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十种求数列通项公式的方法


大豆不挤不出油,时间不挤会溜走!

十种求数列通项公式的方法
一、公式法(掌握! )
例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

an ?1 an 3 a ?1 an 3 a ? n ? ,则 n ? n ? ,故数列 { n }是 n ?1 n ?1 2 2 2 2 2 2 2n a 3 a 2 3 ? ? 1 为首项, ? 1 ? (n ? 1) , 以 1 以 为公差的等差数列, 由等差数列的通项公式, 得 n n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。 2 2 a ?1 an 3 ? ? ,说明数列 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 2n 转化为 n 2n ?1 2n 2 a a 3 ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数列 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 n n n 2 2 2
解:an?1 ? 2an ? 3? 2n 两边除以 2
n ?1

,得

{an } 的通项公式。
二、累加法(掌握! )
例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ?

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1

? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2n ? 1 转化为 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,进而
求出 (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ?

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。

例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1得 an?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1则
n n

1

大豆不挤不出油,时间不挤会溜走!
an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ?2 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3n ? n ?1.

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3

? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1转化为 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1,
进而求出 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? 项公式。 例4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n ?1

即得数列 {an } 的通 ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,

解: an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3 则

,得

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 , n ?1 3 3 3 3

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ,故 n ?1 3 3 3 3

an an an ?1 a an ? 2 an ? 2 a n ? 3 ?( n ? ) ? ( n ?1 ? n )?( n ? )? n ?2 3 3 an ?1 an ?1 3 3 ? 2 3n ?3

?(

a2 a1 a1 ? )? 32 31 3

2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n 2 1 n 1 n 则 an ? ? n ? 3 ? ? 3 ? . 3 2 2
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 转化为
进而求出 (

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 , n ?1 3 3 3 3

an an ?1 an ?1 an ? 2 an ? 2 an ?3 ? n ?1 ) ? ( n ? n?2 ) ? ( n ? )? n ?1 3 3 3 3 3 ? 2 3n ?3

?(

a2 a1 a1 ? an ? ? 1 ) ? ,即得数列 ? n ? 2 3 3 3 ?3 ?

的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。

三、累乘法(掌握! )
例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5 ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

2

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解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 ? ? an ?1 an ? 2

?

a3 a2 ? ? a1 a2 a1 ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3
? 2 ?1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ? ? 2n ?1[n(n ? 1) ? ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ? ? n!

?3

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2n?1 ? 5

n ( n ?1) 2

? n!.
an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,进而 an

评注:本题解题的关键是把递推关系 an?1 ? 2(n ?1)5n ? an 转化为
an an?1 ? ? an?1 an?2 ? a3 a2 ? ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 a2 a1

求出

例 6 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 项公式。 解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 所以 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通

? (n ?1)an?1 (n ? 2)




? (n ?1)an?1 ? nan

用②式-①式得 an?1 ? an ? nan . 则 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) 故

an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an


所以 an ?

an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a3 ? a2 ? [n(n ? 1) ? a2

? 4 ? 3]a2 ?

n! a2 . 2

由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又知
?n ? n! n! 。所以,{an } 的通项公式为 an ? . 2 2

a1 ? 1 ,则 a2 ? 1 ,代入③得 an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ?

评注: 本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) 转化为
进而求出

an ?1 ? n ? 1(n ? 2) , an

an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a3 ? a2 ,从而可得当 n ? 2时,an 的表达式,最后再求出数列 {an } a2

的通项公式。

四、待定系数法(掌握! )

3

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例 7 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 5n?1 ? 2(an ? x ? 5n ) ①

n 将 an?1 ? 2an ? 3? 5n 代入④式,得 2an ? 3? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 ,等式两边消去 an ? 2 x? 5
n n x? 5 , 两 边 除 以 5 , 得 3 ? 5x ? 2x 则 代入①式得 , x ? ? 1, 2an , 得 3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2

n an?1 ? 5n?1 ? 2( an ? 5 )

② 由 a1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及 ② 式 得 an ? 5n ? 0 , 则

an?1 ? 5n?1 ? 2 ,则数列 {an ? 5n } 是以 a1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 n an ? 5

an ? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 5n 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 5n 转化为 an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n ) ,
从而可知数列 {an ? 5n }是等比数列,进而求出数列 {an ? 5n }的通项公式,最后再求出数列

{an } 的通项公式。
例 8 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y) ①将 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 代入①式, 得

3an ? 5 ? 2n ? 4 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)
整理得 (5 ? 2 x) ? 2 ? 4 ? y ? 3x ? 2 ? 3 y 。
n n

令?

