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2015年广东高考(文科)数学试卷及答案-解析版【1】



2015 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是 符合题目要求的。 1.若集合 M ? {?1,1} , N ? {?2,1,0} ,则 M ? N ?

A. {0, ?1}
【答案】B 【解析】 M ? N ? {1}

B. {1}

C. {0}

D. {?1,1}

2.已知 i 是虚数单位,则复数 (1 ? i)2 ?

A. 2i
【答案】A

B.

? 2i

C. 2

D.

?2

【解析】 ?1 ? i ?2 ? 1 ? 2i ? ?i ?2 ? 2i 3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是

A. y ? x ? sin 2x
【答案】D

B. y ? x2 ? cos x

C. y ? 2x ?

1 2x

D. y ? x2 ? sin x

【解析】A 为奇函数,B 和 C 为偶函数,D 为非奇非偶函数

?x ? 2 y ? 2 ? 4. 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ?x ? 4 ?
A. 2
【答案】B 【解析】由题意可做出如图所示阴影部分可行域,则目标函数

B. 5

C. 8

D. 10

z ? 2 x ? 3 y 过点(4,-1)时 z 取得最大值为

zmax ? 2 ? 4 ? 3 ? (?1) ? 5

1

5. 设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=2,c=2 3,cos A ?

3 且 b ? c ,则 b ? 2

A. 3
【答案】C

B. 2 2

C. 2

D.

3

【 解 析 】 由 余 弦 定 理 得 , cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? 12 ? 4 3 , 化 简 得 b2 ? 6b ? 8 ? 0 , 解 得 ? ? 2bc 2 4 3b

b ? 2或4 ,因为 b ? c , 所以,b ? 2
6. 若直线 l1 与 l2 是异面直线, l1 在平面 ? 内, l2 在平面 ? 内, l 是平面 ? 与平面 ? 的交线,则下列命题正 确的是

A. l与l1 , l2都不相交

B. l与l1 , l2都相交
D. l至少与l1 , l2中的一条相交

C. l至多与l1 , l2中的一条相交
【答案】D

7. 已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品,现从这 5 件产品中任取 2 件,恰有一件次品的概率为

A. 0.4
【答案】B

B. 0.6

C. 0.8

D. 1

【解析】设 5 件产品中 2 件次品分别标记为 A,B,剩余的 3 件合格品分别设为 a,b,c. 则从 5 件产品中 任取 2 件,共有 10 种情况,分别为(A,a) 、(A,b)、 (A,c) 、 (B,a) 、 (B,b) 、 (B,c) 、 (a,b) 、 (a,c) 、 (b,c) 、 (A,B)其中,恰有一件次品的情况有 6 种,分别是(A,a) 、(A,b)、 (A,c) 、 (B,a) 、 (B,b) 、 (B,c) ,则其概率为 8. 已知椭圆

6 ? 0.6 10

x2 y2 ? ?( 1 m ? 0) ( 的左焦点为 F ,则 m= 1 -4,0) 25 m 2

A. 2
【答案】B

B. 3

C. 4

D. 9

【 解 析 】 因 为 椭 圆 的 左 焦 点 为 ( -4 , 0 ) ,则有 c ? 4 ,且椭圆的焦点在 x 轴上,所以有

m2 ? 25 ? c 2 ? 25 ? 16 ? 9 ,因为 m ? 0, 所以 m ? 3
9. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD 是平行四边形, AB = (1, - 2), AD = (2,1) 则 AD AC =

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

2

【答案】A 【解析】因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 AC ? AB ? AD ? (1,?2) ? (2,1) ? (3,?1) , 则 AD ? AC ? 2 ? 3 ? 1? (?1) ? 5 10. 若集合 E ? ?( p, q, r, s) | 0 ? p ? s ? 4,0 ? q ? s ? 4,0 ? r ? s ? 4且p, q, r, s ? N? ,

F ? ?(t, u, v, w) | 0 ? t ? u ? 4,0 ? v ? w ? 4, 且t, u, v, w ? N? ,用 card ( X ) 表示集合 X 中的元素个数,则
card ( E ) ? card ( F ) ?

