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正余弦定理的应用(公开课)


课题:正、余弦定理的应用——解三角形
班级:高一(1)班 人数:50 人 教师: 日期:2013 年 5 月 7 日 课题说明 星期二 上午第 2 节

《解三角形》是中学数学教学中的重要组成部分,是高考的必考内容。从知识的网络结 构上看,它是三角公式及变换的延续和应用,也是正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等 的运用和拓展。 正余弦定理是反映三角形中边与角之间关系的两个重要定理, 其主要作用是 将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系,对它们进行灵活应用,就会感到另 一种新奇与愉悦,同时也给众多题目找到了“同一根源”。

教学目标
(一)知识目标 1.三角形的有关性质; 2.正、余弦定理综合运用. (二)能力目标 1.熟练掌握正、余弦定理应用; 2.进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质; 3.综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题. (三)德育目标 通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能,反映了 事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化. 教学重点 正、余弦定理的综合运用. 教学难点 1.正、余弦定理与三角形性质的结合; 2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系

教学过程: 一、知识梳理:
(一)三大定理 1、正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R (其中 R 为外接圆的半径) sin A sin B sin C 变形: a ? 2 R sin A (角化边) a (边化角) sin A ? 2R a : b : c ? sin A : sin B : sin C (比例)
cos A? cos B ? b2 ? c 2 ? a 2 2bc a 2 ? c 2 ? b2 2ac b2 ? a 2 ? c 2 2ba

2、余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
(边角互化,求角,判别角) 勾股定理: A ?

cosC ?

?
2

, a 2 ? _________; a 2 ? b 2 ? c 2 , A ? ____ .

1

3、面积定理: S ?

1 ah (a 为三角形的底,h 为三角形的高) 2 1 1 1 abc (其中 R 为外接圆的半径) S ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B ? 2 2 2 4R

(二)常用结论 (1) A ? B ? C ? ? ; (2)大边对大角,大角对大边: a ? b ? A ?B ? sin A ? sin B ; (3)三角变换:

sin( A ? B) ? sin C , cos(A ? B) ? ? cosC , tan(A ? B) ? ? tanC A? B C A? B C sin( ) ? cos , cos( ) ? sin 2 2 2 2
例题分析: 类型 1、求解斜三角形中的基本元素 是指已知两角一边(或两边一角或三边) ,求出其他三个元素,进而求出三角形的三线 (高,角平分线,中线) ,周长,面积等基本问题。 (1)在△ABC 中, a ? 2 3, b ? 6, A ? 300 ,求此三角形的边c.

解:法一:

2 3 6 3 又 00 ? B ? 1800 , A ? B ? ? sin B ? 0 sin 30 sin B 2

所以 B ? 600 或 B ? 1200 当 B ? 600 时, C ? 900 ,

2 3 c ? ?c?4 3 0 sin 30 sin 900

当 B ? 1200 时, C ? 300 , c ? a ? 2 3 ; 法二: a2 ? b2 ? c2 ? 2bccos A ? 12 ? 36 ? c2 ? 6 3c ? c2 ? 6 3c ? 24 ? 0 所以 c ? 2 3 或 c ? 4 3 小结:已知两边及一边的一对角,解三角形时,需考虑解的个数。 (2)已知三角形的一个角为60°,面积为 10 3 ,周长为20,求此三角形的各边长。

?b 2 ? a 2 ? c 2 ? ac ?b 2 ? (a ? c) 2 ? 3ac ?b ? 7 ? ? ?1 ? 解:不妨设 B ? 600 ,则 ? ac sin 600 ? 10 3 ? ?ac ? 40 ? ?ac ? 40 ?2 ?a ? c ? 20 ? b ?a ? c ? 13 ? ? a ? b ? c ? 20 ? ?
?b ? 7 ?b ? 7 ?b ? 7 ? ? ? ? ?ac ? 40 ? ?a ? 5或?a ? 8 所以三边长分别为 5,7,8 ?a ? c ? 13 ?c ? 8 ?c ? 5 ? ? ?
小结:已知一个角,可由余弦定理建立一个关于 a,b,c 的关系式,再结合面积公式,周长公 式求出 a,b,c。
2

(3)在△ABC 中,AB=5,AC=3,D 为 BC 中点,且 AD=4,求 BC 边长. 解:设 BC ? 2 x, 则BD ? CD ? x

? x 2 ? 16 ? 25 cos ADB ? ? x2 ? 9 x2 ? 7 ? 2?4? x? ? ? 0 ? x ?1 ? 2 8x 8x ?cos ADC ? x ? 16 ? 9 ? 2?4? x? ?
所以 BC ? 2 。 小结:体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用 类型 2、判断三角形的形状 在 ?ABC中 ,

tan A a 2 ? ,试判断 ?ABC 的形状 tan B b2

解:法一:角化边

a2 ? c2 ? b a? tan A sin A cos B a 2 ? c2 ? b2 a 2 2ac ? ? ? ? b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? c 2 ? a 2 b2 tan B cos A sin B b? 2bc

2

? a2 ? (b2 ? c2 ? a2 ) ? b2 ? (a2 ? c2 ? b2 ) ? (a2 ? b2 ) ? (c2 ? a2 ? b2 ) ? 0
? a ? b或c 2 ? a 2 ? b2 所以 ?ABC 是等腰三角形或直角三角形。
法二:边化角

tan A a 2 sin A cos B sin 2 A cos B sin A ? 2 ? ? ? ? 2 tan B b cos A sin B sin B cos A sin B

? sin A cos A ? sin B cos B ? sin 2 A ? sin 2 B
? 2 A ? 2 B或2 A ? 2 B ? ? ? A ? B或A ? B ?

