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【优化指导】2016-2017学年高中数学 第三章 函数的应用本章测评 新人教A版必修1


第三章测评
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知下列四个函数图象,其中能用二分法求出函数零点的是( )

解析:由二分法的定义易知选 A. 答案:A 2.已知函数 f(x)=2x-b 的零点为 x0,且 x0∈(-1,1),则 b 的取值范围是( A.(-2,2) C. B.(-1,1) D.(-1,0) 所以∈(-1,1),即 b∈(-2,2). 答案:A 3.已知函数 f(x)=e -x ,则在下列区间内,函数必有零点的是( A.(-2,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,2)
0 2

)

解析:解方程 f(x)=2x-b=0,得 x0=,

x

2

)

解析:f(-2)=-4<0,f(-1)=-1<0,f(0)=e =1>0,f(1)=e-1>0,f(2)=e -4>0.

∵f(-1)·f(0)<0, ∴f(x)在区间(-1,0)内必有零点.
答案:B 4.下列给出的四个函数 f(x)的图象中能使函数 y=f(x)-1 没有零点的是( )

解析:把 y=f(x)的图象向下平移一个单位长度后,只有 C 中的图象满足 y=f(x)-1 与 x 轴无交点. 答案:C 5.已知一根蜡烛长为 20 cm,若点燃后每小时燃烧 5 cm,则蜡烛燃烧剩下的高度 h(单位:cm)与燃烧 时间 t(单位:小时)的函数关系用图象表示为( )

1

解析:本题结合函数图象考查一次函数模型. 由题意得 h=20-5t(0≤t≤4),故选 B. 答案:B 6.已知实数 a,b,c 是图象连续不断的函数 y=f(x)定义域中的三个数,且满足

a<b<c,f(a)·f(b)>0,f(b)·f(c)<0,则函数 y=f(x)在区间(a,c)内的零点有(
A.2 个 B.奇数个 C.偶数个 D.至少 1 个

)

解析:由 f(a)·f(b)>0 知,f(x)在区间(a,b)内的零点个数不确定,由 f(b)·f(c)<0 知,f(x)在区间 (b,c)内至少有 1 个零点,故在区间(a,c)内至少有 1 个零点. 答案:D 7. 导学号 29900141 已知 0<a<1,则方程 a =|logax|的实根个数为( A.2 C.4
|x| |x|

)

B.3 D.与 a 的值有关

解析:设 y1=a ,y2=|logax|,分别作出它们的图象如图所示.

由图可知,两个图象有两个交点,故方程 a =|logax|有两个根.故选 A. 答案:A

|x|

8.如图,△ABC 为等腰直角三角形,直线 l 与 AB 相交且 l⊥AB,直线 l 截这个三角形所得的位于直线 右方的图形面积为 y,点 A 到直线 l 的距离为 x,则 y=f(x)的图象大致为四个选项中的( )

解析:设 AB=a,则 y=a -x =-x +a ,其图象为抛物线的一段,开口向下,顶点在 y 轴上方.故选 C. 答案:C 9.已知某市生产总值连续两年持续增加,若第一年的增长率为 p,第二年的增长率为 q,则该市这两 年生产总值的年平均增长率为( A. C. B. D.-1 )

2

2

2

2

2

解析:设第一年年初生产总值为 1,则这两年的生产总值为(p+1)(q+1).设这两年生产总值的年平均 增长率为 x,则(1+x) =(p+1)(q+1),解得 x=-1,故选 D. 答案:D 10.已知函数 f(x)=若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则函数 y=f(x)-x 的零点的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 解析:本题主要考查二次函数、分段函数、函数零点及其求法. )
2

f(-4)=f(0)? b=4,f(-2)=-2? c=2,
所以 f(x)= 当 x≤0 时,由 x +4x+2=x,解得 x1=-1,x2=-2; 当 x>0 时,x=3.所以函数 y=f(x)-x 的零点个数为 3,故选 C. 答案:C 11. 导学号 29900142 已知 x0 是函数 f(x)=2 +的一个零点.若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 解析:设 y1=2 ,y2=,在同一平面直角坐标系中作出它们图象, 如图,在区间(1,x0)内,y2=的图象在 y1=2 图象的上方,即, 所以<0,即 f(x1)<0,同理 f(x2)>0.
x x x
2

