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初高中数学衔接 2.3 方程与不等式


初高中数学衔接

2.3 方程与不等式

2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法

方程 x2 ? 2 xy ? y 2 ? x ? y ? 6 ? 0 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程,这样的方程叫做二元二次方 程.其中 x , 2xy , y 叫做这个方程的二次项, x , y 叫做一次项,6 叫做常数项. 我们看下面的两个方程组:
2

2

? x 2 ? 4 y 2 ? x ? 3 y ? 1 ? 0, ? ?2 x ? y ? 1 ? 0; 2 ? 2 ? x ? y ? 20, ? 2 2 ? x ? 5 xy ? 6 y ? 0. ?
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的,第二个方程组是由两个二元二次 方程组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组. 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法. 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解. 例 1 解方程组

? x 2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 2 ? 0.

① ②

分析:二元二次方程组对我们来 说较为生疏,在解此方程组时,可以将其转化为我们熟悉 的形式.注意到方程②是一个一元一次方程,于是,可以利用该方程消去一个元,再代入到方程①,得 到一个一元二次方程,从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题. 解:由②,得 x=2y+2, ③ 把③代入①,整理,得 8y2+8y=0, 即 y(y+1)=0. 解得 y1=0,y2=-1. 把 y1=0 代入③, 得 x1=2; 把 y2=-1 代入③, 得 x2=0. 所以原方程组的解是

? x1 ? 2, ? ? y1 ? 0,
? x ? y ? 7, ? ? xy ? 12.
解法一:由①,得

? x2 ? 0, ? ? y2 ? ?1.

说明:在解类似于本例的二元二次方程组时,通常采用本例所介绍的代入消元法来求解. 例 2 解方程组 ① ② 所以原方程的解是 ③

x ? 7 ? y.
把③代入②,整理,得

y 2 ? 7 y ? 12 ? 0
解这个方程,得

? x1 ? 4, ? ? y1 ? 3,

? x2 ? 3, ? ? y2 ? 4.

y1 ? 3, y2 ? 4 . 把 y1 ? 3 代入③,得 x1 ? 4 ; 把 y2 ? 4 代入③,得 x2 ? 3 .


解法二:对这个方程组, 也可以根据一元二次方程 的根与系数的关系, x , y 看作一个一元二次方程 把 的两个根,通过解这个一元二次方程来求 x , y . 这个方程组的 x , y 是一元二次方程

z 2 ? 7 z ? 12 ? 0

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2.3 方程与不等式

的两个根,解这个方程,得 z ? 3 ,或 z ? 4 . 所以原方程组的解是 练 习 1.下列各组中的值是不是方程组

? x1 ? 4, ? ? y1 ? 3;

? x2 ? 3, ? ? y2 ? 4.

? x 2 ? y 2 ? 13, 的解? ? ?x ? y ? 5 ? x ? 2, ? x ? 3, ? x ? 1, ? x ? ?2, (1) ? (2) ? (3) ? (4) ? ? y ? 3; ? y ? 2; ? y ? 4; ? y ? ?3;
2.解下列方程组: (1)

? y ? x ? 5, ? 2 2 ? x ? y ? 625;
? x2 y 2 ? 1, ? ? 4 ?5 ? y ? x ? 3; ?

(2) ?

? x ? y ? 3, ? xy ? ?10;
? y 2 ? 2x , ? 2 2 ? x ? y ? 8. ?

(3)

(4) ?

2.3.2

一元二次不等式解法

二次函数 y=x2-x-6 的对应值表与图象如下:

x y

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

由对应值表及函数图象(如图 2.3-1)可知 当 x=-2,或 x=3 时,y=0,即 x2-x=6=0; 当 x<-2,或 x>3 时,y>0,即 x2-x-6>0; 当-2<x<3 时,y<0,即 x2-x-6<0. 这就是说, 如果抛物线 y= x2-x-6 与 x 轴的交点是(-2, 0)与(3,0),那么 一元二次方程 x2-x-6=0 的解就是 x1=-2,x2=3; 同样,结合抛物线与 x 轴的相关位置,可以得到 一元二次不等式 x2-x-6>0


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2.3 方程与不等式

的解是 x<-2,或 x>3; 一元二次不等式 x2-x-6<0 的解是 -2<x<3. 上例表明: 由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次 不等式的解集.
那么,怎样解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)呢? 我们可以用类似于上面例子的方法,借助于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象来解一元二次不等 式 ax2+bx+c>0(a≠0). 为了方便起见,我们先来研究二次项系数 a>0 时的一元二次不等式的解. 我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0),设△=b2-4ac,它的解的情形按照△>0,△=0, △<0 分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解,相应地,抛 物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图 2.3-2 所示),因 此, 我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 与 (a>0) 的解.