?
2

所以 ?ABC 是等腰三角形或直角三角形。 小结:已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,有两条思路: ①化角为边,再进行代数恒等变换,求出三条边之间的关系式; ②化边为角,再进行三角恒等变换,求出三个角之间的关系式。 两条转化主要是应用正弦定理(边化正弦,正弦化边)和余弦定理(余弦直接代入) 。 类型 3、最值问题 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三内角 A, B, C 的对边,且 a cos C ? c cos A ? 2b cos B (1)求角 B 的大小; (2)求 sin A ? sin C 的最大值; (3)若 ?ABC 的外接圆半径为 4,求 ?ABC 面积的最大值;

3

?a ? 2 R sin A ? 解:(1)法一:边化角(正弦定理) ?b ? 2 R sin B 由 a cos C ? c cos A ? 2b cos B ?c ? 2 R sin C ?
得 sin A cosC ? sin C cos A ? 2 sin B cos B ? sin( A ? c) ? 2 sin B cos B

? sin B ? 2 sin B cos B ? cos B ?

1 又0 ? B ? ? 2

所以 B ?

? 3

角化边(余弦定理)由 a cos C ? c cos A ? 2b cos B 得

a

b2 ? a2 ? c2 b2 ? c2 ? a2 ?c ? 2b cos B 2ab 2bc

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 4b 2 cos B ? 2b 2 ? 4b 2 cos B
? cos B ? 1 又0 ? B ? ? 2
所以 B ?

? 3

(2) sin A ? sin C ? sin A ? sin( A ?

? ? ? ) ? sin A ? (sin A cos ? cos A sin ) 3 3 3

1 3 1 3 1 3 ? sin A ? ( sin A ? cos A) ? sin 2 A ? sin A cos A ? (1 ? cos 2 A) ? sin 2 A 2 2 2 2 4 4
?
?

3 1 1 1 3 1 1 1 ? ? 1 sin 2 A ? cos 2 A ? ? ( sin 2 A ? cos 2 A) ? ? (sin 2 A cos ? cos 2 A sin ) ? 4 4 4 2 2 2 4 2 6 6 4
1 ? 1 sin( 2 A ? ) ? 2 6 4 2? ? ? 7? ,? ? ? 2 A ? ? 3 6 6 6

?0 ? A ?

?当2 A ?

? ? ? 3 ? 即A ? , sin A ? sin C 的最大值为 ; 4 6 2 3
?
3 ?4 3

(3) b ? 2 R sin B ? 8 ? sin

?a ? 2 R sin A ? 8 sin A ? c ? 2 R sin C ? 8 sin C ,?

1 3 S ? acsin B ? ac ? 16 3 sin A sin C 2 4

4

由(2)可知当 A ?

? 3 时, sin A ? sin C 的最大值为 12 3 。 4 ,所以 S 的最大值为 3

小结:充分挖掘两个定理,利用三角函数的有界性来求面积的最值,体现三角函数公式的工 具性作用。 三、在线测试: (1)已知△ABC 中,sinA:sinB:sinC=1:1: 2,则此三角形的最大内角的度数是( A.60° B.90° C.120° D.135° ( ) )

(2)在 ?ABC 中,若

a b c ? ? ,则 ?ABC 是 cos A cos B sin C

A.直角三角形. B.等边三角形. C.钝角三角形. D.等腰直角三角形. 0 (3)在△ABC 中, a ? 2, b ? 3, C ? 135 ,则 ?ABC 的面积是( ) A.3 B. 3 2 C.

3 2 2

D.

3 3 2


(4)在 ?ABC 中,已知 AB ? 3, BC ? 13, AC ? 4 ,则 AC 边上的高为( A.

3 2 2

B.

3 3 . 2

C.

3 . 2

D. 3 3

四、课堂小结 熟记:正余弦定理及其变形;三角形面积公式;合理采用公式求边、角、面积、周长、外接 圆半径; 活用:灵活运用定理,实现边角转化; 注重:数形结合与转化思想。 五、课外作业 1、若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 则△ ABC A.一定是锐角三角形. B.一定是直角三角形. C.一定是钝角三角形. D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 2、在 ?ABC 中, S ?

3、在 ?ABC 中,AB=4,AC=3,角平分线 AD 交 BC 于 D,AD=2,则面积 S=__________; 4、已知圆内接四边形 ABCD 的四条边长分别为 AB ? 3, BC ? 3, CD ? 8, DA ? 5 ,求四边形 ABCD 的面积。 5、已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三内角 A, B, C 的对边,且 a cos C ? c cos A ? 2b cos B (1) 求角 B 的大小; (2)求 sin A ? sin C 的取值范围;

3 , a ? 1, b ? 3 ,则角 B=______________________; 2

5

(3)若 ?ABC 的外接圆半径为 4,求 ?ABC 周长的取值范围。

6


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