A. 200
【答案】A

B. 150

C. 100

D. 50

【解析】当 s ? 4 时, p , q , r 都是取 0 , 1 , 2 , 3 中的一个,有 4 ? 4 ? 4 ? 64 种; 当 s ? 3 时, p , q , r 都是取 0 , 1 , 2 中的一个,有 3 ? 3 ? 3 ? 27 种; 当 s ? 2 时, p , q , r 都是取 0 , 1 中的一个,有 2 ? 2 ? 2 ? 8 种; 当 s ? 1 时, p , q , r 都取 0 ,有 1 种,所以 card ? ?? ? 64 ? 27 ? 8 ?1 ? 100 . 当 t ? 0 时, u 取 1 , 2 , 3 , 4 中的一个,有 4 种; 当 t ? 1 时, u 取 2 , 3 , 4 中的一个,有 3 种; 当 t ? 2 时, u 取 3 , 4 中的一个,有 2 种; 当 t ? 3 时, u 取 4 ,有 1 种,所以 t 、 u 的取值有 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 种 同理, v 、 w 的取值也有 10 种,所以 card ? F? ? 10 ?10 ? 100 所以 card ? ?? ? card ? F? ? 100 ?100 ? 200 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11-13 题) 11. 不等式 ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 的解集为 【答案】 (-4,1) 【解析】解不等式 ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 得 ? 4 ? x ? 1 ,所以不等式的解集为(-4,1) 12. 已知样本数据 x1 , x2 , 【答案】10 .(用区间表示)

, xn 的均值 x ? 5 ,则样本 2 x1 ? 1,2 x2 ? 1,

,2 xn ? 1 的均值为

.

3

【解析】由题意知,当样本数据 x1 , x2 ,??? , xn 的均值 x ? 5 时,样本数据 2 x1 ? 1 ,2 x2 ? 1 ,??? ,2 xn ? 1 的均值为 2 x ? 1 ? 2 ? 5 ? 1 ? 11 13. 若三个正数 a,b,c 成等比例,其中 a ? 5 ? 2 6, c ? 5 ? 2 6 ,则 b ? 【答案】1 【解析】由等比中项性质可得, b2 ? ac ? (5 ? 2 6 )(5 ? 2 6 ) ? 52 ? (2 6 ) 2 ? 1 ,由于 b 为正数, 所以 b=1 (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极
2 ? ?x ? t 坐标系,曲线 C1 的极坐标方程 ? (cos? ? sin ? ) ? ?2 ,曲线 C2 的参数方程为 ? ( t 为参数). 则 C1 ? ? y ? 2 2t

.

与 C2 交点的直角坐标为 【答案】 (2,-4)



【解析】曲线 C1 的直角坐标系方程为 x ? y ? ?2 ,曲线 C2 的直角坐标方程为 y 2 ? 8x . 联立方程 ?

? x ? y ? ?2 ? x?2 ,解得 ? ,所以 C1 与 C2 交点的直角坐标为(2,-4) 2 ? y ? 8x ? y ? ?4

15. (几何证明选讲选做题)如图 1, AB 为圆 O 的直径, E 为 AB 延长线上一点,过点 E 作圆 O 的切线,切 点为 C 过点 A 作直线 EC 的垂线,垂足为 D ,若 AB ? 4, CE ? 2 3 ,则 AD = 【答案】3 【解析】由切割线定理得: CE 2 =BE AE ,所以, BE(BE+4)=12 解得: BE=2或BE=-6(舍去) .

?OC//AD 连结 OC,则 OC⊥DE , AD⊥DE ,

?

OC OE OC AE 2 ? 6 = ,? AD ? ? ?3 AD AE OE 4
图1

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 已知 tan a = 2 .

