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高一必修一基本初等函数知识点总结归纳


高一必修一函数知识点(12.1) 〖1.1〗指数函数
(1)根式的概念 ①
n

a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.
? 0.
n

②当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为偶数时, a ③根式的性质: ( n

a )n ? a ;当 n 为奇数时, n an ? a ;当 n 为偶数时,

(a ? 0) ?a a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)



(2)分数指数幂的概念
m

①正数的正分数指数幂的意义是: a n

? n am (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等于 0.
? m n

②正数的负分数指数幂的意义是: a 义.

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) . 0 a a

的负分数指数幂没有意

注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.

(3)分数指数幂的运算性质 ①a
r

? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R)

② (a

r s

) ? ars (a ? 0, r, s ? R)
指数函数

③ (ab)

r

? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R)

(4)指数函数 函数名称 定义 函数

y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数
0 ? a ?1
y ? ax

a ?1

y
图象

y ? ax

y

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况

1

x 0
R
(0,+∞) 图象过定点(0,1) ,即当 x=0 时,y=1. 非奇非偶

O

1
x 0

在 R 上是增函数

在 R 上是减函数

y>1(x>0), y=1(x=0), 0<y<1(x<0)
在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越大图象越低,越靠近 x 轴.

y>1(x<0), y=1(x=0), 0<y<1(x>0)
在第一象限内, a 越小图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越小图象越低,越靠近 x 轴.

a 变化对
图象的影 响 例:比较

1

12.1 高一函数知识点

〖1.2〗对数函数
(1)对数的定义 ①若 a
x

? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N

的对数,记作 x

? log a N ,其中 a 叫做底数, N

叫做真数.

②对数式与指数式的互化: x ? loga

N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

(2)常用对数与自然对数:常用对数: lg N ,即 log10 (3)几个重要的对数恒等式: (4)对数的运算性质 如果 a

N ;自然对数: ln N

,即 log e

. N (其中 e ? 2.71828 …)

loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , log a ab ? b .
? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么
②减法: log a

①加法: loga

M ? loga N ? loga (MN )

M ? log a N ? log a

M N

③数乘: ⑤ log ab (5)对数函数 函数名称 定义

n loga M ? loga M n (n ? R)
Mn ? n log a M (b ? 0, n ? R) b



a loga N ? N
N? logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

⑥换底公式: log a

对数函数 函数

y ? loga x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数
0 ? a ?1
y
x?1

a ?1
y
x?1

y ? log a x

y ? loga x

图象

O

1 (1, 0) 0

(1, 0)

x

O

1

0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

(0, ??)
R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

? 1 时, y ? 0 .

2

12.1 高一函数知识点

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)
在第一象限内, a 越小图象越靠低,越靠近 x 轴 在第四象限内, a 越小图象越靠高,越靠近 y 轴

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)
在第一象限内, a 越大图象越靠低,越靠近 x 轴 在第四象限内, a 越大图象越靠高,越靠近 y 轴

a 变化对
象的影响



(6) 反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 ③将 x

y ? f ( x) 中反解出 x ? f ?1 ( y) ;

? f ?1 ( y) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域.

(7)反函数的性质 ①原函数

y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称. y ? f ( x) 的图象上,则 P' (b, a) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上.

即,若 P ( a, b) 在原函数 ②函数

y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域、定义域.

函数基本性质——奇偶性知识点及经典例题
一、函数奇偶性的概念: ①设函数 y ? f ? x ? 的定义域为 D ,如果对 D 内的任意一个 x ,都有 ? x ? D , 且 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,则这个函数叫奇函数。
(如果已知函数是奇函数,当函数的定义域中有 0 时,我们可以得出 f ? 0 ? ? 0 )

②设函数 y ? g ? x ? 的定义域为 D ,如果对 D 内的任意一个 x ,都有 ? x ? D , 若 g ? ? x ? ? g ? x ? ,则这个函数叫偶函数。
从定义我们可以看出,讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断,看其定义域是否关 于原点对称。也就是说当 x 在其定义域内时, ?x 也应在其定义域内有意义。

