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高中数学一轮复习微专题第14季空间几何体:第7节 多面体与球有关的切、接问题


第 7 节 几何体的展开、折叠、切、截问题 【基础知识】 解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的关系和 数量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以 及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的. 【规律技巧】 有关折叠问题, 一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元 素间的位置和

数量关系,哪些变,哪些不变. 研究几何体表面上两点的最短距离问题, 常选择恰当的母线或棱展开, 转化为平面上两 点间的最短距离问题.
om

【典例讲解】 例 1、如图所示,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= 2,BD⊥CD,将其 沿对角线 BD 折成四面体 ABCD,使平面 ABD⊥平面 BCD,若四面体 ABCD 的顶点在同一 个球面上,则该球的体积为( )

A.

3 π 2

B.3π

C.

2 π 3

D.2π

4 3 3 所以该球的体积 V= π? ?3= π.故选 A. 3 ?2? 2 【答案】A 9π 【变式探究】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为 ,则正方体的 2 棱长为________. 【针对训练】 1、已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形 ABCD 周长最小时,沿对角线 AC 把△ACD 折起, 则三棱锥外接球表面积等于( A.8π 【答案】B B.16π ) C.48 2π D.50π

2、已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧

视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面 积是______________.

【答案】 12?

【解析】由三视图知,棱长为 2 的正方体内接于球,故正方体的体对角线长为 2 3,即为球 的直径. 所以球的表面积为 S=4π·? 2 3?2 =12π. ? 2 ?

3、如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点.设三棱锥 F -ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2=________.

【答案】1∶24 1 1 × AD· AE· sin∠EAD· AF V1 3 2 1AD AE AF 1 1 1 1 1 【解析】 = = · · = × × × = . V2 1 3 AB AC AA1 3 2 2 2 24 AC· AB· sin∠CAB· AA1 2 4、已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是 个三棱柱的体积是________. 【答案】48 3 32π ,则这 3

5、如图所示,在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中,AC 与 BD 相交于 O,剪去△

AOB,将剩余部分沿 OC,OD 折叠,使 OA,OB 重合,则以 A,B,C,D,O

为顶点的四面体的体积为________.

【答案】

8 2 3

6、一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示,将石材切削、打磨、加工成球,则能得到 的最大球的半径等于( A.1 ) B.2 C.3 D.4

【答案】B 7、在棱长为的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 M 和 N 分别是矩形 ABCD 和 BB1C1C 的 中心,则过点 A 、 M 、 N 的平面截正方体的截面面积为 【答案】 .

3 2

【解析】过点 A 、 M 、 N 的平面截面的等边 ?ACB1 ,其边长为 2 ,面积为

3 3 . ? ( 2) 2 ? 4 2
8、正四面体 ABCD 的棱长为 4,E 为棱 BC 的中点,过 E 作其外接球的截面,则截面面积 的最小值为 【答案】 4? .

A D

O

C E B

8、把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成三棱锥 C-ABD,它的主视图与俯 视图如右上图所示,则二面角 C-AB-D 的正切值为 .

1

1

正视图 主视图

1

1

俯视图 俯视图 【答案】 2

9、如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90° ,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 DABC,如图 2 所示.

(Ⅰ) 求证:BC⊥平面 ACD; (Ⅱ)求几何体 DABC 的体积. 【练习巩固】 1. (2014· 湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图 12 所示,将该石材切削、打磨, 加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )

图 12 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 2. (2014· 全国卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则 该球的表面积为( )

81π 27π A. B.16π C.9π D. 4 4

【答案】A 3. (2014· 陕西卷)已知底面边长为 1,侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上, 则该球的体积为( )

32π 4π A. B.4π C.2π D. 3 3 【答案】D 4.正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6,内有一个球与四个面都相切,求棱锥的表面积 和球的半径.

5.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90° ,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D-ABC,如图 2 所示.

(1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)求几何体 D-ABC 的体积. 6.如图,△ABC 中,∠ACB=90° ,∠ABC=30° ,BC= 3,在三角形内挖去一个半圆(圆心 O 在边 BC 上,半圆与 AC、AB 分别相切于点 C、M,与 BC 交于点 N),将△ABC 绕直线 BC 旋转一周得到一个旋转体.

(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积. 【解析】(1)连接 OM,则 OM⊥AB,

设 OM=r,OB= 3-r, 在△BMO 中,sin∠ABC= 4 ∴S=4πr2= π. 3 r 1 3 = ?r= . 3 3-r 2


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