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石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷高三数学理


石景山区 2013—2014 学年第一学期期末考试试卷

高三数学(理科)
本试卷共 6 页,满分为 150 分,考试时间为 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作 答无效,考试结束后上交答题卡.

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项. 1.已知集合 M ? x ? R x ? 2 x ? 3 ? 0? , N ? x ? R x ? 1 ? 0? ,那么 M ? N ? (
2

?

?



A. { ? 1,, 0 1} C. {x ?1 ? x ? 1} 2.复数

B. { ? 3 , ? 2, ? 1} D.{x ?3 ? x ? ?1}

i ?( 1? i 1 i A. ? 2 2

) B.

1 i ? 2 2

C. ?

1 i ? 2 2

D. ?

1 i ? 2 2


3.已知向量 a ? ( x , 1) , b ? (4 , x) ,则“ x ? 2 ”是“ a ∥ b ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a7 ? ?4 ,那么数列 {a n } 通项公式为( 4.已知数列 {a n } 为等差数列, a4 ? 2 ,
A. an ? ?2n ? 10 C. an ? ? B. an ? ?2n ? 5 D. an ? ?



1 n ? 10 2
) B. 126 D. 128

1 n?5 2
开始 输入 x

5.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 2 , 则输出的 x 的值为( A. 3 C. 127

x ? 2x ? 1


x ? 126
是 输出 x 结束

6. 在边长为 1的正方形 OABC 中任取一点 P ,则点 P 恰好落在正方形与曲线 y ? 内(阴影部分)的概率为( )

x 围成的区域

y
C

1 A. 2 3 C. 4

2 B. 3 4 D. 5

y?

x

B

O

A

x


7.用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( A. 324 B. 328 C. 360 D. 648

8.已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 1 ?

1 ,当 x ?[0 , 1] 时, f ( x) ? x ,若在区间 (?1, 1] 上方程 f ( x ? 1)


f ( x) ? mx ? m ? 0 有两个不同的实根,则实数 m 的取值范围是(
A. [0 , )

1 2

B. [ , ? ?)

1 2

C. [0 , ) 共 110 分)

1 3

D. (0 , ]

1 2

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 已知圆 C 的参数方程为 ?

? x=1 ? 2 cos ? , 则圆 C 的直角坐标方程为_______________, (? 为参数 ) , ? y ? 2sin ? ,

圆心 C 到直线 l : x ? y ? 1 ? 0 的距离为______. 10.在 ?ABC 中,角 A , B, C 的对边分别为 a ,, b c ,若 a =6 , c ? 4 , cos B =

1 ,则 b ? ______. 3

? x ? 1, ? 11. 若 x , y 满足约束条件 ? y ? 0 , 则 z ? x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 2 ? 0 , ?
12.如图,已知在 ?ABC 中, ?B ? 90o , O 是 AB 上一点, 以 O 为圆心, OB 为半径的圆与 AB 交于点 E ,与 AC 切 于点 D , AD ? 2 , AE ? 1 ,则 AB 的长为 ,



C
D A


CD 的长为
2



E

O

B

13. 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F , 准线为直线 l , 过抛物线上一点 P 作 PE ? l 于 E , 若直线 EF 的倾斜角为 150 ,则 | PF |? ______.
o

14. 已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,且 A1 A ? 平面 ABCD , P 为 A1 A 上动点,过 BD 且垂直于 PC 的平面交 PC 于 E ,那么异面直 线 PC 与 BD 所成的角的度数为 ,当三棱锥 E ? BCD 的体 .

A1

P

积取得最大值时, 四棱锥 P ? ABCD 的高 PA 的长为

E A
C

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 1 ( x ? R ) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 ? ?

D

B

? ? ?? , 上的最小值,并写出 f ( x) 取最小值时相应的 x 值. ? 4 4? ?

16.(本小题满分 13 分) 北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”,测试总成绩满分为 100 分,规定 测试成绩在 [85 , 100] 之间为体质优秀;在 [75 , 85) 之间为体质良好;在 [60 , 75) 之间为体质合格; 在 [0 , 60) 之间为体质不合格. 现从某校高三年级的 300 名学生中随机抽取 30 名学生体质健康测试成绩,其茎叶图如下: 9 8 7 6 5 1 0 0 4 6 3 1 5 5 5 1 6 8 6 2 6 2 7 3 9 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9

(Ⅰ)试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数; (Ⅱ)根据以上 30 名学生体质健康测试成绩,现采用分层抽样的方法,从体质为优秀和良好的 学生中抽取 5 名学生,再从这 5 名学生中选出 3 人. (ⅰ)求在选出的 3 名学生中至少有 1 名体质为优秀的概率; (ⅱ)记 X 为在选出的 3 名学生中体质为良好的人数,求 X 的分布列及数学期望.

