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高二数学上学期期末模拟卷(含答案)


周末自主练习
班级: 一、填空 1.已知过两点 A(?a,3), B(5, ?a) 的直线的斜率为 1,则 a = 2.椭圆 . 姓名:

时间:12.28 得分:

x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标为 3 2

. .

3.经过圆 x2+y2+2x=0 的圆心,且与直线 x+y=0 垂直的直线 l 的方程是 4.若函数 f ? x ? ? x cos x ,则 f ? ? x ? ? .

2 5.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2ax ? a ? 0 .若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围



. x2 y2 - 2 =1 的离心率为 5,则 m 的值为 m m +4 . .

6.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线

7.若直线 y ? ?3x ? b 是曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 2 的一条切线,则实数 b 的值是
2 2 2

8.若圆 x ? y ? m ?m ? 0? 与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 11 ? 0 相交,则实数 m 的取值范围 是 . . .

9.已知正方形 ABCD ,则以 A,B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆的离心率为 10. 直线 l 过点(-2,0), 当 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点时, 直线 l 的斜率 k 的取值范围是

?x ? y ?1 ? 0 ? 11.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 (a 为常数)所表示的平面区域的面积 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
等于 2,则实数 a 的值为 .
2 2

12.已知线段 AB 的端点 B (4,3) ,端点 A 在圆 ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 4 上运动,则线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 .

13 . 若 直 线 y ? x ? 2 与 曲 线 y ? m ? x2 ( m ? 0)恰 有 一 个 公 共 点 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 为 .

14.f(x)是定义在(-∞,+∞)上的可导的偶函数,且满足 xf′(x)<0,f(1)=0,则不等式 f(x)<0 的解集为______________. 二、解答题

1

2 15.已知命题 p :任意 x ? R , x ? 1 ? a ,命题 q :函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 在 (??, ?1] 上

单调递减. (1)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若 p 和 q 均为真命题,求实数 a 的取值范围.

16.已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2 和圆 C2 ,直线 l 与圆 C1 相切于点 (1,1) ;圆 C2 的圆心在射线

2 x ? y ? 0 ( x ? 0) 上,圆 C2 过原点,且被直线 l 截得的弦长为 4 3 .
(1)求直线 l 的方程;(2)求圆 C2 的方程.

17.已知函数 f ?x? ? ? x ? 3x ? 9 x ? a .
3 2

(1)求 f ?x ? 的单调递减区间; (2)若 f ?x ? 在区间 ?? 2,2?上的最大值为 20 ,求它在该区间 上的最小值.

2

18. 某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品, 若该商品零售价定为 P 元, 则销售量 Q(单 位:件)与零售价 P (单位:元)有如下关系: Q ? 8300 ?170P ? P2 ,问该商品零售价定 为多少元时毛利润 L 最大,并求出最大毛利润. (毛利润 ? 销售收入 ? 进货支出)

19.如图,椭圆 C1 与椭圆 C2 中心在原点,焦点均在 x 轴上,且离心率相同.椭圆 C1 的长轴 长为 2 2 ,且椭圆 C1 的左准线 l : x ? ?2 被椭圆 C2 截得的 线段 ST 长为 2 3 ,已知点 P 是椭圆 C2 上的一个动点. ⑴求椭圆 C1 与椭圆 C2 的方程; ⑵设点 A 点 B1 为椭圆 C1 的下顶点, 若 1 为椭圆 C1 的左顶点, 直线 OP 刚好平分 A1B1 ,求点 P 的坐标; ⑶若点 M , N 在椭圆 C1 上,点 P, M , N 满足

OP ? OM ? 2ON ,则直线 OM 与直线 ON 的斜率之积是
否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.

3

20.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx, g ( x) ? ln x . ⑴当 a ? 0 时,①若 f ( x ) 的图象与 g ( x) 的图象相切于点 P( x0 , y0 ) ,求 x0 及 b 的值; ② f ( x) ? g ( x) 在 [1, m] 上有解,求 b 的范围; ⑵当 b ? ?1 时,若 f ( x) ? g ( x) 在 [ , n] 上恒成立,求 a 的取值范围.