③图像特征 如果一个函数是奇函数 ? 这个函数的图象关于坐标原点对称。 如果一个函数是偶函数 ? 这个函数的图象关于 y 轴对称。 ④复合函数的奇偶性:同偶异奇。
3 12.1 高一函数知识点

⑤对概念的理解: (1)必要条件:定义域关于原点成中心对称。 (2) f ( x) 与 f (? x) 的关系:
f (? x) ? 1 时为偶函数; f ( x) f (? x) ? ?1 时为奇函数。 当 f ( ? x) ? ? f ( x) 或 f ( ? x ) ? f ( x) ? 0 或 f ( x) 例题:

当 f ( ? x) ? f ( x) 或 f ( ? x) ? f ( x) ? 0 或

1.函数 f(x)=x(-1﹤x≦1)的奇偶性是 A.奇函数非偶函数 B.偶函数非奇函数





C.奇函数且偶函数 D.非奇非偶函数 2 2. 已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax3+bx2+cx 是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 3. 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数, 且 f(2)=0,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是 ( A.(-?,2) B. (2,+?) C. (-?,-2)?(2,+?) 答案:ADA 二、函数的奇偶性与图象间的关系: ①偶函数的图象关于 y 轴成轴对称,反之也成立; ②奇函数的图象关于原点成中心对称,反之也成立。 三、关于函数奇偶性的几个结论: ①若 f ( x) 是奇函数且在 x ? 0 处有意义,则 f (0) ? 0 ②偶函数 ? 偶函数=偶函数;奇函数 ? 奇函数=奇函数; 偶函数 ? 偶函数=偶函数;奇函数 ? 奇函数=偶函数; 偶函数 ? 奇函数=奇函数 ③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性, 偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. ) D. (-2,2)

4

12.1 高一函数知识点

第二章 基本初等函数
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 下列计算中正确的是 A. x ? x ? x C. lg(a+b)=lga· lgb
3 3 6

B. (3a 2 b 3 ) 2 ? 9a 4 b 9 D.lne=1
1 1

2. 已知 a ?

A. 3 B. 9 C. –3 D. ? 3 3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? ? x3 B. y ? log1 x
2

? 1 ? 7 ,则 a 2 ? a 2 ? a

C. y ? x

D. y ? ( )

1 x 2

5. 把函数 y=ax (0<a<1)的反函数的图象向右平移一个单位得到的函数图象大致是

(A)

(B)

(C) C. C. lg( a ? b) ? 0

(D) D. D. ? ? ? ? ?

A. B. 6. 若 a、b 是任意实数,且 a ? b ,则 A. a ? b
2 2

B. 2

a ?b

?0

?1? ? 2?

a

?1? ? 2?

b

1 ? , 3? ,则使函数 y ? x? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 值为 2 ? A. 1 , 3 B. ?1 , 1 C. ? 1 , 3 D. ?1 , 1 , 3 1 8.(全国Ⅰ) 设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga x 在区间 ? a, 2a? 上的最大值与最小值之差为 , 2 则a ? A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
7. (山东)设 ? ? ?? 1 , 1, 9. 已知 f(x)=|lgx|,则 f(
1 1 A. f(2)> f( )>f( ) 4 3 1 1 C. f(2)> f( )>f( ) 4 3 1 1 )、f( )、f(2) 大小关系为 4 3 1 1 B. f( )>f( )>f(2) 4 3 1 1 D. f( )>f( )>f(2) 4 3

? ?

10.(湖南) 函数 f ( x) ? ? A.4

?4 x ? 4,

x ≤1,
C.2

2 ? x ? 4 x ? 3,x ? 1

的图象和函数 g ( x) ? log2 x 的图象的交点个数是 D.1

B.3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上. 11.(上海) 函数 y ?

lg( 4 ? x ) 的定义域是 x?3

. .
5 12.1 高一函数知识点

12. 当 x ? [-1, 1]时,函数 f(x)=3x-2 的值域为

13. ( 全 国 Ⅰ) 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 与 函 数 y ? l o g x ? 3 x (

0的 ) 图象关于直线 y ? x 对称,则

f ( x) ?