17.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形,

?ABC ? 90o , AD ∥ BC ,且 PA ? AD ? 2 , AB ? BC ? 1 , E 为 PD 的中点.
(Ⅰ)求证: CD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值; (Ⅲ)在线段 AB 上是否存在一点 F (不与 A , B 两点重合),使得 AE ∥平面 PCF ?若存在, 求出 AF 的长;若不存在,请说明理由.

P

E
A B
18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ( e 为自然对数的底数).
x

D
C

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 f ( x) 在点 (0 , f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; ( Ⅲ ) 已 知 函 数 f ( x) 在 x ? 0 处 取 得 极 小 值 , 不 等 式 f ( x) ? mx 的 解 集 为 P , 若

M ?{ x |

1 ,且 M ? P ? ? ,求实数 m 的取值范围. ? x ? 2} 2

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y2 0) ,且椭圆 C 的离心率为 . ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 (2 , 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若动点 P 在直线 x ? ?1 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M , N 两点,且 MP ? PN ,再过 P 作直线 l ? MN .证明:直线 l 恒过定点,并求出该定点的坐标.

????

??? ?

20.(本小题满分 13 分)

2 ,, 3 ?, n) . 已知集合 A ? {?1, 0, 1} ,对于数列 {an } 中 ai ? A (i ? 1,

(Ⅰ)若 50 项数列 {an } 满足
n

? ai ? ?9 , ? (ai ? 1)2 ? 107 ,则数列 {an } 中有多少项取值为
i ?1
i ?1

50

50

零?(

?a
i ?1

i

? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? N? )

(Ⅱ)若各项非零数列 {an } 和新数列 {bn } 满足 bi ? bi ?1 ? ai ?1 ( i ? 2 ,, 3 ?, n ). (ⅰ)若首项 b1 ? 0 ,末项 bn ? n ? 1 ,求证数列 {bn } 是等差数列; (ⅱ)若首项 b1 ? 0 ,末项 bn ? 0 ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求 S n 的最大值和最小值.

石景山区 2013—2014 学年第一学期期末考试

高三数学(理科)参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 A 5 C 6 B 7 B 8 D

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

的 一 第

题号 答案

9

10
6

11

12

13

14

( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 , 2

4

4 ,3

4 3

90? , 2

( 两 空 题目第 空 2 分, 二空 3 分)

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? 3 sin 2x ? cos 2x+1 ????2 分 ?????4 分

? 2sin (2x ? ) +1 , 6 2k? ? k? ?

?

?

?

2

? 2x ?

?

6

? 2k ? ?

?
2

, k ?Z , ?????6 分

3

? x ? k? ?

?
6

, k ?Z ,

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [k? ? (Ⅱ)因为 ?

?

?
4

?x?

?
4

, k? ? ] ( k ? Z ) . 3 6

?

?????7 分



?
?

?
3

? 2x ?

?
6

?

2? , 3

?????9 分

3 ? ? sin(2x ? ) ? 1 , 2 6

? 3 ? 1 ? 2sin (2x ? ) +1 ? 3 , 6
所以当 2x ?

?

?????11 分

?
6

=?

?
3

,即 x = ?

?
4

时,函数 f ( x) 取得最小值 ? 3 ? 1. ?????13 分

16.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)根据抽样,估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有

10 ? 300=100 人. 30
?????3 分

(Ⅱ)依题意,体质为良好和优秀的学生人数之比为 15:10 ? 3: 2 . 所以,从体质为良好的学生中抽取的人数为 ? 5 ? 3 ,从体质为优秀的学生中抽取的人数为

3 5

2 ?5 ? 2. 5
则 P ( A) ? 1 ?

?????6 分

(ⅰ)设“在选出的 3 名学生中至少有 1 名体质为优秀”为事件 A ,

C3 9 3 ? . 3 C5 10

故在选出的 3 名学生中至少有 1 名体质为优秀的概率为 (ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 1, 2, 3.

9 . 10

????9 分

P ( X ? 1) ?

2 C1 3 3 ? C2 ? , 3 C5 10

2 C3 ? C1 6 2 P ( X ? 2) ? ? , 3 C5 10

P ( X ? 3) ?

C3 1 3 ? . 3 C5 10

?????12 分

所以,随机变量 X 的分布列为:

X

1
3 10

2
6 10

3
1 10

P

EX ? 1?

