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高中数学 (4.2.1 直线与圆的位置关系)示范教案 新人教A版必修2


4.2 4.2.1

直线、圆的位置关系 直线与圆的位置关系
整体设计

教学分析 学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系,并知道可以利用直线与圆的交点的个 数以及圆心与直线的距离 d 与半径 r 的关系判断直线与圆的位置关系,但是,在初中学习时, 利用圆心与直线的距离 d 与半径 r 的关系判断直线与圆的位置关系的方法却以结

论性的形式 呈现.在高一学习了解析几何以后,要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与 圆的位置关系的方法.解决问题的方法主要是几何法和代数法.其中几何法应该是在初中学 习的基础上,结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离 d 后,比较与半径 r 的关系从而作出判断.适可而止地引进用联立方程组转化为二次方程判别根的“纯代数判别 法”,并与“几何法”欣赏比较,以决优劣,从而也深化了基本的“几何法”.含参数的问题、 简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用,也适度地引入课 堂教学中,但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的,要控制难度.虽然学生学习解析几 何了,但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法,学生仍是似懂非懂,因此应不 断强化,逐渐内化为学生的习惯和基本素质. 三维目标 1.理解直线与圆的位置关系,明确直线与圆的三种位置关系的判定方法 ,培养学生数形结合 的数学思想. 2.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系及会利用直线与圆的位置关系解决相关 的问题,让学生通过观察图形,明确数与形的统一性和联系性. 重点难点 教学重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 教学难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.平面解析几何是高考的重点和热点内容,每年的高考试题中有选择题、 填空题和解答 题,考查的知识点有直线方程和圆的方程的建立、 直线与圆的位置关系等,本节主要学习直线 与圆的关系. 思路 2.(复习导入) (1)直线方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零). 2 2 2 (2)圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r ,圆心为(a,b),半径为 r. (3) 圆 的 一 般 方 程 x +y +Dx+Ey+F=0( 其 中 D +E -4F > 0) , 圆 心 为 (2 2 2 2

D E ,), 半 径 为 2 2

1 2

D 2 ? E 2 ? 4F .

推进新课 新知探究 提出问题

1

①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类? ②在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢? ③如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢? ④判断直线与圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么? 讨论结果: ①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆相离、 直线与圆相切、 直线与圆相交三种. ②直线与圆的三种位置关系的含义是: 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 只有一个 没有 圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系 d<r d=r d>r 图形

③方法一,判断直线 l 与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解; 方法 二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系. ④直线与圆的位置关系的判断方法: 几何方法步骤: 1°把直线方程化为一般式,求出圆心和半径. 2°利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离. 3°作判断: 当 d>r 时,直线与圆相离; 当 d=r 时,直线与圆相切;当 d<r 时,直线与圆相交. 代数方法步骤: 1°将直线方程与圆的方程联立成方程组. 2°利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程. 3°求出其判别式 Δ 的值. 4°比较 Δ 与 0 的大小关系,若 Δ >0,则直线与圆相离;若 Δ =0,则直线与圆相切;若 Δ < 0,则直线与圆相交.反之也成立. 应用示例 思路 1 2 2 例 1 已知直线 l:3x+y-6=0 和圆心为 C 的圆 x +y -2y-4=0,判断直线 l 与圆的位置关系.如 果相交,求出它们的交点坐标. 活动:学生思考或交流,回顾判断的方法与步骤,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示, 对学生的思维作出评价;方法一,判断直线 l 与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方 程组有无实数解;方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置 关系. 解法一:由直线 l 与圆的方程,得

?3 x ? y ? 6 ? 0, ? ? 2 2 ? ? x ? y ? 2 y ? 4 ? 0.
2

(1) ( 2)
2

消去 y,得 x -3x+2=0,因为 Δ =(-3) -4?1?2=1>0,所以直线 l 与圆相交,有两个公共点. 解法二: 圆 x +y -2y-4=0 可化为 x +(y-1) =5,其圆心 C 的坐标为(0,1),半径长为 5 ,圆心 C
2 2 2 2

2

到直线 l 的距离 d=
2

| 3? 0 ? 6 ?1| 3 ?1
2 2

=

5 10

< 5 .所以直线 l 与圆相交,有两个公共点.

