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江西南昌市2012—2013学年度高三第一次模拟测试数学理


江西南昌市 2012—2013 学年度高三第一次模拟测试

数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,共 150 分。 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡粘贴的 条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ 卷每小题选出答案后,用

2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第Ⅱ 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答,若 在试题卷上作答,答案无效。 3.考试结束,监考员将试题卷,答题卡一并收回。

第Ⅰ 卷
—、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有—项是符合题目要 求的。 1.已知集合 A,B,则 A ? B ? A是 ? B ? B 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 2.若复数 z 满足 A.2i B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 ? 2i ? i (i 为虚数单位) ,则 z 的虚部为 z
B.2 C.-I D.-1

3.在数列 {an } 中,若 a1 ? 2 ,且对任意的 n ? N * 有2an?1 ? 1 ? 2an ,则数列 {an } 前 10 项的和为 A.5 B.10 C.

5 2

D.

4.已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的图象如图所示 f ( ) ?

?

2

2 A. ? 3
2

1 B. ? 2
2

2 C. 3
B. y ? lg | x | D. y ? x3

2 ? , 则f ( ) = 3 6 1 D. 2

5 4

5.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为 A. y ? cos x ? sin x

e x ? e? x C. y ? 2

6.双曲线

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 有一个公共焦点 F,双曲线上过点 F 且垂直实轴的弦长为 2 8 b a

-1-

2 3 ,则双曲线的离心率等于 3
A.2 B.

2 3 3

C.

3 2 2

D. 3

7.设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? , 且? ? ? ”的平面 ? , ? A.不存在 8. ( 3 y ? B.有且只有一对 C.有且只有两对 D.有无数对

x )5 展开式的三项为 10,则 y 关于 x 的函数图象的大致形状为

? 9.下列四个命题中,① e dx ? e ;② 设回归直线方程为 y ? 2 ? 2.5x, 当变量 x 增加一个单位时,
x 0

?

1

y 大约减少 2.5 个单位;③ 已知 ? 服从正态分布 N(0, ? 2 ) ,且 P(?2 ? ? ? 0) ? 0.4 ,则:

P(? ? 2) ? 0.1④ 对于命题 p : "
A.0 个 B.1 个

x x ? 0"则?p : " ? 0" 错误的个数是 x ?1 x ?1
C.2 个 D.3 个

10.点 P 的底边长为 2 3 ,高为 2 的正三棱柱表面上的动点,MN 是该棱柱内切球的一条直径,则

???? ??? ? ? PM ? PN 取值范围是
A.[0,2] B.[0,3] C.[0,4] D.[—2,2]

第Ⅱ 卷
注意事项: 第Ⅱ 卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题上作答,答案无效。 11.已知 e1 ? (cos

?? ?

?

? ? ? ?? ? ? ?? ?? ,sin ), e2 ? (2sin , 4 cos ), e1 ? e2 ? 4 6 4 3

.

12.若一个圆台的主视图如图所示,则其全面积等于

.

13.三个好朋友同时考进同一所高中,该校高一有 10 个班,则至少有 2 人分在同一班的概率 为 .
-2-

) 14 . 已 知 函 数 f ( x ) ? a s i n (x ? b 5

?

?
.

t ax (a b为常数 x ? R ,, 若 f) ( 1 ) 1 则 不 等 式 n )( , ? , 5

f ( 3 1? )

l 2 x 的解集为 og

三、选择题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按做的第一题评阅计分,本题共 5 分。 15. (1) (坐标系与参数度方程选做题)已知在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为

? x ? 3 ? 3cos ? ? ,平面直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴为以极轴,并 , (? 为参数) ? ? y ? 1 ? 3 sin ? ?
在两种坐标系中取相同的单位长度建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? 则直线 l 裁,圆 C 所得的弦长为 。

?
6

) ?0,

(2) (不等式选做题)若对任意的 a ? R, 不等式 | x | ? | x ? 1|?|1 ? a | ? |1 ? a | 恒成立,则实数 x 的取值范围是 。 四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 设角 A, C 为△ABC 的三个内角。 设 f ( A) ? sin A ? 2sin B, (1)