?5 ? 2 x ? 3x ?x ? 5 ,则 ? ,代入①式得 an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) ?4 ? y ? 3 y ?y ? 2



由 a1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及①式,得 an ? 5 ? 2n ? 2 ? 0 ,则
n 1

an?1 ? 5? 2 n?1? 2 ?3, an ? 5? 2 n? 2

故数列 {an ? 5 ? 2 ? 2} 是以 a1 ? 5 ? 2 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 为首项,以 3 为公比的等比数列, 因此 an ? 5 ? 2 ? 2 ? 13? 3
n n?1

,则 an ? 13? 3

n?1

? 5 ? 2n ? 2 。

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 转化为

an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) ,从而可知数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是等比数列,进而求
出数列 {an ? 5 ? 2 ? 2} 的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。
n

4

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例 9 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?1 ? x(n ? 1)2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) 将 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 代入①式,得 ①

2an ? 3n2 ? 4n ? 5 ? x(n ?1)2 ? y(n ?1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) ,则 2an ? (3 ? x)n2 ? (2x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2an ? 2xn2 ? 2 yn ? 2z
等式两边消去 2an ,得 (3 ? x)n2 ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2xn2 ? 2 yn ? 2z ,

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ?2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入①式,得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ?1) ?18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ②
由 a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及②式,得 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 0 则

an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ,故数列 {an ? 3n2 ?10n ?18} 为以 2 an ? 3n ? 10n ? 18

a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an ? 3n2 ?10n ?18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n?4 ? 3n2 ?10n ?18 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 转化为

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ?1) ?18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ,从而可知数列

{an ? 3n2 ?10n ?18} 是等比数列,进而求出数列 {an ? 3n2 ?10n ?18} 的通项公式,最后
再求出数列 {an } 的通项公式。

五、对数变换法(了解)
5 例 10 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。 5 解:因为 an?1 ? 2 ? 3 ? an,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an?1 ? 0 。在 an?1 ? 2 ? 3n ? an 式两边取 n 5

常用对数得 lg an?1 ? 5lg an ? n lg3 ? lg 2 设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y)

① ②

5

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将⑩式代入○ 11式, 得 5lg an ? n lg3 ? lg 2 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y) , 两边消去 5lg an

l g3 ? x? ? g3 ? x ? 5 x ?l ? 4 并整理, 得 (lg3 ? x)n ? x ? y ? lg 2 ? 5xn ? 5 y , 则? , 故? g3 l g2 g2 ? 5 y ?x ? y ? l ?y ? l ? ? 16 4 ?
lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) ③ 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及1 由 lg a1 ? 2式, ○ 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg an ?1 ? (n ? 1) ? ? lg 3 lg 3 lg 2 4 16 4 ?5, n? ? ? 0 ,则 得 lg an ? lg 3 lg 3 lg 2 4 16 4 lg an ? n? ? 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 所以数列 {lg an ? 为首项,以 5 为公比的等 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 比数列,则 lg an ? 4 16 4 4 16 4
代入②式,得 lg an ?1 ?

lg an ? (lg 7 ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 1 1 n 1 1

? (lg 7 ? lg 3 4 ? lg 3 6 ? lg 2 4 )5n ?1 ? lg 3 4 ? lg 316 ? lg 2 4 ? [lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 )]5 ? lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 )5 ? lg(7
5 n ?1 1 4 1 16 1 4 1 4 1 16 1 4 n ?1

? lg(3 ? 3 ? 2 )
n 4 1 16 1 4

n 4

1 16

1 4

n ?1

? lg(3 ? 3 ? 2 ) ?2
?1 5n?1 ?1 4

?3

5

n?1

?n

4

?3

5

n?1

?1 16 5
n?1

)

? lg(75 n ?1 ? 3
则 an ? 7
5n?1

5 n ? 4 n ?1 16

?2

4

)


?3

5n?4 n?1 16

?2

5n?1 ?1 4

5 评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an?1 ? 2 ? 3n ? an 转化为

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) ,从而可知数列 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 {lg an ? n? ? } 是等比数列,进而求出数列 {lg an ? n? ? } 的通项 4 16 4 4 16 4 lg an ?1 ?
公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。

六、迭代法(掌握! )
3( n ?1)2 例 11 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

6

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3( n ?1)2 3n?2 解:因为 an?1 ? an ,所以 an ? an ?1
3 ( n ?1)?n?2 ? an ?2 3( n ? 2)?2 ? [ an ?3
3 2 ( n ? 2 ) ?( n ?1)

n

n?1

3( n ?1)?2 ? [an ]3n?2 ?2

n? 2

n?1

n ?3

]3

2

( n ?1)?n?2( n?2 )?( n ?1)
( n ?3 )?( n ? 2 ) ?( n ?1)

3 ( n ? 2)( n ?1) n?2 ? an ?3

?
3 ? a1
n ?1

?2?3

( n ? 2)?( n ?1)?n?21? 2?
n ( n ?1) 2

?( n ?3 ) ?( n?2 ) ?( n ?1)

?a

3n?1 ?n!?2 1

又 a1 ? 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 53

n?1

?n!?2

n ( n?1) 2



评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式
3( n ?1)2 两边取常用对数得 lg an?1 ? 3(n ? 1) ? 2n ? lg an ,即 an?1 ? an
n

lg an?1 ? 3(n ? 1)2n ,再 lg an
n ( n?1) 2

由 累 乘 法 可 推 知 lg an ?
3n?1 ?n!?2 n ( n ?1) 2

lg an lg an?1 ? ? lg an?1 lg an?2

?

n?1 lg a3 lg a2 ? ? lg a1 ? lg 53 ?n!?2 lg a2 lg a1

,从而

an ? 5



七、数学归纳法(掌握! )
例 12 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? , 求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

7

大豆不挤不出油,时间不挤会溜走!
(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

(2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

? ?

