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新人教版选修 命题及其关系(三)1


命题及其关系(三)
一、知识学习
二、例题分析
四种命题的 真假情况表 方法点评 1

例1

例2

课堂练习

三、课外练习

命题及其关系(三)
复习 上节课我们重点认识了四种命题形式 原命题 若p,则q 互 否 否命题 若? p,则? q 互逆 互为逆否 逆命题 若q,则p

同真同假
互逆

互 否
逆否命题 若? q,则? p

为什么? 注:(1) “互为”的含义; (2)原命题与其逆否命题同真同假. (3)逆命题与否命题同真同假.

四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题
真 真 假 假

逆命题
真 假 真 假

否命题
真 假 真 假

逆否命题
真 真 假 假

原命题 若p,则q

否命题 若?p,则?q

同真同假

逆命题 为什么? 若q,则p

逆否命题 若?q,则?p

所以,证明原命题为真困难时,可以考虑证明逆否命题为真.

在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果. ──它其实是反证法的一种特殊表现: 从命 题结论的反面出发 , 引出矛盾 ( 如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.

反证法

反证法证明命题的一般步骤如下: 1.假设结论的反面成立; 推理过程中一定要用到才行 2. 由这个假设 出发 ,经过正确的推理 ,导 ..

出矛盾; 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 3. 由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定命 题的结论正确. 有一位数学家说:“反证法是数学上最 精良的武器之一.”数学上很多有名的结论 都是用反证法得证的.比如说,素数有无穷多 个等. 例2

例 1.证明:若 p ? q ? 2 ,则 p ? q ≤ 2 .
2 2

分析:直接证不好下手.
将 “ 若 p ? q ? 2 , 则 p ? q ≤ 2 ” 看成 原命题 ,由于原命题和它的逆否命题具有 相同的真假性,要证原命题为真命题,可 以 证明 它的 逆否 命题 “ 若 p ? q ? 2 , 则 2 2 p ? q ? 2 ”为真命题.
2 2

答案

例 1.证明:若 p ? q ? 2 ,则 p ? q ≤ 2 .
2 2

证明: 假设 p ? q ? 2 ,
2

假设原命题结 论的反面成立

则 ( p ? q) ? 4 , 看能否推出原命题 2 2 ∴ p ? q ? 2 pq ? 4 , 条件的反面成立 ∵ p2 ? q2 ≥ 2 pq , 2 2 2 2 ∴ 2( p ? q ) ? 4 , ∴ p ? q ? 2 , 尝试成功 2 2 ∴ p ?q ? 2. 得证
这表明原命题的逆否命题为真命题 , 从而原命 题也为真命题.
方法点评

例 2 如图,等腰三角形 ABC 中,AB=AC, 已知∠DAP≠∠PAC,求证:AP 与 BC 不平行.

分析 : 题中条件与结论中 有“∠ DAP ≠∠ PAC ” , “ AP 与 BC 不平行”这样的不等 关系、否定关系,像这样的 问题直接证明不好说理, 若考虑证明它的逆否命题 来代替会容易些.
答案

证明: 假设 AP 与 BC 平行, 假设原命题结 ∵ AB ? AC

例 2 如图, 等腰三角形 ABC 中, AB=AC, 已知∠DAP≠∠PAC, 求证:AP 与 BC 不平行. “等腰△ABC中,AB=AC” 不是条件

∴ ?B ? ?C

论的反面成立

∵ AP BC ∴ ?DAP ? ?B

看能否推出原命题条件的反面成立

?PAC ? ?C 尝试成功 得证 ∴ ?DAP ? ?PAC 因为原命题的逆否命题正确, 所以原命题也正确. 练习

练习 1 证明:“若 a2 ? b2 ? 2a ? 4b ? 3 ? 0 ,则 a ? b ? 1 .” 为真命题.

练习 2 2 b 、c 为奇数 , 则方程 ax ? bx ? c ? 0 证明 :“若 a 、 无等根.” 为真命题.

1答案

2答案

练习 1 证明:“若 a ? b ? 2a ? 4b ? 3 ? 0 , 则 a ? b ? 1 .”为真命题.
2 2

证明:假设 a ? b ? 1 , 2 2 则 a ? b ? 2a ? 4b ? 3 = (a ? b)(a ? b) ? 2(a ? b) ? 2b ? 3 = a ? b ?1 =0 ∴原命题的逆否命题正确, 所以原命题也正确.

练习 2 证明:“若 a 、 b 、c 为奇数,则方程 2 ax ? bx ? c ? 0 无等根.” 为真命题.

证明: 假设方程 ax ? bx ? c ? 0 有等 2 2 根,则 b ? 4ac =0,∴ b ? 4ac 2 ∵ a 、 c 为整数,∴ b 是偶数. ∴ b 为偶数,原命题的条件不成立 ∴原命题的逆否命题正确, 所以原命题正确.
2

课外练习: 2 1.已知三个关于 x 的方程: x ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0 , 2 2 2 x ? (a ?1) x ? a ? 0 ,x ? 2ax ? 2a ? 0 中至少有一 个方程有实数根,求实数 a 的取值范围. 2. 用 反 证 法 证 明 : 若 a 、 b 、 c ? R , 且 2 2 2 x ? a ? 2b ? 1 , y ? b ? 2c ? 1 , z ? c ? 2a ? 1 , 则 x 、 y 、 z 中至少有一个不小于 0
王新敞
奎屯 新疆

3.已知m、n、p、q∈R,且同时满足

⑴m+n=1,⑵p+q=1,⑶mp+nq>1.
求证: m、n、p、q中至少有一个是负数.
作业:自学随堂通

课外练习答案: 1.见参考书 P6 2. 证明:假设 x 、 y 、z 均小于 0,即 x ? a 2 ? 2b ? 1 ? 0 ① ;

y ? b 2 ? 2c ? 1 ? 0 ② ; z ? c 2 ? 2a ? 1 ? 0 ③ ; ∴由① + ② + ③ 得 x ? y ? z ? (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ? (c ? 1) 2 ? 0 , 这与 (a ?1)2 ? (b ?1)2 ? (c ?1)2 ≥ 0 矛 盾,则假设不成立,∴ x 、 y 、 z 中至少有一个不小于 0 3.用反证法即化难为易.
王新敞
奎屯 新疆


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