由 x -3x+2=0,得 x1=2,x2=1.把 x1=2 代入方程①,得 y1=0;把 x2=1 代入方程①,得 y2=3.所以直 线 l 与圆相交有两个公共点,它们的坐标分别是(2,0)和(1,3). 点评:比较两种解法,我们可以看出,几何法判断要比代数法判断快得多,但是若要求交点,仍 需联立方程组求解. 2 2 例 2 已知圆的方程是 x +y =2,直线 y=x+b,当 b 为何值时,圆与直线有两个公共点,只有一个 公共点没有公共点. 活动:学生思考或交流,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价. 我们知道,判断直线 l 与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解,或依 据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系 .反过来,当已知圆与直线的 位置关系时 , 也可求字母的取值范围 , 所求曲线公共点问题可转化为 b 为何值时 , 方程组
2 2 ? ? x ? y ? 2, 有两组不同实数根、 有两组相同实根、 无实根的问题.圆与直线有两个公共点、 ? ? ?y ? x ? b

只有一个公共点、没有公共点的问题,可转化为 b 为何值时圆心到直线的距离小于半径、等 于半径、大于半径的问题. 2 2 解法一:若直线 l:y=x+b 和圆 x +y =2 有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点, 则方程组 ?
2 2 ? ? x ? y ? 2, 有两个不同解、有两个相同解、没有实数解, ? y ? x ? b ?
2 2

消去 y,得 2x +2bx+b -2=0, 2 2 2 所以 Δ =(2b) -4?2(b -2)=16-4b . 2 2 所以,当 Δ =16-4b >0,即-2<b<2 时,圆与直线有两个公共点; 当 Δ =16-4b =0,即 b=±2 时, 2 圆与直线只有一个公共点;当 Δ =16-4b <0,即 b>2 或 b<-2 时,圆与直线没有公共点. 2 2 解法二:圆 x +y =2 的圆心 C 的坐标为(0,0),半径长为 2,圆心 C 到直线 l:y=x+b 的距离 d=

| ?1 ? 0 ? 1 ? 0 ? b | 12 ? 12

?

|b| 2

.

当 d>r 时,即

|b| 2

> 2 ,即|b|>2,即 b>2 或 b<-2 时,圆与直线没有公共点;

当 d=r 时,即

|b| 2

= 2 ,即|b|=2,即 b=±2 时,圆与直线只有一个公共点;

当 d<r 时,即

|b| 2

< 2 ,即|b|<2,即-2<b<2 时,圆与直线有两个公共点.

点评: 由于圆的特殊性,判断圆与直线的位置关系,多采用圆心到直线的距离与半径的大小进 行比较的方法,而以后我们将要学习的圆锥曲线与直线位置关系的判断 ,则需要利用方程组 解的个数来判断. 变式训练 2 2 已知直线 l 过点 P(4,0),且与圆 O:x +y =8 相交,求直线 l 的倾斜角 α 的取值范围.
3

解法一:设直线 l 的方程为 y=k(x-4),即 kx-y-4k=0, 因为直线 l 与圆 O 相交,所以圆心 O 到直线 l 的距离小于半径, 即

| ?4 k | k ?1
2

<2 2 ,化简得 k <1,所以-1<k<1,即-1<tanα <1.

2

? 3? ;当-1<tanα <0 时, <α <π . 4 4 ? 3? 所以 α 的取值范围是[0, )∪( ,π ). 4 4
当 0≤tanα <1 时,0≤α < 解法二:设直线 l 的方程为 y=k(x-4), 由?

? ? y ? k ( x ? 4), 2 2 2 2 ,消去 y 得(k +1)x -8k x+16k -8=0. 2 2 x ? y ? 8 , ? ?
2 2 2 2 2

因为直线 l 与圆 O 相交,所以 Δ =(-8k ) -4(k +1)(16k -8)>0,化简得 k <1.(以下同解法一) 点评:涉及直线与圆的位置关系的问题,常可运用以上两种方法.本题若改为选择题或填空题, 也可利用图形直接得到答案. 思路 2 2 2 2 例 1 已知圆的方程是 x +y =r ,求经过圆上一点 M(x0,y0)的切线方程. 活动:学生思考讨论,教师提示学生解题的思路,引导学生回顾直线方程的求法,既考虑通法 又考虑图形的几何性质.此切线过点(x0,y0),要确定其方程,只需求出其斜率 k,可利用待定 系数法(或直接求解).直线与圆相切的几何特征是圆心到切线的距离等于圆的半径 ,切线与 法线垂直. 解法一:当点 M 不在坐标轴上时,设切线的斜率为 k,半径 OM 的斜率为 k1, 因为圆的切线垂直于过切点的半径,所以 k=-

