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【金版学案】2015-2016学年高中数学 3.1.1两角和与差的余弦练习(含解析)苏教版必修4


第 3 章 三角恒等变换 3 .1 两角和与差的三角函数 两角和与差的余弦

3.1.1

思考:cos(α -β )=? 有人认为 cos(α -β )=cos α -cos β ,对不对? π π π 令 α = ,β =- ,则 cos(α -β )=cos =0, 3 6 2 cos α -cos β =cos π ? π ? 1- 3. -cos?- ?= 3 2 ? 6?

有一个反例,就足以说明 cos(α -β )≠cos α -cos β . 只有在某些特殊情况下,才有 cos(α - β )=cos α - cos β .因此,切记,不能将 cos(α -β )按分配律展开,那么 cos(α -β )究竟等于什么? 我们能用什么办法加以推 导?

1.两角差的 余弦公式为________________________________. 这个公式对任意的 α 、β 都成立. 答案:cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β 2.两角和的余弦公式为__________________________________. 这个公式对任意角 α 、β 都成立. 答案:cos(α +β )=cos α cos β - sin α sin β

3.要理解好和差角,如:α =(α +β )-__________;2α =(α +β )+________;2 α +β =________+α 等. 答案:β α -β α +β

4.cos(-15°)=________.

1

答案:

6+ 2 4

5.cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=________. 1 答案: 2

两角和与差的余弦 公式 1.公式的特点. (1)公式的左边为复角:α +β ,α -β ,右边为单角:α ,β . (2)公式的右边为单角α 与β 的余弦与余弦的乘积加上(或减去)正弦与正弦的乘积(注 意顺序). (3)公式的左边与右边的“+,-”号相反,掌握这些特点,有助于对公式的记忆. 2.角 α 与 β 是任意角,因为其具有任意性,所以将两角差的余弦公式 C(α -β )中的 β 换为-β ,即得公式 C(α +β ). 3.差角的余弦公式是后续各公式的基础,必须牢牢掌握其性质. 如 cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B; cos(θ -φ )=cos θ cos φ +sin θ sin φ ; c os α =cos[(α +β )-β ] =cos(α +β )cos β +sin(α +β )?sin β . 两角和与差的余弦公式的应用 (1)公式的正用、逆用问题,掌握公式的结构特征是先决条件. (2)角的变换问题:有时需要对角进行变换后才能使用公式.常见的角的变换有: α =(α +β )-β ;α =β +(α -β );α =β -(β -α ) ;2α =(α +β )+(α - β )等.

2

基 础 巩 固 1.下列等式中一定成立的是( A.cos(α +β )=cos α +cos β B.cos(α -β )=cos α -cos β C.cos? D.cos? )

?π +α ?=cos α ? ?2 ? ?π -α ?=sin α ? ?2 ?

答案:D

? 25 ? 2.cos?- π ?的值是________. ? 12 ?

答案:

2+ 6 4

3.cos 43°cos 77°+sin 43°cos 167°的值为______ __. 1 答案:- 2

β ? π π 3 ?π ? 1 ?π β ? ? 4.若 0<α < ,- <β <0,co s? +α ?= ,cos? - ?= ,求 cos?α + ?的 2? 2 2 ?4 ? 3 ?4 2? 3 ? 值. π π 解析:∵0<α < ,- <β <0, 2 2 ∴ π π 3 π π β π < +α < π , < - < . 4 4 4 4 4 2 2

3 ?π ? 1 ?π β ? 又∵cos? +α ?= ,cos? - ?= , 4 4 2 ? ? 3 ? ? 3

?π ? 2 2,sin?π -β ?= 6. ∴sin? +α ?= ?4 2? 3 ?4 ? 3 ? ?

3

β ? ? ∴cos?α + ? 2? ?

??π ? ?π β ?? =cos?? +α ?-? - ?? 4 ?? ? ? 4 2 ?? ?π ? ?π β ? ?π ? ?π β ? =cos? +α ?cos? - ?+sin? +α ?sin? - ? ?4 ? ?4 2? ?4 ? ?4 2?
1 3 2 2 6 = ? + ? 3 3 3 3 = 5 3 . 9

5 3 答案: 9

能 力 升 级 5. cos 7°-cos 8°cos 15° 的值为________. cos 23°-cos 8°cos 15°

cos(15°-8°)-cos 8°cos 15° 解析:原式= cos(8°+15°)-cos 8°cos 15° = cos 8°cos 15°+sin 8°sin 15°-cos 8°cos 15° cos 8°cos 15°-sin 8°sin 15°-cos 8°cos 15°

=-1. 答案:-1

β ? 3 ? π? ? ?α 6.若 α 、β ∈?0, ?,cos?α - ?= ,sin? -β 2? 2? 2 ? ? ?2 为________.

?=-1,则 cos(α +β )的值 ? 2 ?

β ? π π? α ? π? ? π π? 解析:由 α 、β ∈?0, ?,则 α - ∈?- , ?, -β ∈?- , ?, 2? 2 ? 4 2? 2 ? ? 2 4? β ? 3 1 ? ?α ? 又 cos?α - ?= ,sin? -β ?=- , 2? 2 2 ? ?2 ? β π α π π π π 所以 α - =± , -β =- .解得 α =β = 或 α =- , β = , 所以 cos(α 2 6 2 6 3 9 9 1 +β )=- 或 cos(α +β )=1. 2

4

1 答案:- 或 1 2

7.已知:sin α +sin β +sin γ =0,cos α +cos β +cos γ =0,求 cos(α -β ) 的值. 解析:由已知得:sin α +sin β =-sin γ ,① cos α +cos β =-cos γ ,② ① +② 得:2cos(α -β )+2=1. 1 即 cos(α -β )=- . 2
2 2

2 5 10 8.已知 α 、β 均为锐角,且 cos α = ,cos β = ,求α -β 的值. 5 10 解析 :∵α ,β 均为锐角,∴sin α = 5 3 10 ,sin β = . 5 10

∴cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β 2 5 10 5 3 10 2 = ? + ? = . 5 10 5 10 2 π 又∵s in α <sin β ,∴0<α <β < . 2 π π ∴- <α -β <0.故 α -β =- . 2 4

2cos 10°-sin 20° 9.化简: . cos 20° 2cos(30°-20°)-sin 20° 解析:原式= cos 20° 2cos 30°cos 20°+2sin 30°sin 20°-sin 20° = cos 20° = 3cos 20°+sin 20°-sin 20° = 3. cos 20°

10.已知角 A、B、C 是△ABC 三内角,向量 m=(-1, 3),n=(cos A,sin A),且 m?n =1,求角 A. 解析: ∵m?n=1,∴(-1, 3)?(cos A,sin A)=1, 即 3sin A-cos A=1,

5

2?sin A?

? ?

3 1? -cos A? ?=1. 2 2?

1 ? π? ∴cos?A+ ?=- . 3? 2 ? π π 4π ∵0<A<π ,∴ <A+ < . 3 3 3 π 2π π ∴A+ = .∴A= . 3 3 3

6


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