A , 当A取A0 2 ??? ???? ? 时, f ( A) 取极大值 f ( A0 ) ,试求 A0 和f ( A0 ) 的值; (2)当 A 取 A0 时,而 AB · AC ? ?1,求
BC 边长的最小值。

17. (本小题满分 12 分)某市电视台的娱乐频道“好声音”节目,制定第一轮晋级互第二轮的规则如 下;每名选手准备三首有顺歌曲,按顺序唱,第一首歌专业评审团全票通过则直接晋级到第二 轮;否则唱第二首歌和第三首歌,第二首歌由专业评审团投票是否通过,第三首歌由媒体评审 团投票是否通过。若第二首歌获得专业评审团三分之二票数以上通过,且第三首歌获得媒体评 审团三分之二票数以上通过,晋级到第二轮;若第二首歌,没有获得专业评审团三分之二票数 通过,但第三首歌,媒体评审团全票通过,也同样晋级到第二轮,否则淘汰。某名选手估计自 己三首歌通过的概率如下表:

若晋级后面的歌就不需要唱了,求(1)求该选手晋级唱歌首数 ? 的分布列及数学期望; (2)求 该选手晋级概率。

18. (本小题满分 12 分)设 f ( x ) ? ln(1 ? x) ? x ? ax2 . (1)当 x=1 时, f ( x ) 取到极值,求 a 的值。 (2)当 a 满足什么条件时, f ( x)在区间[ ? , ? ] 有单调递增区间。
-3-

1 2

1 3

19. (本小题满分 12 分)如图民多面体 ABC—A1B1C1 和它的三视图。 (1)线段 CC1 上是否存在一点 E,使 BE⊥ 平面 A1CC1,若不存在请说明理由,若存在请找出 并证明; (2)求平面 C1A1C 与平面 A1CA 夹角的余弦值。

20. (本小题满分 14 分)已知点 M (?1,0), N (1,0), 动点P( x, y)满足 :| PM | ? | PN |? 2 3 , (1)求 P 的轨迹 C 的方程; (是否存在过点 N (1,0)的直线l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,并且 曲线 C 存在点 Q,使四边形 OAQB 为平行四边形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说 明理由。

21. (本小题满分 14 分)设正项数列 {an } 的前项和是 Sn ,若 {an }和{ Sn }都是等差数列,且公差 相 等 , 求 {an } 的 通 项 公 式 ; 2 ) 若 a1 , a 2, a 3恰 为 等 比 数 列 {bn } 的 前 三 项 , 记 数 列 (

cn ?

24bn , 数列{cn } 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意 n ? N*, 都有Tn ? 2. (12bn ? 1)

参考答案
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 6 题目 C D C A B B 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5,共 20 分) 11. 2 12. 5? ? 3 5?
1 3 ② (??, ? ] ? [ , ??) 2 2
-4-

7 D 14.

8 D

9 C

10 C

13.

7 25

? 0, 2 ?

三、选做题(本题共 5 分) 15. ① 4 2

四、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)

A A A A A ? 2cos 2 ? cos ? 1 ? (2cos ? 1)(cos ? 1) . ……2 分 2 2 2 2 2 A A 1 因为 0 ? A ? ? ,则 cos ? 1 ? 0 .由 f ?( A) ? 0 ,得 cos ? , 2 2 2 A ? 2? 所以 0 ? ? ,即 0 ? A ? .……………………………………………………4 分 2 3 3 2? 2? 2? ) 时, f ( A) 为增函数;当 A ? ( , ? ) 时, f ( A) 为减函数.故 A0 ? 所以当 A ? (0, , f ( A) 取 3 3 3
16.解: (1)因为 f ?( A) ? cos A ? cos