2

14.(湖南) 若 a ? 0 , a 3 ? 15. ( 四川 )

4 ,则 log 2 a ? 9 3
2

.

若函数 f ( x) ? e?( x?? ) ( e 是自然对数的底数)的最大值是 m ,且 f ( x ) 是偶函数,则 m ? ? ? ________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (1)指数函数 y=f(x)的图象过点(2,4),求 f(4)的值; 2m+n (2)已知 loga2=m,loga3=n,求 a .

17. (本小题满分 12 分) 求下列各式的值

? 7? 5 (1) ?0.064? ? ? ? ? ? ?? 2? ? 8? 1 4 lg 32 ? lg 8 ? lg 5 (2) 2 3
? 1 3

0

?

?

?

2 5

?1? ?? ? ? 16 ?

0.75

18. (本小题满分 12 分) 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同, 假定保鲜时间与储藏温度之间的函数关 系是一种指数型函数 ,若牛奶放在 0?C 的冰箱中,保鲜时间是 200h, 而在 1?C 的温度下则是 160h. ..... (1) 写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式; (2) 利用(1)的结论,指出温度在 2?C 和 3?C 的保鲜时间.

19. (本小题满分 12 分) 某种放射性物质不断变化为其它物质,每经过一年,剩留的该物质是原来的 该放射性物质原有的质量为 a 克,经过 x 年后剩留的该物质的质量为 y 克. (1) 写出 y 随 x 变化的函数关系式; (2) 经过多少年后,该物质剩留的质量是原来的

4 ,若 5

64 ? 125

20. (本小题满分 13 分) 已知 f(x)=

a ? 2x ? a ? 2 (x ? R) ,若对 x ? R ,都有 f(-x)=-f(x)成立 2 x ?1 (1) 求实数 a 的值,并求 f (1) 的值;

(2)判断函数的单调性,并证明你的结论; (3) 解不等式 f (2 x ? 1) ?

1 . 3

6

12.1 高一函数知识点

第二章 基本初等函数参考答案
一、选择题 DAAA DADBB 二、填空题 11.

?x x ? 4 且 x ? 3 ??

14 . 3 15. m ? ? ? 1 . 三、解答题 2m+n 16. 解: (1)f(4)=16 …………6 分 (2)a =12 17. 解: (用计算器计算没有过程,只记 2 分) (1) 原式= 0.4 (2) 原式 ?
?1

5 12. [- ,1] 3

13. f ( x) ? 3x ( x ? R)

…………12 分

-1 ? ?? 2? + 2 =
?2
?3

15 . 8

…………6 分

1 4 3 1 1 1 ? 5 lg 2 ? ? lg 2 ? lg 5 ? (lg 2 ? lg 5) ? .…………12 分 2 3 2 2 2 2 4 x 18. (1)保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式 y ? 200 ( ) ………6 分 5
(2)温度在 2?C 和 3?C 的保鲜时间分别为 128 和 102.4 小时. ………11 分 答 略 ………………12 分 19. 解: (1) y ? ? ? ? a
x

? 4? ?5?

x

( x ? N *)

…………6 分 …………11 分 ………………12 分

64 ? 4? (2)依题意得 ? ? a ? a ,解 x=3. 125 ?5?
答略.

20. 解:(1) 由对 x ? R ,都有 f(-x)=-f(x)成立 得, a=1, f (1) ? (2) f(x)在定义域 R 上为增函数.

1 .……4 分 3

………………6 分

2 ?1 ( x ? R) 2x ? 1 任取 ? ? ? x1 ? x2 ? ?? ,
证明如下:由得 f ( x) ?
x

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2(2 x1 ? 2 x2 ) ? ∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x ………………8 分 ? 2 1 ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 x x ∵ ? ? ? x1 ? x2 ? ?? ,∴ 2 1 ? 2 2 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f(x)在定义域 R 上为增函数.(未用定义证明适当扣分) ………………10 分 (3) 由(1),(2)可知,不等式可化为 f (2 x ? 1) ? f (1) ? 2 x ? 1 ? 1 得原不等式的解为 x ? 1 (其它解法也可) ………………13 分

?

??

?

7

12.1 高一函数知识点


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