(1)当 Δ>0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0),方程 ax2+bx+c =0 有两个不相等的实数根 x1 和 x2(x1<x2),由图 2.3-2①可知 不等式 ax2+bx+c>0 的解为 x<x1,或 x>x2; 2 不等式 ax +bx+c<0 的解为 x1<x<x2. (2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有且仅有一个公共点,方程 ax2+bx+c=0 b 有两个相等的实数根 x1=x2=- ,由图 2.3-2②可知 2a 不等式 ax2+bx+c>0 的解为 b x≠- ; 2a 不等式 ax2+bx+c<0 无解. (3)如果△<0,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴没有公共点,方程 ax2+bx+c=0 没有实数 根,由图 2.3-2③可知 不等式 ax2+bx+c>0 的解为一切实数; 不等式 ax2+bx+c<0 无解. 今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数大于零,可以利用上面的结论直接求解;如果 二次项系数小于零,则可以先在不等式两边同乘以-1,将不等式变成二次项系数大于零的形式,再利用 3

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2.3 方程与不等式

上面的结论去解不等式. 例 3 解不等式: (1)x2+2x-3≤0; (3)4x2+4x+1≥0; (5)-4+x-x2<0.

(2)x-x2+6<0; (4)x2-6x+9≤0;

解: (1)∵Δ>0,方程 x2+2x-3=0 的解是 x1=-3,x2=1. ∴不等式的解为 -3≤x≤1. (2)整理,得 x2-x-6>0. 2 ∵Δ>0,方程 x -x-6=0 的解为 x1=-2,x2=3.

∴所以,原不等式的解为 x<-2,或 x<3. (3)整理,得 (2x+1)2≥0. 由于上式对任意实数 x 都成立, ∴原不等式的解为一切实数. (4)整理,得 (x-3)2≤0. 由于当 x=3 时,(x-3)2=0 成立;而对任意的实数 x,(x-3)2<0 都不成立, ∴原不等式的解为 x=3. (5)整理,得 x2-x+4>0. Δ<0,所以,原不等式的解为一切实数.
例 4 已知不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解是 x ? 2, 或 x ? 3 求不等式 bx ? ax ? c ? 0 的解.
2

解:由不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解为 x ? 2, 或 x ? 3 ,可知
2

a ? 0 ,且方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两根分别为 2 和 3, b c ?6, ∴? ?5, a a b c ? ?5 , ?6. 即 a a 2 由于 a ? 0 ,所以不等式 bx ? ax ? c ? 0 可变为 b 2 c x ?x? ?0 , a a 2 即 - 5x ? x ? 6 ? 0 ,
整理,得

5x2 ? x ? 6 ? 0 ,


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2.3 方程与不等式
2

所以,不等式 bx ? ax ? c ? 0 的解是 6 x<-1,或 x> . 5

说明:本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题.
例 5 解关于 x 的一元二次不等式 x2 ? ax ? 1 ? 0(a 为实数). 分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求, 欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式 ? 的符号,而这里的 ? 是关于未知系数的代数式, ? 的符号取 决于未知系数的取值范围,因此,再根据解题的需要,对 ? 的符号进行分类讨论. 解: ? ? a ? 4 , ①当 ? ? 0,即a ? ?2或a ? 2时, 方程x2 ? ax ? 1 ? 0 的解是
2

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 x1 ? , x2 ? . 2 2
所以,原不等式的解集为 x ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 ; , 或x? 2 2

②当 Δ=0,即 a=± 时,原不等式的解为 2 a x≠- ; 2 ③当 ? ? 0,即? 2 ? a ? 2时, 原不等式的解 为一切实数 . 综上,当 a≤-2,或 a≥2 时,原不等式的解是

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 ; , 或x? 2 2 当 ?2 ? a ? 2时, 原不等式的解 为一切实数. x?
例 6 已知函数 y=x2-2ax+1(a 为常数)在-2≤x≤1 上的最小值为 n,试将 n 用 a 表示出来. 分析:由该函数的图象可知,该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关,于是需要对对称轴的位 置进行分类讨论. 解:∵y=(x-a)2+1-a2, ∴抛物线 y=x2-2ax+1 的对称轴方程是 x=a. (1)若-2≤a≤1,由图 2.3-3①可知,当 x=a 时,该函数取最小值 n=1-a2; (2)若 a<-2 时, 由图 2.3-3②可知, 当 x=-2 时,该函数取最小值 n=4a+5; (2)若 a>1 时, 由图 2.3-3③可知, 当 x=1 时,该函数取最小值 n=-2a+2. 综上,函数的最小值为

?4a ? 5, a ? ?2, ? n ? ?1 ? a 2 , ? 2 ? a ? 1, ??2a ? 2, a ? 1. ?



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2.3 方程与不等式 y x=a x=a y y x=a

-2

O 1

x

-2

O1

x -2

O

1

x



② 图 2.3-3






(2)x2-x-12≤0; (4)16-8x+x2≤0.

1.解下列不等式: (1)3x2-x-4>0; (3)x2+3x-4>0;

2.解关于 x 的不等式 x2+2x+1-a2≤0(a 为常数) .