1 e

4

1. -4

2. (?1, 0) 9.

3. y ? x ? 1

4. cos x ? x sin x

5. 0 ? a ? 1

6. 2 7.3

8. 1 ? m ? 11

2 ?1

2 2 10. ?- , ? ? 4 4?

11.3

12. x 2 ? y 2 ? 1

13. m ? 2或m ? 4 15.

14. (??,?1) ? (1,??)

16. (1)y=-x+2 (2) (x ? 2) ? ( y ? 4) ? 20
2 2

17.

5

18.







6

19.⑴设椭圆 C1 方程为

x2 y 2 x2 y 2 ,椭圆 方程为 C ? ? 1( a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a2 ? b2 ? 0) , 2 1 1 2 a12 b12 a2 b2 a12 ,∴ c1 ? 1 ,则 b1 ? 1 c1
……

则 2a1 ? 2 2 ,∴ a1 ? 2 ,又其左准线 x ? ?2 ? ?

∴椭圆 C1 方程为 3分

x2 2 ? y 2 ? 1, 其离心率为 e1 ? , 2 2

∴椭圆 C2 中 a2 ? 2b2 , 由线段的 ST 长为 2 3 , 得 S (? 2 ,3 )
2 2

,代入椭圆 C2

4 3 ? 2 ? 1, 2 2b2 b2
……

得 b2 ? 5 ,∴ a2 ? 10 ,椭圆 C2 方程为
2 2

x2 y 2 ? ? 1; 10 5
7

6分

⑵A 1B 1 中点为 ( ? 1 (? 2,0), B 1 (0, ?1) ,则 A 7分

2 1 2 , ? ) ,∴直线 OP 为 y ? x, 2 2 2

……

? x2 ? ? ?10 由? ? y? ? ?


y2 ?1 5

? x? 5 ? x?? 5 ? ? ,得 ? 10 或 ? 10 , 2 ?y ? ?y ? ? x ? 2 ? 2 2


P
; ,





标 …… ( 10 分



(

1 2

?5 ?

0 2

1 )

0 ,

5

,

2 2 2 2 ⑶设 P( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x0 ? 2 y0 ? 10 , x12 ? 2 y12 ? 2, x2 ? 2 y2 ? 2,







( x0

?

, y0 ?

)

x1

, ( y1

∴ ,

x2 )

? x0 ? ? ? y0 ?

?2 ?2

x1 y1

x2 y2

……12 分

2 2 2 2 ∴ x0 ? 2 y0 ? ( x1 ? 2x2 )2 ? 2( y1 ? 2 y2 )2 ? x12 ? 4x1x2 ? 4x2 ? 2 y12 ? 8 y1 y2 ? 8 y2 2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 6( x1x2 ? 2 y1 y2 ) ? 10 ? 6( x1x2 ? 2 y1 y2 ) ? 10 …

…14 分 ∴ x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0 ,∴

1 y1 y2 1 ? ? ,即 kOM ? kON ? ? , 2 x1 x2 2 1 . 2
……

∴直线 OM 与直线 ON 的斜率之积为定值,且定值为 ? 16 分 20. 20⑴? a ? 0 ? f ( x) ? bx ①

1 ? 1 ?b ? 1 x0 f ?( x) ? b, g ?( x) ? ? ? , ? x0 ? e, ? b ? , x ? e ?bx0 ? ln x0
② ? f ( x) ? g ( x) ? bx ? ln x( x ? 0) ? b ? 点…4 分
8

……3 分

ln x ln x 即 y ? b 与 h( x ) ? 在 [1, m] 上 有 交 x x

? h' ( x) ?