2? 3 3 )? . ………………………………………………6 分 3 2 ??? ??? ? ? (2)由 AB ? AC ? ?1 知 bc ? 2 ,………………………………………………………8 分
极大值 f ( A0 ) = f ( 而 a ? b2 ? c2 ? bc ? 3bc ? 6 , …………………………………………………10 分 当且仅当 b ? c ? 2 时, BC 边长的最小值为 6 …………………………………12 分 P(? ? 1 ) 0 .P ; ?( ? 3 ) 0 . 8 ? 2? 17.解:(1)ξ =1,3。 1 3 ξ P 0.2 0.8 E? ? 1? 0.2 ? 3 ? 0.8 ? 2.6 …………………………………………………………6 分 (2)设该选手第一首歌专业评审团全票通过晋级到第二轮的事件为 A,第二首歌三分之二以上专业 评审团通过且第三首歌三分之二以上媒体评审团通过晋级到第二轮、第二首歌不到三分之二专业评 审团通过且第三首歌媒体评审团全票通过晋级到第二轮的事件分别为 B、C 。则 (i) P( A) ? 0.2, …………………………………………………………7 分

(ii) P( B) ? (1 ? 0.2) ? 0.5 ? 0.8 ? 0.32, ……………………………………………………9 分 (iii) P(C ) ? (1 ? 0.2) ? (1 ? 0.5) ? 0.4 ? 0.16 ……………………………………………11 分 ∴该选手晋级的概率为: P ? P( A) ? P( B) ? P(C) ? 0.68 …………………………12 分 2 18. 解: (1) f ( x ) 的定义域为 (?1, ??) ,
且 f '( x) ?

1 ?2ax 2 ? (2a ? 1) x …………………………………………2 分 ? 2ax ? 1 ? 1? x 1? x

由题意得: f '(1) ? 0 ,则 ?2a ? 2a ? 1 ? 0 ,得 a ? ?

1 ,……………………………4 分 4

x ? x x( x ? 1) 1 2 ?2 又 a ? ? 时, f '( x) ? 2 , 4 1? x 1? x 当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 , 1 所以 f (1) 是函数 f ( x ) 的极大值,所以 a ? ? ;………………………………………6 分 4 1 1 1 1 (2)要使的 f ( x ) 在区间 [? , ? ] 有单调递增区间,即要求 f '( x) ? 0 在区间 [? , ? ] 有解,当 2 3 2 3 1 1 ? ? x ? ? 时 f '( x) ? 0 等价于 2ax ? (2a ? 1) ? 0 .……………………………8 分 2 3 ①当 a ? 0 时,不等式恒成立;………………………………………………………9 分 2a ? 1 2a ? 1 1 3 ? ? ,解得 a ? ? ……………10 分 ②当 a ? 0 时得 x ? ? ,此时只要 ? 2a 2a 3 4 2a ? 1 2a ? 1 1 ? ? ,解得 a ? ?1 ……………11 分 ③当 a ? 0 时得 x ? ? ,此时只要 ? 2a 2a 2 综上所述, a ? (?1, ??) ……………12 分
2

1

1

1

-5-

19.证明:由(1)知 AA1, AB, AC 两两垂直,如图建系, BC ? 2 2 ,则 A(0, 0, 0) , A (0,0, 2) , 1

???? ? B(?2, 0, 0) , C(0, ?2,0), C1 (?1, ?1, 2) , CC1 ? (?1,1,2) ???? ? ???? AC1 ? (?1, ?1,0), AC ? (0, ?2, ?2). …………………………………………1 分 1 1

设 E ( x, y, z ) ,则 CE ? ( x, y ? 2, z) ,

EC1 ? (?1 ? x,?1 ? y,2 ? z) ………3 分

? x ? ?? ? ?x ??? ? ???? ? 设 CE ? ? EC1 , ? ? y ? 2 ? ?? ? ?y ? ? z ? 2? ? ? z ?

则 E(

??? ? 2 ? ? ?2 ? ? 2? ?? ?2 ? ? 2? , , ) , BE ? ( , , ) ………………………4 分 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?
? 2?? 2?? ?? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 0 ,得 ? ? 2 ? ?? ? ? 2 ? ? ? 2? ? 0 ? 1? ? 1? ? ?

? 由 ? BE ? A1C1 ? 0 ? ? BE ? A1C ? 0 ?

所以线段 CC1 上存在一点 E , CE ? 2EC1 , 使 BE ? 平面 ACC1 ……………6 分 1 另证:补形成正方体,易证 CE : EC1 ? 2 :1

??? ?

???? ?