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

(2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 ? (2k ? 3) 2 ? [2( k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2( k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1) , (2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。
*

评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项,进而猜出数列的通
项公式,最后再用数学归纳法加以证明。

八、换元法(了解)
1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 , 求数列 {an } 的通项公式。 16 1 2 1 2 (bn ? 1 故 ) an ?1 ? (bn ?1 ? 1) , 代 入 解 : 令 bn ? 1 ? 2an4 , 则 an ? 24 24 1 1 2 1 1 2 an ?1 ? ( ? 1 an4 ? ? 1an 得 2 4 (bn ) [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] ?1 ? 1) ? 16 24 16 24
例 13 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?
2 2 即 4bn ?1 ? (bn ? 3) 因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn ?1 ? 1 ? 24an ?1 ? 0

则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ?

1 3 1 bn ? ,可化为 bn ?1 ? 3 ? (bn ? 3) , 2 2 2
1 为公比的等比数 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以 列 , 因 此 bn ? 3 ? 2( )

1 n ?1 1 n ?2 1 1 ?2 ? ( ) , 则 bn ? ( )n ? 2 ? 3, 即 1 ? 24an ? ( n ) ? 3, 得 2 2 2 2 2 1 1n 1 an ? ( )n ? ( ) ? 。 3 4 2 3

8

大豆不挤不出油,时间不挤会溜走!
评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化
bn ?1 ? 1 3 bn ? 形式, 从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, 2 2

最后再求出数列 {an } 的通项公式。

九、不动点法(了解)
例 14 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 解:令 x ?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

21x ? 24 21x ? 24 2 24 ? 0 ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? ,得 4 x ?20 x ? 的 4x ?1 4x ?1

两个不动点。因为

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 21 a ? 24 an ?1 ? 3 9 an ? 3 n ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 4an ? 1
? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( )n?1 , ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?
则 an ?

1 13 2( )n?1 ? 1 9

? 3。
21x ? 24 21x ? 24 的不动点,即方程 x ? 的 4x ?1 4x ?1

评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x) ?
两个根 x1 ? 2,x2 ? 3 ,进而可推出

?a ? 2? an?1 ? 2 13 an ? 2 ,从而可知数列 ? n ? ? ? 为等比 an?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

数列,再求出数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 ? an ? 3 ?

例 15 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 解:令 x ?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

因为 an ?1 ? 1 ?

7an ? 2 5a ? 5 ?1 ? n ,所以 2an ? 3 2an ? 3

3 5 an ? 2 a ? 3 1 2 2 ? 2 (1 ? 2 ) ? 1 ? 2 , ? n ? ? an ?1 ? 1 5an ? 5 5 an ? 1 5 an ? 1 an ? 1 5

9

大豆不挤不出油,时间不挤会溜走!
所以数列 ?

? 1 ? 1 1 2 ? ? 1为首项,以 为公差的等差数列,则 ? 是以 5 a1 ? 1 2 ? 1 ? an ? 1 ?

2n ? 8 1 2 。 ? 1 ? (n ? 1) ,故 an ? 2n ? 3 an ? 1 5

评注: 本题解题的关键是先求出函数 f ( x ) ?
x ? 1 ,进而可推出

3x ? 1 7x ? 2 的不动点,即方程 x ? 的根 4x ? 7 2x ? 3

1 an ?1 ? 1

?

? 1 ? 1 2 ? ,从而可知数列 ? ? 为等差数列,再求出数列 an ? 1 5 ? an ? 1 ?

? 1 ? ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 ? an ? 1 ?

十、特征根法(了解)
例 16 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? an?1 (n ? 2),a1 ? a2 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解 : an?1 ? 3an ? an?1 (n ? 2) 的 相 应 特 征 方 程 为 ? ? 3? ? 1 ? 0 , 解 之 求 特 征 根 是
2

?1 ?

3? 5 3? 5 3? 5 3? 5 ,所以 an ? c1 。由初始值 a1 ? a2 ? 1 ,得方 ,?2 ? ? c2 2 2 2 2

? ? 5?2 5 3? 5 1 3? 5 1 ) ? c2 ( ) ?c1 ? ?1 ? c1 ( ? ? 5 2 2 程组 ? 求得 ? ?1 ? c ( 3 ? 5 ) 2 ? c ( 3 ? 5 ) 2 ?c ? 5 ? 2 5 1 2 2 ? ? ? 2 2 5 ?
从而 an ?

5? 2 5 3? 5 n 5? 2 5 3? 5 n ( ) ? ( ) 。 5 2 5 2

评注:本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出 c1,c 2 ,从而可得数列

{an } 的通项公式。

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