1 ? ln x ln m ]; ,? m ? e 时 h( x) 在 [1, m] 上递增, h( x) ? [0, 2 x m

1 在 [e, m] 上递减且 h( x) ? 0 ,h( x ) ? [0, ] …… m ? e 时 h( x) 在 [1, e] 上递增, e
7分

? m ? e 时,b ? [0,
8分

1 ln m ] ;m ? e 时,b ? [0, ] e m
2

……

⑵?b ? ?1? f ( x) ? ax2 ? x ? f ( x) ? g ( x) 即 ax ? x ? ln x , 即 立, 令 r ( x) ?

a?

x ? ln x x2



1 [ , n] e
……9 分







x ? ln x 1 ? x ? 2 ln x ,? r ' ( x) ? 2 x x3
……

令 s( x) ? 1 ? x ? 2ln x ,则 s( x) 为单调减函数,且 s(1) ? 0 , 12 分 ∴当 x ? (0,1) 时, r '( x) ? 0 , r ( x) 单调递增, 当 x ? (1, ??) 时, r '( x) ? 0 , r ( x) 单调递减, 13 分 若 n ? 1 ,则 r ( x) 在 [ , n] 上单调递增, ∴ rmax ( x) ? r (n) ?

……

1 e

n ? ln n n ? ln n ,∴ a ? ; 2 n n2

若 n ? 1 ,则 r ( x) 在 [ ,1] 上单调递增, [1, n] 单调递减, ∴ rmax ( x) ? r (1) ? 1,∴ a ? 1 15 分 ∴ n ? 1 时, a ? 16 分 ……

1 e

n ? ln n ; n ? 1 时, a ? 1 . n2

……

9

1.命题“ ?x ? 0, x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定形式是 2.椭圆

▲ . 2. (?1, 0)

. 1. ?x ? 0, x2 ? 2x ? 1 ? 0

x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标为 3 2



3.经过圆 x2+y2+2x=0 的圆心,且与直线 x+y=0 垂直的直线 l 的方程是 3. y ? x ? 1 4.若函数 f ? x ? ? x cos x ,则 f ? ? x ? ? ▲



.

2 5.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2ax ? a ? 0 .若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围





.

5. 0 ? a ? 1

6.若直线 y ? ?3x ? b 是曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 2 的一条切线,则实数 b 的值是
2 2 2



7.若圆 x ? y ? m ? m ? 0? 与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 11 ? 0 相交,则实数 m 的取值范围是 ▲ 8.已知正方形 ABCD ,则以 A,B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆的离心率为 7. 2 ? 1 9.直线 l 过点(-2,0),当 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点时,直线 l 的斜率 k 的 取值范围是 ▲ . 8 .?- ▲ .

?

2 2? , 4 4? .

10.若“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”是 “ x ? a ”的必要不充分条件,则 a 的最大值为

11 . 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? (2c ? 3a ? 2b) x ? d (a ? 0) 的图像如图所示, 且 f ?(1) ? 0 . 则
3 2

10

c ? d 的值是



12 .若直线 y ? x ? 2 与曲线 y ? m ? x 2 (m ? 0) 恰有一个公共点,则实数 m 的取值范围为 ▲ .
2 2

13、已知线段 AB 的端点 B (4,3) ,端点 A 在圆 ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 4 上运动,则线段 AB 的中点 M 的轨迹方程

x2 y2 14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C: - =1.设过点 M(0,1)的直线 l 与双曲线 4 3 → → C 交于 A,B 两点,若AM=2MB,则直线 l 的斜率为 .

2 2 15.已知命题 p :任意 x ? R , x ? 1 ? a ,命题 q :函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1 在 (??, ?1] 上单

调递减. (1)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若 p 和 q 均为真命题,求实数 a 的取值范围.

11

15. 已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2 和圆 C2 ,直线 l 与圆 C1 相切于点 (1,1);圆 C2 的圆心在射线

2 x ? y ? 0 ( x ? 0)上,圆 C2 过原点,且被直线 l 截得的弦长为 4 3 .
(1)求直线 l 的方程;(2)求圆 C2 的方程. 15.(1)y=-x+2 (2) (x ? 2) ? ( y ? 4) ? 20
2 2

17.已知函数 f ?x? ? ? x ? 3x ? 9 x ? a .
3 2

(1)求 f ?x ? 的单调递减区间; (2)若 f ?x ? 在区间 ?? 2,2?上的最大值为 20 ,求它在该区间上的最小值.