?? ???? ? ?? ?m ? A1C1 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ? (2)设平面 AC1C 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,则由 ? ?? ???? ,得 ? , 1 ??2 y ? 2 z ? 0 ? m ? A1C ? 0 ? ?? 取 x ? 1 ,则 y ? ?1, z ? 1. 故 m ? (1, ?1,1) ,……………………………………………8 分 ?? ? ? ?? ? 而平面 A AC 的一个法向量为 n ? (1,0,0) ,则 cos ? m, n ?? m ? n ? 1 ? 3 ……11 分 1 ?? ?
mn 3
3

平面 C1 A1C 与平面 A1CA 夹角的余弦值为 20.解: (1)由 PM ?PN ?

3 …………………………………………12 分 3

4 得 PM ?PN cos ?MPN ? 4 ? PM ?PN 1 ? cos ?MPN 显然 cos ?MPN ? ?1 ,若 cos ?MPN ? 1 ,则 P(? 3,0) …………………………1 分 否则, P, M , N 构成三角形,在 ?PMN 中,
4 ? MN ? PM ? PN ? 2 PM ?PN cos ?MPN ? PM ? PN ? 2(4 ? PM ?PN )
2 2 2 2 2

( PM ? PN )2 ? 12 ,即 PM ? PN ? 2 3 …………………………………………5 分
x2 y 2 ? ? 1. …………………………………………………6 分 3 2 (2)设 A( x1, y1 )、B( x2 , y2 ) ,由题意知 l 的斜率一定不为 0,故不妨设 l : x ? my ? 1,代入椭圆方
所以 P 的轨迹 C 的方程为 程整理得 (2m ? 3) y ? 4my ? 4 ? 0 ,
2 2

4m 4 , y1 y2 ? ? ……①,…………………8 分 2 2m ? 3 2m 2 ? 3 ???? ??? ??? ? ? 假设存在点 Q ,使得四边形 OAQB 为平行四边形,其充要条件为 OQ ? OA ? OB ,则点 Q 的坐标为
显然 ? ? 0. 则 y1 ? y2 ? ?

( x1 ? x2 )2 ( y1 ? y2 ) 2 ? ? 1. 3 2 整理得 2x12 ? 3 y12 ? 2x22 ? 3 y22 ? 4x1x2 ? 6 y1 y2 ? 6. …………………………………10 分

( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 。由点 Q 在椭圆上,即

又 A、B 在椭圆上,即 2x12 ? 3 y12 ? 6,x22 ? 3 y22 ? 6. 故 2x1 x2 ? 3 y1 y2 ? ?3 ……② 2 将 x1x2 ? (my1 ?1)(my2 ?1) ? m2 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ?1 代入由①②解得 m ? ?
-6-

2 . 2

2 y ? 1 ,即 2x ? 2 y ? 2 ? 0 ………………………13 分 2 d d 2 d d 21.解:设 ?an ? 的公差为 d ,则 Sn ? n ? (a1 ? )n ? n ,且 a1 ? ? 0 ……2 分 2 2 2 2 1 又 d ? d ,所以 d ? ,………………………………………………………………4 分 2 2 d 1 2n ? 1 a1 ? ? , an ? ………………………………………………………………5 分 2 4 4 1 n ?1 2 ? 3n (2)易知 bn ? ? 3 ………………6 分, ∴ cn ? n ………………7 分。 4 (3 ? 1)2 2 ? 3n 2 ? 3n 2 ? 3n?1 1 1 当 n ? 2 时, n ………9 分 ? n ? n ? n?1 ? n 2 n n ?1 (3 ? 1) (3 ? 1)(3 ? 3) (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ? 1 3 ? 1 3 2 ? 32 2 ? 3n 3 1 1 1 1 ∴ 当 n ? 2 时, Tn ? ? 2 ??? n ? ?( ? 2 )?( 2 ? 3 ) 2 2 2 (3 ? 1) (3 ? 1) 2 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 1 ? n ) ? 2? n ? 2, + ? ? ( n ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 * 且 T1 ? 3 ? 2 故对任意 n ? N , Tn ? 2 .……………………………………………14 分。
即直线 l 的方程是: x ? ?
2

-7-


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