)

答案:B 12.若函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N )内,则 n=( A.2 点. 在同一平面直角坐标系中画出函数 g(x)和函数 h(x)的图象,如图所示. B.3 C.4 D.5
*

)

解析:设 g(x)=ln x,h(x)=-3x+7,则函数 g(x)和函数 h(x)的图象交点的横坐标就是函数 f(x)的零

由图象知函数 f(x)的零点属于区间, 又 f(1)=-4<0,f(2)=-1+ln 2=ln<0,f(3)=2+ln 3>0,所以函数 f(x)的零点属于区间(2,3). 所以 n=2. 答案:A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

3

13.函数 f(x)=的零点是 解析:由 f(x)=0,即=0,得 x=1, 即函数 f(x)的零点为 1. 答案:1

.

14.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含 量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中 的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL,则一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过 车.(精确到 1 小时) 解析:设至少经过 x 小时才能开车,由题意得 0.3(1-25%) ≤0.09,
x

小时才能开

∴0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈4.19.故填 5.
答案:5 15.里氏震级 M 的计算公式为 M=lg A-lg A0,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0 是相应 的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1 000,此时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为 级;9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 倍. 解析:第一空,lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6. 第二空,设 9 级地震时最大振幅为 A1,5 级地震时最大振幅为 A2, 则 9=lg A1-(-3),5=lg A2-(-3), 所以 A1=10 ,A2=10 ,=10 000. 答案:6 10 000 16.若函数 f(x)=2ax -x-1 在区间(0,1)内恰有一个零点,则 a 的取值范围是 解析:∵f(x)=0 在区间(0,1)内恰有一个解,有下面两种情况:
2 6 2

.

①f(0)·f(1)<0 或②且其解在(0,1)内.
由①得(-1)(2a-2)<0,∴a>1. 由②得 1+8a=0,即 a=-.

∴方程-x2-x-1=0, ∴x2+4x+4=0,
即 x=-2?(0,1),应舍去,综上可得,a>1. 答案:a>1 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,且 a≠1),当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零点

x0∈(n,n+1),n∈N*,求 n 的值.
解:∵a>2,∴f(x)=logax+x-b 在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=loga2+2-b,f(3)=loga3+3-b,

∵2<a<3<b<4, ∴0<loga2<1,-2<2-b<-1. ∴-2<loga2+2-b<0.
又 1<loga3<2,-1<3-b<0,

∴0<loga3+3-b<2,∴f(2)<0,f(3)>0.

4

又 f(x)在(0,+∞)上是单调函数,

∴f(x)在(2,3)内必存在唯一零点.∴n=2.

18.(本小题满分 12 分)如图,直角梯形 ABCD 的两底边分别为 AD=2a,BC=a,∠BAD=45°,直线 MN⊥AD 于点 M,交折线 ABCD 于点 N,记 AM=x,试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的函数. 解:①当点 N 在 BC 上时,y=(2a-x)·a(a<x≤2a);

②当点 N 在 AB 上时,y=x2(0<x≤a).
综上,有 y= 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax +(b-8)x-a-ab 的两个零点分别是-3 和 2. (1)求 f(x); (2)当函数 f(x)的定义域是[0,1]时,求函数 f(x)的值域. 解:(1)∵f(x)的两个零点是-3 和 2,
2