习题 2.3 A 组 1.解下列方程组:

? x2 2 ? ? y ? 1, (1) ? 4 ? x ? y ? 2 ? 0; ?

(2) ?

? x 2 ? y 2 ? 4, ?( x ? 3)2 ? y 2 ? 9, ? (3) ? 2 2 ? x ? y ? 2. ? x ? 2 y ? 0; ?

2.解下列不等式: (1)3x2-2x+1<0; (2)3x2-4<0;

(3)2x-x2≥-1; (4)4-x2≤0.

B 组 1. m 取什么值时,方程组 6

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2.3 方程与不等式

? y 2 ? 4 x, ? ? y ? 2x ? m

有一个实数解?并求出这时方程组的解.

2.解关于 x 的不等式 x2-(1+a)x+a<0(a 为常数) .

C 组 1.已知关于 x 不等式 2x +bx-c>0 的解为 x<-1,或 x>3.试解关于 x 的不等式 bx2+cx+4≥0. 2.试求关于 x 的函数 y=-x2+mx+2 在 0≤x≤2 上的最大值 k.
2

2.3 方程与不等式 参考答案
2.3.1 二元二次方程组解法 练 习
1.(1) (2)是方程的组解; 2. (1) ? (3) (4)不是方程组的解. (2) ?

? x1 ? 15, ? y1 ? 20,

? x2 ? ?20, ? ? y2 ? ?15;

? x1 ? 5, ? y1 ? ?2,

? x2 ? ?2, ? ? y2 ? 5;

5 ? x? , ? ? 3 (3) ? ?y ? ? 4. ? 3 ?

(4) ?

? x1 ? 2, ? y1 ? 2,

? x2 ? 2, ? ? y2 ? ?2.

2.3.2

一元二次不等式解法

练 习

4 1. (1)x<-1,或 x> ; (2)-3≤x≤4; (3)x<-4,或 x>1; 3 (4)x=4. 2.不等式可以变为(x+1+a)( x+1-a)≤0, (1)当-1-a<-1+a,即 a>0 时,∴-1-a≤x≤-1+a; (2)当-1-a=-1+a,即 a=0 时,不等式即为(x+1)2≤0,∴x=-1; (3)当-1-a>-1+a,即 a<0 时,∴-1+a≤x≤-1-a. 综上,当 a>0 时,原不等式的解为-1-a≤x≤-1+a; 当 a=0 时,原不等式的解为 x=-1; 当 a<0 时,原不等式的解为-1+a≤x≤-1-a. 7

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2.3 方程与不等式

习题 2.3

A 组
1. (1) ?

? x1 ? 2, ? y1 ? 0,

10 ? ? x2 ? 3 , ? ? ?y ? 4. ? 2 3 ?

(2) ?

? x1 ? 0, ? y1 ? 0,

24 ? ? x2 ? 5 , ? ? ? y ? ? 12 . ? 2 5 ?

(3) ?

? x1 ? 3 ? 2, ? x2 ? 3 ? 2, ? ? ? ? y1 ? 3 ? 2, ? y2 ? 3 ? 2; ? ?
? ? x1 ? 3, ? x2 ? 3, ? x3 ? ? 3, ? x4 ? ? 3, ? ? ? ? ? ? ? y1 ? 1, ? y2 ? ?1, ? y3 ? 1, ? y4 ? ?1. ? ? ? ?

(4) ?

2. (1)无解 (3)1- 2≤x≤1+ 2
2

2 3 2 3 ?x? 3 3 (4)x≤-2,或 x≥2

(2) ?

B 组
1.消去 y ,得 4 x ? 4(m ? 1) x ? m ? 0 .
2

1 时,方程有一个实数解. 2 1 ? 1 ?x ? , m ? 代入原方程组,得方程组的解为 ? 将 4 2 ? y ? 1. ?
当 ? ? 16(m ? 1)2 ? 16m2 ? 0 ,即 m ? 2.不等式可变形为(x-1)(x-a)<0. ∴当 a>1 时,原不等式的解为 1<x<a; 当 a=1 时,原不等式的无实数解; 当 a<1 时,原不等式的解为 a<x<1.

C 组
1.由题意,得 -1 和 3 是方程 2x +bx-c=0 的两根, b c ∴-1+3=- ,-1× 3=- , 即 b=-4,c=6. 2 2 ∴等式 bx2+cx+4≥0 就为-4 x2+6x+4≥0,即 2 x2-3x-2≤0, 1 ∴- ≤x≤2. 2 m m2 2.∵y=-x2+mx+2=-(x- )2+2+ , 2 4 2 m m ∴当 0≤ ≤2,即 0≤m≤4 时,k=2+ ; 2 4 m 当 <0,即 m<0 时,k=2; 2 m 当 >2,即 m>4 时,k=2m-2. 2
2

m ? 0, ? 2, ? 2 ?m ? 2, 0 ? m ? 4, ∴k ? ? ? 4 m ? 4. ? 2m ? 2, ?



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