3 6 1 9 ? 2 ? ? 3? ? . 10 10 10 5

?????13 分

17.(本小题共 14 分) (Ⅰ)证明: 因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? CD . ?????1 分

P E

A
B
o

G

D

取 AD 的中点 G ,连结 GC ,

C

因为底面 ABCD 为直角梯形, AD ∥ BC , ?ABC ? 90 ,且 AB ? BC ? 1 , 所以四边形 ABCG 为正方形, 所以 CG ? AD ,且 CG =
o

1 AD , 2
?????3 分

所以 ?ACD=90 ,即 AC ? CD . 又 PA ? AC ? A , 所以 CD ? 平面 PAC .

?????4 分

(Ⅱ)解:如图,以 A 为坐标原点, AB , AD , AP 所在直线分别为 x , y, z 轴建立空间直角坐标系

A ? xyz .

?????5 分

则 A(0 , 0, 0) , C (1,, 1 0) , E (0 ,, 1 1) , P(0 , 0, 2) ,

0, 2) , AC ? (1,, 1 1) . 所以 AP ? (0 , 1 0) , AE ? (0 ,,
因为 PA ? 平面 ABCD ,

??? ?

????

??? ?

0, 2) 为平面 ACD 的一个法向量. 所以 AP ? (0 ,

??? ?

z

P

?????6 分

y, z) , 设平面 EAC 的法向量为 n1 ? ( x ,
由 n1 ? AC ? 0 , n1 ? AE ? 0 得 ? 令 x ? 1 ,则 y ? ?1 , z ? 1,

??

E A B
C
?????8 分

?? ????

?? ??? ?

?x ? y ? 0 , ?y ? z ? 0,

D

y

? 1, 1) 是平面 EAC 的一个法向量. 所以 n1 ? (1 ,
AP ?? 所以 cos ? n1 , ?? ??? ? 1? 0 ? (?1) ? 0 ? 1? 2 12 ? (?1) 2 ? 12 ? 2 ? 3 3

??

x

因为二面角 E ? AC ? D 为锐角, 所以二面角 E ? AC ? D 的余弦值为

3 . 3

?????9 分

(Ⅲ)解:假设在线段 AB 上存在点 F (不与 A , B 两点重合),使得 AE ∥平面 PCF .

? 1, 0) , CP ? (?1, ? 1, 2) . 设 F (a , 0, 0) ,则 CF ? (a ? 1,

??? ?

??? ?

y, z) , 设平面 PCF 的法向量为 n2 ? ( x ,
由 n2 ? CF ? 0 , n2 ? CP ? 0 得 ? 令 x ? 1 ,则 y ? a ? 1 , z ?

?? ?

z

P
E

?? ? ??? ?

?? ? ??? ?

?(a ? 1) x ? y ? 0 , ?? x ? y ? 2 z ? 0 ,

?? ? a 所以 n2 ? (1, a ? 1, ) 是平面 PCF 的一个法向量. 2
因为 AE ∥平面 PCF , 所以 AE ? n2 ? 0 ,即 (a ? 1) ? 解得 a ?

a , 2

A F

D
C

y

x

B

?????12 分

??? ? ?? ?

a ? 0, 2

?????13 分

2 , 3

所 以 在 线 段 AB 上 存 在 一 点 F ( 不 与 A , B 两 点 重 合 ) , 使 得 AE ∥ 平 面 PCF , 且

2 AF = . 3
18.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? e ? 2 x , f (0) ? 1 ,
x

?????14 分

f ?( x) ? e x ? 2 ,得 f ?(0) ? ?1 ,
所以曲线 f ( x) 在点 (0 , f (0)) 处的切线方程为 y ? ? x ? 1 . (Ⅱ) f ?( x) ? e ? a .
x

?????2 分 ?????3 分

当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 恒成立,此时 f ( x) 的单调递增区间为 (?? , ? ?) ,无单调递减区 间; ?????5 分

当 a ? 0 时, x ? (?? , ln a) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (ln a , ? ?) 时, f ?( x) ? 0 , 此时 f ( x) 的单调递增区间为 (ln a , ? ?) ,单调递减区间为 (?? , ln a) . ?????7 分 (Ⅲ)由题意知 f ?(0) ? 0 得 a ? 1 ,经检验此时 f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值. ?????8 分 因 为 M ? P ? ? , 所 以 f ( x) ? mx 在 [ , 2] 上 有 解 , 即 ?x ? [ , 2 ]使 f ( x) ? mx 成 立, 即 ?x ? [ , 2] 使 m ? ?????9 分

1 2

1 2

1 2

ex ? x 成立, x

????10 分

所以 m ? (

ex ? x ) min . x

令 g ( x) ?