4

(1)求 tan(a + ) 的值; (2)求 【解析】 (1)

p 4

sin 2a 的值. sin a +sin a cos a - cos2a - 1
2

4 tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? tan ? 4 tan ? ? 1 ? 1 ? tan ?
∵ tan ? ? 2 ∴ tan(? ? (2)

?

tan ? ? tan

?

?
4

)?

2 ?1 ? ?3 1? 2 1

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? sin ? cos ? ? (cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos 2 ? ? sin 2 ?
∵ sin 2? ? 2sin ? cos ?

原式 ?


2sin ? cos ? sin ? cos ? -2cos 2 ? ? sin 2 ? 2 tan ? = tan ? ? 2 ? tan 2 ? 2? 2 ? ?1 2 ? 2 ? 22

17.(本小题满分 12 分) 某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度) ,以 [160,180) , [180,200) , [ 200,220) , [ 220,240) ,

[ 240,260) , [ 260,280) , [ 280,300] 分组的频率分布直方图如图 2,
(1)求直方图中 x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为 [ 220,240) , [ 240,260) , [ 260,280) , [ 280,300] 的四组用户中,用分层抽样 的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在 [ 220,240) 的用户中应抽取多少户?

5

【解析】 (1) (0.002+0.0025+0.005+ x +0.0095+0.011+0.0125) ? 20=1 ∴ x ? 0.0075 (2)众数:230 中位数:取频率直方图的面积平分线

0.002 ? 0.0095 ? 0.011 ? 0.0225 1 1 ? ? 0.025 20 2 ? 0.025 ? 0.0225 ? 0.0025 0.0025 ? 20 ? 220 ? 224 0.0125
(3) [220,240) : 0.0125 ? 20 ?100 ? 25

[240, 260) : 0.0075 ? 20 ?100 ? 15 [260, 280) : 0.005 ? 20 ?100 ? 10 [280,300) : 0.0025 ? 20 ?100 ? 5
共计:55 户 ∴ [220, 240) 抽取: 18.(本小题满分 14 分) 如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3. (1)证明:BC∥平面 PDA;

25 ?11 ? 5 户 55

6

(2)证明:BC⊥PD; (3)求点 C 到平面 PDA 的距离. 【解析】 (1)∵ 四边形 ABCD 为长方形 ∴ BC AD ∵ BC ? 平面PDA,AD ? 平面PDA ∴ BC 平面PDA (2)取 DC 中点 E,连接 PE ∵PC=PD ∴ PE⊥CD ∵ 面 PCD⊥面 ABCD,面 PCD ? 面 ABCD=CD PE ? 面 PCD,PE⊥CD ∴ PE⊥面 ABCD 而 BC ? 面 ABCD ∴ BC⊥PE ∵ BC⊥CD,CD ? PE=E ∴ BC⊥面 PCD PD ? 面 PCD ∴ BC⊥PD (3)由(2)得:PE 为面 ABCD 的垂线 ∴ VP-ADC ? ? PE ? SΔACD 在等腰三角形 PCD 中, PE= 7 , S?ACD ? ∴ VP-ADC ? ? 7 ? 9 ? 3 7 设点 C 到平面 PDA 距离为 h

1 3

1 1 ? AD ? DC ? ? 3 ? 6 ? 9 2 2

1 3

1 3 1 1 而 S?PDA ? ? AD ? PD ? ? 3 ? 4 ? 6 2 2 1 ∴ 3 7 ? ? 6? h 3
∴ VC-PDA ? ? S?PDA ? h

7

∴h ?