1 . k1

因为 k1=

y0 x x 所以 k=- 0 .所以经过点 M 的切线方程是 y-y0=- 0 (x-x0). x0 y0 y0
2 2 2 2 2

整理得 x0x+y0y=x0 +y0 .又因为点 M(x0,y0)在圆上,所以 x0 +y0 =r . 2 所以所求的切线方程是 x0x+y0y=r . 当点 M 在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用. 解法二:设 P(x,y)为所求切线上的任意一点,当 P 与 M 不重合时,△OPM 为直角三角形,OP 为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 斜边,所以 OP =OM +MP ,即 x +y =x0 +y0 +(x-x0) +(y-y0) . 2 2 整理得 x0x+y0y=r .可以验证,当 P 与 M 重合时同样适合上式,故所求的切线方程是 x0x+y0y=r . 解法三:设 P(x,y)为所求切线上的任意一点,当点 M 不在坐标轴上时,由 OM⊥MP 得 kOM?kMP=-1, 即

y ?y y0 2 ? 0 =-1,整理得 x0x+y0y=r .可以验证,当点 M 在坐标轴上时,P 与 M 重合,同样适 x0 ? x x0
2

合上式,故所求的切线方程是 x0x+y0y=r . 点评:如果已知圆上一点的坐标,我们可直接利用上述方程写出过这一点的切线方程. 变式训练 2 2 2 求过圆 C:(x-a) +(y-b) =r 上一点 M(x0,y0)的圆的切线方程. 解 : 设 x0≠a,y0≠b, 所 求 切 线 斜 率 为 k, 则 由 圆 的 切 线 垂 直 于 过 切 点 的 半 径 , 得

4

k=

?

1 k CM

??

x0 ? a y0 ? b

, 所 以 所 求 方 程 为
2

y-y0=

?

x0 ? a y0 ? b

(x-x0), 即

(y-b)(y0-b)+(x-a)(x0-a)=(x0-a) + 2 (y0-b) . 2 2 2 又点 M(x0,y0)在圆上,则有(x0-a) +(y0-b) =r . 2 代入上式,得(y-b)(y0-b)+(x-a)(x0-a)=r . 2 2 2 当 x0=a,y0=b 时仍然成立,所以过圆 C:(x-a) +(y-b) =r 上一点 M(x0,y0)的圆的切线方程为 2 (y-b)(y0-b)+(x-a)(x0-a)=r . 2 2 例 2 从点 P(4,5)向圆(x-2) +y =4 引切线,求切线方程. 活动:学生思考交流,提出解题的方法,回想直线方程的求法,先验证点与圆的位置关系,再利 用几何性质解题. 2 2 2 2 2 2 解:把点 P(4,5)代入(x-2) +y =4,得(4-2) +5 =29>4,所以点 P 在圆(x-2) +y =4 外.设 切线斜率为 k,则切线方程为 y-5=k(x-4),即 kx-y+5-4k=0.又圆心坐标为(2,0),r=2.因 为圆心到切线的距离等于半径,即

| 2k ? 0 ? 5 ? 4k | k 2 ?1

=2,k=

21 . 20

所以切线方程为 21x-20y+16=0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是 x=4. 点评:过圆外已知点 P(x,y)的圆的切线必有两条,一般可设切线斜率为 k,写出点斜式方程, 再利用圆心到切线的距离等于半径,写出有关 k 的方程.求出 k,因为有两条,所以应有两个不 同的 k 值,当求得的 k 值只有一个时,说明有一条切线斜率不存在,即为垂直于 x 轴的直线, 所以补上一条切线 x=x1. 变式训练 2 2 求过点 M(3,1),且与圆(x-1) +y =4 相切的直线 l 的方程. 解:设切线方程为 y-1=k(x-3),即 kx-y-3k+1=0, 因为圆心(1,0)到切线 l 的距离等于半径 2, 所以

| k ? 3k ? 1 | k 2 ? (?1) 2

=2,解得 k=-

3 . 4

所以切线方程为 y-1=-

3 (x-3),即 3x+4y-13=0. 4

当过点 M 的直线的斜率不存在时,其方程为 x=3,圆心(1,0)到此直线的距离等于半径 2,故直 线 x=3 也符合题意. 所以直线 l 的方程是 3x+4y-12=0 或 x=3.
2 例 3 (1)已知直线 l:y=x+b 与曲线 C:y= 1 ? x 有两个不同的公共点,求实数 b 的取值范

围;
2 (2)若关于 x 的不等式 1 ? x >x+b 解集为 R,求实数 b 的取值范围.