12

18.某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品, 若该商品零售价定为 P 元, 则销售量 Q(单 位:件)与零售价 P (单位:元)有如下关系: Q ? 8300 ?170P ? P2 ,问该商品零售价定 为多少元时毛利润 L 最大,并求出最大毛利润. (毛利润 ? 销售收入 ? 进货支出)







13

19. (本小题满分 16 分) 如图,椭圆 C1 与椭圆 C2 中心在原点,焦点均在 x 轴上,且离心率相同.椭圆 C1 的长轴 长为 2 2 ,且椭圆 C1 的左准线 l : x ? ?2 被椭圆 C2 截得的 线段 ST 长为 2 3 ,已知点 P 是椭圆 C2 上的一个动点. ⑴求椭圆 C1 与椭圆 C2 的方程; ⑵设点 A 1 为椭圆 C1 的左顶点,点 B 1 为椭圆 C1 的下顶点, 若直线 OP 刚好平分 A1B1 ,求点 P 的坐标; ⑶若点 M , N 在椭圆 C1 上,点 P, M , N 满足 OP ? OM ? 2ON ,则直线 OM 与直线 ON 的
14

斜率之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.

19⑴设椭圆 C1 方程为

x2 y 2 x2 y 2 ,椭圆 方程为 C ? ? 1( a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a2 ? b2 ? 0) , 2 1 1 2 a12 b12 a2 b2 a12 ,∴ c1 ? 1 ,则 b1 ? 1 c1
……

则 2a1 ? 2 2 ,∴ a1 ? 2 ,又其左准线 x ? ?2 ? ?

∴椭圆 C1 方程为 3分

x2 2 ? y 2 ? 1, 其离心率为 e1 ? , 2 2

2 2 ∴椭圆 C2 中 a2 , 由线段的 ST 长为 2 3 , 得 S (? ? 2b2 2 ,3 )

,代入椭圆 C2

4 3 ? 2 ? 1, 2 2b2 b2
……

2 2 得 b2 ? 5 ,∴ a2 ? 10 ,椭圆 C2 方程为

x2 y 2 ? ? 1; 10 5

6分 ⑵A 1B 1 中点为 ( ? 1 (? 2,0), B 1 (0, ?1) ,则 A 7分

2 1 2 , ? ) ,∴直线 OP 为 y ? x, 2 2 2

……

? x2 ? ? ?10 由? ? y? ? ?


y2 ?1 5

? x? 5 ? x?? 5 ? ? ,得 ? 10 或 ? 10 , 2 ?y ? ?y ? ? x ? 2 ? 2 2


P









(

1 2

?5 ?

0 2

, ;

1 )
2 2

0 ,
2

( 10 分 ……
2 2 2

5

,

⑶设 P( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x0 ? 2 y0 ? 10 , x1 ? 2 y1 ? 2, x2 ? 2 y2 ? 2 , 由 题 意

( x0

?

, y0 ?

)

x1

, ( y1

∴ ,

x2 )

? x0 ? ? ? y0 ?

?2 ?2
2 2

x1 y1
2

x2 y2
2

……12 分
2 2 2 2

∴ x0 ? 2 y0 ? ( x1 ? 2x2 ) ? 2( y1 ? 2 y2 ) ? x1 ? 4x1x2 ? 4x2 ? 2 y1 ? 8 y1 y2 ? 8 y2
15

2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 6( x1x2 ? 2 y1 y2 ) ? 10 ? 6( x1x2 ? 2 y1 y2 ) ? 10 …

…14 分 ∴ x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0 ,∴

1 y1 y2 1 ? ? ,即 kOM ? kON ? ? , 2 x1 x2 2 1 . 2
……

∴直线 OM 与直线 ON 的斜率之积为定值,且定值为 ? 16 分

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x
2

( a 为实常数) .