ex ( x ? 1)e x , ? 1 , g ?( x) ? x x2
1 2

所以 g ( x) 在 [ , 2] 上单调递增, 1] 上单调递减,在 [1, 则 g ( x) min ? g (1) ? e ? 1 , 所以 m ? (e ?1,+? ) . 19.(本小题共 14 分) ?????12 分 ?????13 分

解:(Ⅰ)因为点 (2 , 0) 在椭圆 C 上, 所以

4 0 ? ? 1, a 2 b2
2

所以 a ? 4 , 因为椭圆 C 的离心率为

?????1 分

1 , 2
, ?????2 分

a 2 ? b2 1 c 1 所以 ? ,即 ? a2 4 a 2
解得 b ? 3 ,
2

?????4 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

?????5 分

y0 ) , y0 ? (? (Ⅱ)设 P(?1,

3 3 ,) , 2 2

y1 ) , ①当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? 1) , M ( x1 , N ( x2 , y2 ) ,
?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 , 由? ? y ? y0 ? k ( x ? 1) ,
得 (3 ? 4k ) x ? (8ky0 ? 8k ) x ? (4 y0 ? 8ky0 ? 4k ? 12) ? 0 , ?????7 分
2 2 2 2 2

所以 x1 +x2 ? ?

8ky0 ? 8k 2 , 3 ? 4k 2

?????8 分

因为 MP ? PN ,即 P 为 MN 中点, 所以

????

??? ?

8ky0 ? 8k 2 x1 ? x2 = ? 2. = ? 1 ,即 ? 3 ? 4k 2 2
3 ( y0 ? 0) , 4 y0
?????9 分

所以 kMN ?

因为直线 l ? MN , 所以 kl ? ?

4 y0 , 3 4 y0 ( x ? 1) , 3

所以直线 l 的方程为 y ? y0 ? ?

4 y0 1 (x ? ) , 3 4 1 显然直线 l 恒过定点 (? , 0) . 4
即y?? ②当直线 MN 的斜率不存在时,直线 MN 的方程为 x ? ?1 , 此时直线 l 为 x 轴,也过点 (? 综上所述直线 l 恒过定点 (? 20.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)设数列 {an } 中项为 1, ? 1, 0 分别有 x , y, z 项.

?????11 分

1 , 0) . 4

?????13 分 ?????14 分

1 , 0) . 4

? x ? y ? z ? 50 , ? 由题意知 ? x ? y ? ?9 , ? z ? 4 y ? 107 , ?
解得 z ? 11 . 所以数列 {an } 中有 11项取值为零. (Ⅱ) ?????3 分

1} 且 bi ? bi ?1 ? ai ?1 ,得到 bi ? a1 ? a2 ? ? ? ai ?1 (i ? 2 ,, 3 ?, n) , (ⅰ) ai ? {?1, 2, ?, n ? 1) ,则满足 bn ? n ? 1 . 若 ai ? 1(i ? 1,
此时 bi ? bi ?1 ? 1 ,数列 {bn } 是等差数列;

p ? N* ) 个 ?1 ,则 bn ? n ? 1 ? 2 p ? n ? 1 不满足题意; a2 , ?, an?1 中有 p( p ? 0 , 若 a1 ,
所以数列 {bn } 是等差数列. (ⅱ)因为数列 {bn } 满足 bi ? bi ?1 ? ai ?1 , ?????7 分

3 ?, n) , 所以 bi ? a1 ? a2 ? ? ? ai ?1 (i ? 2 ,,
根据题意有末项 bn ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? 0 .

1} ,于是 n 为正奇数,且 a1 , a2 , ?, an?1 中有 而 ai ? {?1,

n ?1 n ?1 个1 和 个 ?1 . 2 2

Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? a1 ? (a1 ? a2 ) ? ? ? (a1 ? a2 ? ? ? an?1 ) ? (n ? 1)a1 ? (n ? 2)a2 ? ? ? an?1

a2 , ?, an?1 前 要求 S n 的最大值,则只需 a1 ,
所以 ( Sn ) max ? (n ? 2) ? (n ? 4) ? ? ? 1 ?

n ?1 n ?1 项取 1 ,后 项取 ?1 , 2 2

(n ? 1) 2 ( n 为正奇数). 4

a2 , ?, an?1 前 要求 S n 的最小值,则只需 a1 ,
则 ( Sn ) min ? ?(n ? 2) ? (n ? 4) ? ? ? 1 ? ?

n ?1 n ?1 项取 ?1 ,后 项取1 , 2 2

(n ? 1) 2 ( n 为正奇数). ????13 分 4

【注:若有其它解法,请酌情给分.】


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