5

图1 解:(1)如图 1(数形结合),方程 y=x+b 表示斜率为 1,在 y 轴上截距为 b 的直线 l;
2 方程 y= 1 ? x 表示单位圆在 x 轴上及其上方的半圆,

当直线过 B 点时,它与半圆交于两点,此时 b=1,直线记为 l1; 当直线与半圆相切时,b= 2 ,直线记为 l2. 直线 l 要与半圆有两个不同的公共点,必须满足 l 在 l1 与 l2 之间(包括 l1 但不包括 l2), 所以 1≤b< 2 ,即所求的 b 的取值范围是[1, 2 ).
2 2 (2)不等式 1 ? x >x+b 恒成立,即半圆 y= 1 ? x 在直线 y=x+b 上方,

当直线 l 过点(1,0)时,b=-1,所以所求的 b 的取值范围是(-∞,-1). 点评:利用数形结合解题,有时非常方便直观. 知能训练 本节练习 2、3、4. 拓展提升 2 2 圆 x +y =8 内有一点 P0(-1,2),AB 为过点 P0 且倾斜角为 α 的弦. (1)当 α =

3? 时,求 AB 的长; 4 3? 3? 时,直线 AB 的斜率为 k=tan =-1,所以直线 AB 的方程为 y-2=-(x+1),即 4 4

(2)当 AB 的长最短时,求直线 AB 的方程. 解:(1)当 α =

y=-x+1. 解法一:(用弦长公式) 由?

? ? y ? ? x ? 1, 2 消去 y,得 2x -2x-7=0, 2 2 ? ? x ? y ? 8,

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=1,x1x2=-

7 , 2
7 2

2 2 所以|AB|= 1 ? ( ?1) |x1-x2|= 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 = 2 ? 1 ? 4 ? ( ? ) = 30 .

解法二:(几何法)弦心距 d=

1 2

,半径 r=2 2 ,弦长|AB|=2 r ? d
2

2

? 2 8?

1 ? 30 . 2

(2)当 AB 的长最短时,OP0⊥AB,因为 kOP0=-2,kAB=

1 1 ,直线 AB 的方程为 y-2= (x+1), 2 2

即 x-2y+5=0. 课堂小结 (1)判断直线与圆的位置关系的方法:几何法和代数法. (2)求切线方程. 作业 习题 4.2 A 组 1、2、3.

6

设计感想 本节课是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的,是为后面的圆与圆的位置关系作 铺垫的一节课.本节的主题是直线和圆,在解析几何中,直线与圆的关系是一个非常重要的知 识点,可以对学生的思维有一个很好的锻炼,将几种重要的数学思想灌输给学生.首先,一开 始的复习提问全面又突出重点,特别是“初中学习的如何判断直线和圆的位置关系?”这个 问题,为学生思考提供了很好的引导.其次对于例题的选择有很高的要求,好的例题是一个好 教案的重要保证.在例题的设计方面,本教案共分为三个层次来一步步的推进,让学生由浅入 深,从思维容量上层层递进,对学生的思考和分析都有很好的引导作用,通过思路 1 的例题 1、 2 对直线与圆的几种位置关系作了巩固,是每个学生都必须也能够掌握的.但这几题虽是基 础题也并不是平淡无奇的题,它印证了判定的条件和结论在一定条件下是可以转化的.通过 思路 2 的例题 1、2,对圆的切线方程的求法进行了说明和总结.这个知识点与“直线与圆” 联系起来,而且同时又渗透了数形结合的思想.让学生通过具体的练习,通过自主地思考、研 究,来体会数学思想对我们解题和研究的作用.例题 3 的设计给学生留下了讨论的空间,不仅 将与直线与圆有关的各知识点联系了起来,而且还通过各知识点之间的联系、 综合应用,组织 学生一起思考起来,对应用的加强更是体现了“分类活动,激发潜能”的基本要求.

7


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