∴函数的图象经过点(-3,0),(2,0). ∴有 9a-3(b-8)-a-ab=0,①
4a+2(b-8)-a-ab=0,②

①-②,得 b=a+8.③ ③代入②,得 4a+2a-a-a(a+8)=0,即 a2+3a=0. ∵a≠0,∴a=-3.∴b=a+8=5. ∴f(x)=-3x2-3x+18.
(2)由(1)得 f(x)=-3x -3x+18
2

=-3+18,
函数图象的对称轴方程是 x=-. 又 0≤x≤1,∴f(x)min=f(1)=12,

f(x)max=f(0)=18. ∴函数 f(x)的值域是[12,18].
20.(本小题满分 12 分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中的一氧化碳含量达到了 危险状态,经抢修排气扇恢复正常.排气 4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为 64 ppm,继续排气 4 分钟,又测得浓度为 32 ppm,经检验知该地下车库一氧化碳浓度 y ppm 与排气时间 t 分钟存在函数 关系 y=c(c,m 为常数). (1)求 c,m 的值;

5

(2)若空气中一氧化碳浓度不高于 0.5 ppm 为正常,问至少排气多少分钟,这个地下车库中的一氧化 碳含量才能达到正常状态? 解:(1)由题意可得方程组 解之得 所以 y=128×. (2)由题意可得不等式 y=128×≤0.5, 即,即 t≥8,解得 t≥32. 所以至少排气 32 分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态. 21. 导学号 29900143(本小题满分 12 分)如图,长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向做 匀速移动,速度为 v(v>0),雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R).E 移动时单位时间内的淋雨量包 括两部分:①P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S 成正比,比例系数为;

②其他面的淋雨量之和,其值为.记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量.当移动距离 d=100,面积 S=时,

(1)写出 y 的表达式; (2)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v,使总淋雨量 y 最少. 解:(1)由题意知,

E 移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,
故 y=(3|v-c|+10). (2)由(1)知, 当 0<v≤c 时,y=(3c-3v+10)=-15; 当 c<v≤10 时,y=(3v-3c+10)=+15; 故 y=

①当 0<c≤时,y 是关于 v 的减函数.
故当 v=10 时,ymin=20-.

②当<c≤5 时,在(0,c]上,y 是关于 v 的减函数;
在(c,10]上,y 是关于 v 的增函数. 故当 v=c 时,ymin=. 22. 导学号 29900144(本小题满分 12 分)抗战七十周年纪念章从 2015 年 9 月 1 日起开始上市.通过 市场调查,得到该纪念章每 1 枚的市场价 y(单位:元)与上市时间 x(单位:天)的数据如表: 上市时间 4 x/天 市场价 y/ 9 元 0 1 0 5 1 3 6 9 0

(1)根据表中数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述抗战七十周年纪念章的市场价 y 与上市 时间 x 的变化关系:

①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=alogbx.

6

(2)利用你选取的函数,求抗战七十周年纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格. (3)设你选取的函数为 f(x),若对任意实数 k,方程 f(x)=kx+2m+120 恒有两个相异的实根,求 m 的取 值范围. 解:(1)∵随着时间 x 的增加,y 的值先减少后增加,而在所给的三个函数中 y=ax+b 和 y=alogbx 显然 都是单调函数,不满足题意,

∴y=ax2+bx+c 最合适.
(2)把点(4,90),(10,51),(36,90)代入方程, 得 解方程组,得

∴y=x2-10x+126=(x-20)2+26. ∴当 x=20 时,y 有最小值,ymin=26.
故抗战七十周年纪念章市场价最低时的上市天数为 20,最低价格为 26 元. (3)由(2)知 f(x)=x -10x+126,
2

∵f(x)=kx+2m+120 恒有两个相异的实根,
则 x -(k+10)x+6-2m=0 恒有两个相异的实根,
2

∴Δ =[-(k+10)]2-4×(6-2m)>0 恒成立,
即 2m>-(k+10) +6 对任意 k∈R 恒成立,而-(k+10) +6≤6,
2 2

∴只需 2m>6,即 m>3.
故 m 的取值范围为(3,+∞).

7


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