3 7 3 7 ,即:点 C 到平面 PDA 的距离为 2 2

19.(本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , n ? N* ,已知 a1 = 1, a2 = , a3 = , 且当 n ? 2 时, 4Sn+2 + 5Sn = 8Sn+1 + Sn- 1 . (1)求 a4 的值;

3 2

5 4

禳 1 镲 an +1 - an 为等比数列; (2)证明: 睚 镲 2 铪
(3)求数列 {an } 的通项公式. 【解析】 (1)令 n=2,则:

4 S 4 ? 8S3 ? S1 ? 5S 2 S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 1 ? S1 ? a1 ? 1 S 2 ? a1 ? a2 ? 1 ? ? 4S4 ? 8 ? 4S4 ? 3 5 ? 2 2 3 5 15 ? ? 2 4 4

15 5 ?1? 5? 4 2

37 2 37 S4 ? 8 37 37 15 7 ? a4 ? ? S3 ? ? ? 8 8 4 8
(2)

?4S n ? 2 ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1 ? ?4S n ?1 ? 5S n ?1 ? 8S n ? S n ? 2 ? 4an ? 2 ? 5an ? 8an ?1 ? an ?1 ? 4an ? 2 ? 4an ?1 ? an ? 4an ?1 ? 4an ? an ?1 ?{4an ? 2 ? 4an ?1 ? an }为常数列 5 3 4a3 ? 4a2 ? a1 =4 ? -4 ? +1=0 4 2 ? 4an ? 2 ? 4an ?1 ? an =0 ? 4an ? 2 ? 2an ?1 =2an ?1 -an ? 4an ? 2 ? 2an ?1 =1 2an ?1 -an

8

1 ( 4 an ? 2 - an ?1) 2 ? =1 1 ( 2 an ?1 - an) 2 1 an ? 2 - an ?1 1 2 ? = 1 2 an ?1 - an 2 1 ?{an ?1 - an }为等比数列 2 1 1 1 3 (3)由(2)得: {an?1 - an } 是首相为: a2 - a1 = ,公比为 的等边数列 2 2 2 2

an ?1 a ? n ?4 1 n ?1 1 n ( ) ( ) 2 2 an a ?{ }为首相 1 ? 2, 公差为4的等差数列 1 1 ( )n 2 2 an ? =2+4 (n+1)=4n-2 1 n ( ) 2 1 2n ? 1 ? an ? (4n-2) ( ) n ? n 2 2 ?1 ?
20. (本小题满分 14 分) 已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x2 + y 2 - 6 x + 5 = 0 相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k ,使得直线 L : y = k ( x - 4) 与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围; 若不存在,说明理由. 【解析】 (1)

x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0, 配方得:
2 (x ? 3) ? y2 ? 4

?圆心坐标为(3,0)
(2)由题意得:直线 l 的斜率一定存在,设直线 l 的斜率为 k ,则 l : y ? kx 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x, y)

9

x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 ?? ? y ? y1 ? y2 ? 2 ? ? y ? kx ? 2 2 ?x ? y ? 6x ? 5 ? 0 ? x2 ? k 2 x2 ? 6x ? 5 ? 0 ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 6 x ? 5 ? 0 ?6 6 ? x1 ? x2 ? ? ? 2 1? k 1? k2 6k ? y1 ? y2 ? 1? k2 3 ? x? ? ? 1? k2 ?? ? y ? 3k ? 1? k2 ? 3 ?x ? y 1 ? ( )2 x 2 ? x ? 3x ? y 2 ? 0 (1 ? k 2 ) x 2 ? 6 x ? 5 ? 0有解 ?? ? 0,即,36 ? 4 (1 ? k 2 ) 5 ? 0 9 ?1 ? 1 ? k 2 ? 5 3 5 ?x ? ? ( ,3] 2 1? k 3 ? 轨迹方程:x 2 ? 3 x ? y 2 ? 0 5 x ? ( ,3] 3

(3)曲线 C: x2 ? 3x ? y 2 ? 0

5 x ? ( ,3] 3

3 3 ( x ? )2 ? y 2 ? ( )2 2 2 k的两个极限值: 2 5 ?0 2 5 k1 ? 3 ?? 5 7 ?4 3 2 5 ? ?0 2 5 3 k2 ? ? 5 7 ?4 3

10

3 | k ? 0 ? 4k | 3 2 相切时: = 2 1? k2 3 ?k ? ? 4 2 5 2 5 3 3 ? k ? [? , ] ? {? , } 7 7 4 4
21.(本小题满分 14 分) 设 a 为实数,函数 f ( x) = ( x - a)2 + x - a - a(a - 1) . (1)若 f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; (2)讨论 f ( x) 的单调性; (3)当 a ? 2 时,讨论 f ( x) + 【解析】 (1)