(1)当 a ? ?4 时,求函数 f ( x) 在 1, e 上的最大值及相应的 x 值; (2)当 x ? ?1, e? 时,讨论方程 f ?x ? ? 0 根的个数. (3)若 a ? 0 ,且对任意的 x1 , x2 ? ?1, e? ,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 求实数 a 的取值范围.
2 【答案】 (1) f ( x) max ? f (e) ? e 2 ? 4 . x ? e ; (2) ? e ? a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 2

? ?

1 1 , ? x1 x2

个相异的根. a ? ?e 2 或 a ? ?2e 时, 方程 f ?x ? ? 0 有 1 个根. a ? ?2e 时, 方程 f ?x ? ? 0 有 0 个根.(3)? a ?

1 ? 2e 2 . e

16

(2)易知 x ? 1 ,故 x ? ?1, e? ,方程 f ?x ? ? 0 根的个数等价于 x ? ?1, e? 时,方程 ? a ?

x2 根 ln x

x2 的个数. 设 g ?x ? = , g ?( x) ? ln x

2 x ln x ? x 2 ln 2 x

当 x ? 1, e 时,g ?( x) ? 0 , 函数 g ( x) 递减, 当 x ? ( e , e?时,g ?( x) ? 0 , 函数 g ( x) 递增. 又

?

?

1 x ? x(2 ln x ? 1) ln 2 x

g (e) ? e 2 , g ( e ) ? 2e ,作出 y ? g ( x) 与直线 y ? ? a 的图像,由图像知:
2 2 当 2e ? ?a ? e 时,即 ? e ? a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 2 个相异的根;

当 a ? ?e

2

或 a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 1 个根; -------10 分

当 a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 0 个根; (3)当 a ? 0 时, f ( x) 在 x ?[1, e] 时是增函数,又函数 y ?

1 是减函数,不妨设 x

1 ? x1 ? x2 ? e ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 1 1 ? x1 x2

1 1 等 ? x1 x2

17

20⑴? a ? 0 ? f ( x) ? bx ①

1 ? 1 ?b ? 1 x0 f ?( x) ? b, g ?( x) ? ? ? , ? x0 ? e, ? b ? , x ? e ?bx0 ? ln x0
② ? f ( x) ? g ( x) ? bx ? ln x( x ? 0) ? b ? 点…4 分

……3 分

ln x ln x 即 y ? b 与 h( x ) ? 在 [1, m] 上 有 交 x x

? h' ( x) ?

1 ? ln x ln m ]; ,? m ? e 时 h( x) 在 [1, m] 上递增, h( x) ? [0, 2 x m

1 在 [e, m] 上递减且 h( x) ? 0 ,h( x ) ? [0, ] …… m ? e 时 h( x) 在 [1, e] 上递增, e
7分

? m ? e 时,b ? [0,
8分

1 ln m ] ;m ? e 时,b ? [0, ] e m
2

……

2 ⑵?b ? ?1? f ( x) ? ax ? x ? f ( x) ? g ( x) 即 ax ? x ? ln x ,

即 立, 令 r ( x) ?

a?

x ? ln x x2



1 [ , n] e
……9 分







x ? ln x 1 ? x ? 2 ln x ,? r ' ( x) ? 2 x x3
18

令 s( x) ? 1 ? x ? 2ln x ,则 s( x) 为单调减函数,且 s(1) ? 0 , 12 分 ∴当 x ? (0,1) 时, r '( x) ? 0 , r ( x) 单调递增, 当 x ? (1, ??) 时, r '( x) ? 0 , r ( x) 单调递减, 13 分 若 n ? 1 ,则 r ( x) 在 [ , n] 上单调递增, ∴ rmax ( x) ? r (n) ?

……

……

1 e

n ? ln n n ? ln n ,∴ a ? ; 2 n n2

若 n ? 1 ,则 r ( x) 在 [ ,1] 上单调递增, [1, n] 单调递减, ∴ rmax ( x) ? r (1) ? 1,∴ a ? 1 15 分 ∴ n ? 1 时, a ? 16 分 ……

1 e

n ? ln n ; n ? 1 时, a ? 1 . n2

……

19


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