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高三数学总复习优秀ppt课件(第31讲)基本不等式(51页)


第31讲 基本不等式 主要内容 一、聚焦重点 基本不等式及其运用. 二、破解难点 利用基本不等式求函数的最值. 三、廓清疑点 如何灵活运用基本不等式. 聚焦重点: 基本不等式及其运用. 基础知识 基本不等式 a?b 若 a≥0,b≥0,则 ab ≤ (当且仅当 a=b 时取 “=” ) . 2 重要结论 a?b 2 ) (当且仅当a=b时取“=”). 若a∈R,

b∈R,则 ab ≤ ( 2 2 2 a ? b ≥ 2ab (当且仅当a=b时取“=”). 若a∈R, b∈R,则 b a 若ab>0,则 ? ≥ 2 (当且仅当a=b时取“=”). a b 问题研究 如何利用基本不等式证明不等式? 经典例题1 例 1 已知 a , b , c 都是正实数. (a ? b)(b ? c )(c ? a ) ≥ 8abc . 求证: 思路分析 例 1 已知 a , b , c 都是正实数, (a ? b)(b ? c )(c ? a ) ≥ 8abc . 求证: 思路1:由繁到简,从左向右! 2 2 2 2 2 2 a b ? a c ? b a ? b c ? c a ? c b ? 2abc 左式= 思路合理 陷入困境 柳暗花明 a 2b ? c 2b ≥ 2 a 2b ? c 2b ? 2abc 思路分析 例 1 已知 a , b , c 都是正实数, (a ? b)(b ? c )(c ? a ) ≥ 8abc . 求证: 思路2:从右式中数字“8”,猜想左式可能 应用三次基本不等式,再同向不等 式相乘证得结论. 合情推理 思维经济 求解过程 证明 (根据思路2) 因为 a,b,c 为正数,所以根据基本不等式,得 a ? b ≥ 2 ab ? 0; 缺乏依据 b ? c ≥ 2 bc ? 0; c ? a ≥ 2 ac ? 0. 步步有据 上述三式相乘,可得 (a ? b)(b ? c )(c ? a ) ≥ 8 ab ? bc ? ca ? 8abc. 当且仅当a=b=c时等号成立. 回顾反思 由繁到简(由左向右,由右向左) . 基本策略: 常用思路: 依据所要求证的不等式两端的结构 特点,抓住系数特征或字母特征, 寻找解题突破口. 经典例题2 例2 若 x , y , z ? R ,且 a ? 0, b ? 0, c ? 0, b?c 2 a?c 2 a?b 2 x ? y ? z ≥ 2( xy ? yz ? xz ) . 求证: a b c 思路分析 例2 若 x , y , z ? R ,且 a ? 0, b ? 0, c ? 0, b?c 2 a?c 2 a?b 2 x ? y ? z ≥ 2( xy ? yz ? xz ) . 求证: a b c 思路1:由左向右! 由b>0,c>0, b ? c ≥ 2 bc . 同样, c ? a ≥ 2 ac , a ? b ≥ 2 ab . 无路可走 思路分析 例2 若 x , y , z ? R ,且 a ? 0, b ? 0, c ? 0, b?c 2 a?c 2 a?b 2 x ? y ? z ≥ 2( xy ? yz ? xz ) . 求证: a b c 由右向左! 思路2: x? y 2 y?z 2 x?z 2 xy ≤ ( ) , yz ≤ ( ) , xz ≤ ( ) . 2 2 2 此路不通 思路分析 例2 若 x , y , z ? R ,且 a ? 0, b ? 0, c ? 0, b?c

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