4 在区间 ( 0, + x

) 内的零点个数.

f (0) ? a 2 ? | a | ?a(a ? 1) ? a 2 ? | a | ?a 2 ? a ?| a | ? a
若a ? 0,即: 2a ? 1, a ? ?0 ? a ? 1 2

1 2 若a ? 0,即:-a ? a ? 1, a ? R ?a ? 0 综上所述:a ?
(2)
2 ? ?( x ? a) ? ( x ? a) ? a(a ? 1) ( x ? a) f ( x) ? ? 2 ? ?( x ? a) ? ( x ? a) ? a(a ? 1) ( x ? a)

1 2

2 ? ? x ? (1 ? 2a ) x ( x ? a ) f ( x) ? ? 2 ? ? x ? (1 ? 2a ) x ? 2a ( x ? a )

对称轴分别为: x ?

1 ? 2a 1 ?a? ?a 2 2

∴ 在区间(??, a)上单调递减 , 在区间(a, ??)上单调递增 (3)由(2)得 f ( x) 在 (a, ??) 上单调递增,在 (0, a ) 上单调递减,所以 f ( x)min ? f (a) ? a ? a 2 .

11

①当 a ? 2 时, f ( x) min ? f (2) ? -2 , f ( x) ? ? 当 f ( x) ?

? x 2 ? 3x,x ? 2
2 ? x ? 5 x ? 4,x ? 2

4 4 ? 0 时,即 f ( x) ? ? ( x ? 0) . x x

因为 f ( x) 在 (0, 2) 上单调递减,所以 f ( x) ? f (2) ? ?2 令 g ( x) ? ?

4 ,则 g ( x) 为单调递增函数,所以在区间(0,2)上, g ( x) ? g (2) ? ?2 , x

所以函数 f ( x) 与 g ( x) 在(0,2)无交点. 当 x ? 2 时,令 f ( x) ? x ? 3 x ? ?
2

4 2 ,化简得 x3 ? 3x 2 ? 4 ? 0 ,即 ?x ? 2? ?x ? 1? ? 0 ,则解得 x ? 2 x

? 综上所述,当 a ? 2 时, f ( x)

4 在区间 ?0,??? 有一个零点 x=2. x

②当 a ? 2 时, f ( x)min ? f (a) ? a ? a 2 , 当 x ? (0, a) 时, f (0) ? 2a ? 4 , f (a) ? a ? a 2 ? 0 , 而 g ( x) ? ?

4 4 为单调递增函数,且当 x ? (0, a) 时, g ( x) ? ? ? 0 x x 4 的大小. a

故判断函数 f ( x)与g ( x) 是否有交点,需判断 f (a) ? a ? a 2 与 g ( a ) ? ? 因为 a ? a ? (? ) ?
2

2

4 a

? (a 3 ? a 2 ? 4) ? (a ? 2)(a 2 ? a ? 2) ? ?0 a a
4 ,即 f (a) ? g (a) a

所以 f ( a ) ? a ? a ? ?

所以,当 x ? (0, a) 时, f ( x)与g ( x) 有一个交点; 当 x ? (a,??) 时, f ( x) 与 g ( x) 均为单调递增函数,而 g ( x) ? ?

4 ? 0 恒成立 x

而令 x ? 2a 时, f (2a) ? a 2 ? a ? a(a ? 1) ? 2a ? 0 ,则此时,有 f (2a) ? g (2a) , 所以当 x ? (a,??) 时, f ( x)与g ( x) 有一个交点; 故当 a ? 2 时, y ? f ( x) 与 g ( x ) ? ? 综上,当 a ? 2 时, f ( x) ? 当 a ? 2 , f ( x) ?

4 有两个交点. x

4 有一个零点 x ? 2 ; x

4 有两个零点. x

12


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