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90高考试题


一九九 0 年全国高考(理)试题

一.选择题(本大题共 15 个小题,每小题 3 分,满分 45 分)
1.方程 2log3 x ?
1 的解是( 4



(A) x ?

1 9

(B) x ?

3 3

(C) x ? 3

(D) x ? 9

2.把复数 1 ? i 对应的向量按顺时针方向旋转
(A)

2? ,所得的向量对应的复数是( 3



1 ? 3 ?1 ? 3 ?1 ? 3 1 ? 3 1 ? 3 ?1 ? 3 ?1 ? 3 ?1 ? 3 ? i (B) ? i (D) ? i ? i (C) 2 2 2 2 2 2 2 2

3.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 S ,那么圆柱的体积等于(
(A)



S S 2

(B)

S S 2 ?

(C)

S S 4

(D)

S S 4 ?
) (A)1 (B)2 )
y

4.方程 sin 2 x ? sin x 在区间 ? 0, 2? ? 内解的个数是(

(C)3

(D)4

?? ? 5.已知右图是函数 y ? 2sin ?? x ? ? ? ? | ? |? ? 的图象,那么( 2? ?
(A) ? ?

10 ? ,? ? 11 6

(B) ? ?

(C) ? ? 2, ? ?

?

10 ? ,? ? ? 11 6

1
11 ? 12

6

(D) ? ? 2, ? ? ?

?

0

x

6

6.函数 y ?

sin x | cos x | tan x | cot x | ? ? ? 的值域是( | sin x | cos x | tan x | cot x



(A) ??2, 4? (B) ??2,0, 4? (C) ??2,0,2,4? (D) ??4, ?2,0, 4?

7.如果直线 y ? ax ? 2 与直线 y ? 3x ? b 关于直线 y ? x 对称,那么(
(A) a ?



1 ,b ? 6 3

(B) a ?

8.极坐标方程 4 ? sin 2
(A)圆

?

1 , b ? ?6 3

(C) a ? 3, b ? ?2

(D) a ? 3, b ? 6

2 (B)椭圆

? 5 表示的曲线是(


(D)抛物线

(C)双曲线的一支

y ?3 ? ? 9.全集 I ? ?? x, y ? | x, y ? R? ,集合 M ? ?? x, y ? | ? 1? , N ? ?? x, y ? | y ? x ? 1? ,则 CI ?M ?N x?2 ? ?

?

等于( ) (A) ? (B) ?? 2,3?? (C) ? 2,3? (D) ?? x, y ? | y ? x ?1? 10.如果实数 x, y 满足 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 3 ,那么
2

y 的最大值是( x



第 1 页 共 3 页

(A)

1 2

(B)

3 3

(C)

3 2

(D) 3

11.如图,正三棱锥 S ? ABC 的侧棱与底面边长相等,如果 E , F 分别为 SC, AB 的中点,那么 异面直线 EF 与 SA 所成的角等于(
0 0 0 0 ) (A)90 (B)60 (C)45 (D)30

12.已知 h ? 0 ,设命题甲为:两个实数 a , b 满足 | a ? b |? 2h ;命 题乙为:两个实数 a , b 满足 | a ? 1|? h 且 | b ?1|? h 。那么( )

S F

(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件 (B)甲是乙 的必要条件,但不是乙的充分条件 (C)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件

A E B

C

13. A, B, C , D, E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边 ( A, B 可以不相邻) ,那么不同的排法共有( 14.以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( )种 )个

(A)24 (B)60 (C)90 (D)120 (A)70 (B)64 (C)58 (D)52

15.函数 y ? arctan x 的图象沿 x 轴正方向平移 2 个单位所得到的图象为 C ,设图象 C ? 与 C 关 于原点对称,则 C ? 所对应的函数是( )
(A) y ? ? arctan ? x ? 2? (B) y ? arctan ? x ? 2? (C) y ? ? arctan ? x ? 2? (D) y ? arctan ? x ? 2?

二.填空题(本大题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分)
16.双曲线
y 2 x2 ? ? 1 的准线方程是____________。 16 9
2 3 4 5

17. ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? ? x ? 1? 的展开式中, x 2 的系数等于___________。 18.已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列,若 Sn 是 ?an ? 的前 n 项和,则 lim 19.函数 y ? sin x cos x ? sin x ? cos x 的最大值是___________。 20.如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,若 E , F 分别为 AB, AC 的中 点,平面 EB1C1F 将三棱柱分成体积为 V1 ,V2 的两部分,那么
nan 等于________。 n ?? S n

A E

F B V1

C

V2

V1 : V2 =___________。

A1 B1

C1

三.解答题(本大题共 6 个小题,满分 60 分)

21.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数 列,并且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是 32,求这四个数。
第 2 页 共 3 页

1 1 22.已知 sin ? ? sin ? ? , cos ? ? cos ? ? ,求 tan ?? ? ? ? 的值。 4 3 23.如图,三棱锥 S ? ABC 中,SA ? 平面 ABC , AB ? BC , DE

S

垂直平分 SC ,且分别交 AC, SC 于 D, E ,又 S ?A S, B A B B ? C 求以 BD 为棱,以 BDE 与 BDC 为面的二面角的度数。 24.设 a ? 0 ,在复数集 C 中解方程 z 2 ? 2 | z |? a 。 25.设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e ?


D A B

E

C

3 , 2

? 3? 已知点 P ? 0, ? 到这个椭圆上的点的最远距离是 7 ,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点 ? 2?
P 的距离等于 7 的点的坐标。

1 ? 2x ? ? ? ? n ? 1? ? n x a 26.设 f ? x ? ? lg ,其中 a 是实数, n 是任意给定的正整数,且 n ? 2 。 n
x

⑴如果 f ? x ? 当 x ? ? ??,1? 时有意义, a 的取值范围; ⑵如果 a ? ? 0,1? , 求 证明 2 f ? x ? ? f ? 2x ? 当 x ? 0 时成立。

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