值范围为: a ? ?2 或

a?

e2 ? 1 . e ?1
所以不存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,实数 a 的取值范围为 ?2 ? a ?

e2 ? 1 e ?1

第 7 页 共 8 页

第 8 页 共 8 页


相关文章:
2016届江西省南昌市第二中学高三上学期第一次月考理科...
2016届江西省南昌市第二中学高三上学期第一次月考理科数学试题及答案_数学_高中...B. C.- 3 4 3 3 D.- 4 3.下列说法正确的是( ) 2 2 A. 命题“若...
江西省南昌二中2013届高三第四次月考数学试卷(文科)_图文
江西省南昌二中2013届高三第四次月考数学试卷(文科)_专业资料。江西省南昌二中 ...p:﹣3≤x≤1, ∵[﹣3,1]?(﹣∞,2],∴?p 是?q 成立的充分不必要...
江西省南昌二中2013届高三第四次月考数学试卷(文科)_图文
江西省南昌二中2013届高三第四次月考数学试卷(文科)_专业资料。江西省南昌二中 ...p:﹣3≤x≤1, ∵[﹣3,1]?(﹣∞,2],∴?p 是?q 成立的充分不必要...
江西省南昌二中2013届高三第四次月考数学试卷(文科)_图文
江西省南昌二中2013届高三第四次月考数学试卷(文科)_专业资料。江西省南昌二中 ...p:﹣3≤x≤1, ∵[﹣3,1]?(﹣∞,2],∴?p 是?q 成立的充分不必要...
2016届高三南昌二中第一次月考理科数学
2016届高三南昌二中第次月考理科数学_高中教育_...高三数学(理)试卷一、选择题(本大题共12小题,每...D. (0,1] 3 D.- 4 5.设 a ? log 2 x?...
江西省南昌市第二中学2013届高三第二次月考综合(理)试题
江西省南昌市第二中学 2013 届高三第次月考综合(理)试题 本试题卷分Ⅰ(...GN mv 4 B. GN Nv 2 C. Gm Nv 4 D. Gm 21.在 2010 年上海世博会...
江西省南昌二中2015高三上第四次月考数学理试卷
江西省南昌二中 2015 高三第四次月考 数学试卷一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 P ? {a 2 , log 2 a} , Q ? {2a , b} ,若...
江西省南昌市第二中学2013-2014学年高三上学期第二次月...
江西省南昌市第二中学2013-2014学年高三上学期第二次月考数学(理)试卷 隐藏>> 江西省南昌市第二中学 2013-2014 学年高二上学期第二次月考 数学(理)试卷一、...
江西省南昌市第二中学2016届高三上学期第一次月考数学(...
江西省南昌市第二中学2016届高三上学期第一次月考数学(理)试题_Word版含答案_...2.已知 α 为第二象限角,且 sin α= ,则 tan(π+α )的值是( 5 4 ...
江西省南昌市第二中学2016届高三数学上学期第一次月考...
江西省南昌市第二中学2016届高三数学上学期第一次月考试题 理_数学_高中教育_...? 2 x ? 1,则函数 g ( x) ? f ( x) ? ln A.3 B.4 x 的零点...
更多相关标签: