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2.1.2 椭圆的简单几何性质(3)


2.1.2 椭圆的简单几何性质(3)
——椭圆的参数方程、焦点三角形

. O为 , C2 : x 2 ? y 2 ? a 2点 已知圆 C1 : x 2 ? y 2 ? b2圆 坐标原点, 点M是圆C2上的一动点,线段OM交圆C1于 N,过点M作x轴的垂线交x轴于M0,过点N作M0M的 垂线交M0M于P. 当动点M在圆C2上运动时,求点P的轨迹C的方程.
解: 设 P(x,y) , 则 由点M、N分别在圆C2 、C1上, 可设 M (a cos ? , a sin ? ),
y M P M0 x

N (b cos ? , b sin ? ),

N O

? x ? a cos ? (? 为参数) ?? ? y ? b sin ?
消去参数θ,得

x2 y2 ? 2 ? 1 即点P的轨迹C的方程. 2 a b

? x ? a cos ? ? ? y ? b sin ?

2b分别是椭圆的长轴、短 轴长, (? 为参数) 其中2a、 参数 ?的几何意义为椭圆的离 心角 .

x2 y2 叫做椭圆 2 ? 2 ? 1 的参数方程. a b
说明:它是椭圆方程的另 外一种表现形式,它的优 越性在于将曲线上点的横、 纵坐标(两个变量)用同 一个参数θ表示,这样就能 将椭圆上点的很多问题转 化为函数问题解决,很好 地将几何问题代数化.

y M N
?

P M0 x

O

x2 y 2 例1: 求椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b 的内接矩形面积的最大值 .
解: 如图,设 A(a cos? , b sin ? )
B

y A O x D

则由椭圆的对称性得: S矩形ABCD ? 4a cos? ? b sin ?

? 2absin 2?
2

C

? 当? ? 45? 时, (S矩形ABCD) max ? 2ab .
x y 练习:已知 P( x,y ) 是椭圆 ? ? 1 上的点, 144 25 求 u ? x ? y 的取值范围 .
2

x2 y 2 练习:已知 P( x,y ) 是椭圆 ? ? 1 上的点, 144 25 求 u ? x ? y 的取值范围 .
解: 由已知可设 x ? 12cos? ,y

? 5 sin ? .

则 u ? x ? y ? 12cos? ? 5 sin ?
? 13 (12 cos? ? 5 sin ? ) 13 13

? 13sin(? ? ? )

y

? ? 13 ? u ? 13

F1

o

F2

x

x2 y 2 练习:已知 P( x,y ) 是椭圆 ? ? 1 上的点, 144 25 求 u ? x ? y 的取值范围 .

解:将y ? u ? x代入椭圆方程: x 2 (u ? x) 2 ? ?1 144 25 1 1 2 2u u2 ?( ? )x ? x ? ?1 ? 0 144 25 25 25

y
F1

o

F2

x

2u 2 1 1 u2 由? ? 0得: ( ) ? 4( ? )( ? 1) ? 0 ? u ? ?13 25 144 25 25

? ?13 ? x ? y ? 13

练习
x2 y2 设F + = 1 的左、右焦点, 1 , F2 分别是椭圆 5 4 P( x, y) 是该椭圆上的一个动点.
( 1)求 PF 1 ? PF 2 的最大值和最小值;

???? ???? ? ( 2)求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值.

x2 y2 (1) 由 解: ? ? 1 知, a ? 5, b ? 2, ? c ? 1. 5 4 ? F1 (?1,0), F2 (1,0). ???? ???? ? PF1 ? PF2 ? (?1 ? x, ? y) ? (1 ? x, ? y) ? x 2 ? y2 ? 1 x2 y2 ? ? 1上的一个动点, ∵ P(x, y)是椭圆 5 4
2

4 2 ? y ? 4? x 5 ???? ???? 1 2 4 2 2 ? PF1 ? PF2 ? x ? 4 ? x ? 1 ? x ? 3, x ?[? 5, 5]. 5 5 ???? ???? ∴当x=0 即点P为椭圆短轴端点时,( PF1 ? PF2 )min ? 3. ???? ???? 当 x ? ? 5 即点P为椭圆长轴端点时, ( PF1 ? PF2 )max ? 4.

x y (法二)∵ P(x, y)是椭圆 ? ? 1上的一个动点, 5 4 ∴ 可设 x ? 5 cos? , y ? 2sin? 则 ???? ???? PF1 ? PF2 ? (?1 ? x, ? y) ? (1 ? x, ? y) ? x 2 ? y2 ? 1
2 ? 5cos2 ? ? 4sin2 ? ? 1 ? cos ? ? 3, cos ? ? [?1,1]. ???? ???? ( PF1 ? PF2 )min ? 3. 当 cos ? ? 0 时, ???? ???? ( PF1 ? PF2 )max ? 4. 当 cos ? ? ?1 时,

2

2

l' 解: (2) 由椭圆第二定义得, l ???? ???? P d2 | PF1 | | PF2 | ? e, ? e, d1 d2 x O F2 F1 ???? a2 ?| PF1 |? ed1 ? e( x ? ) ? a ? ex 2 2 c a a x? x?? ???? a2 c c ? e ( ? x ) ? a ? ex | PF2 |? ed2 (焦半径公式) c 5 x2 y2 由 . ? ? 1 知, a ? 5, b ? 2, ? c ? 1 ? e ? 5 5 4

y

.

.

.

???? ???? 1 2 5 5 ?| PF1 || PF2 |? ( 5 ? x )( 5 ? x ) ? 5 ? x , x ?[? 5, 5]. 5 5 5 ???? ???? ( PF1 PF2 )max ? 5. ∴当x=0 即点P为椭圆短轴端点时, ???? ???? 当 x ? ? 5 即点P为椭圆长轴端点时, ( PF1 PF2 )min ? 4.

焦点三角形

y
P F1

o

F2

x

x2 y 2 例2.已知 F1 、F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1的两个焦点, a b P是椭圆上一点,且 PF1 ? PF2 ,求 ?PF1F2 的面积 .
解:? | PF 1 | ? | PF 2 | ? 2a

? | PF 1 | ? | PF 2 | ?2 | PF 1 || PF 2 | ? 4a
2 2

2

y
P

又 PF 1 ? PF 2
2 2 2 2 ? | PF | ? | PF | ? | F F | ? 4c 1 2 1 2

F1

o

F2

x

? | PF 1 || PF 2 | ? 2(a ? c ) ? 2b
2 2

2

? S?PF1F2 ? b .
2

x2 y2 变式一 : 设M是椭圆 ? ? 1上一点,F1 , F2是 25 16 焦点,?F1MF2 ?

?
6

,求三角形F1MF2的面积。
y
M

解:设| MF1 |? t1 , | MF2 |? t2 1 ? 1
? S ?F1MF2 ? 2 t1t 2 sin

t ? t2 ? 36 由余弦定理cos ? 6 2t1t2
由椭圆的第一定义 t1 ? t2 ? 10

?

? t1t 2 6 4
2 1 2

F1 O

.

F2

x

S? ? 64 ? 32 3

x2 y 2 变式二:已知椭圆 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0), F1 , F2是两个焦点, a b P是椭圆上一点,求?F1PF2最大时P点坐标. y 证明:设?F1PF2 ? ? 令 | PF | ? t , | PF | ? t 1 1 2 2 ?P 2 2 ? t1 ? t2 ? 4c 2 ? cos? ? F1 F2 x o 2t1t2 由椭圆的第一定义得: t1 ? t2 ? 2a 2 2 t1 ? t2 ? 4c 2 (t1 ? t2 ) 2 ? 2t1t2 ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 ? 2t1t2 ?cos? ? ? ? 2t1t2 2t1t2 2t1t2 2 t1 ? t 2 2 2b 2 (当t1 ? t2时取等号) ) ?a , ? cos? ? ? 1又 ? t1t 2 ? ( 2 t1t2

2b 2 ? cos? ? 2 ? 1 即当P(0,?b)时,?F1PF2最大. a

练习 1:已知椭圆上存在一点 P,使?F1PF2 ? 90?, 求椭圆离心率的范围。
由题意知: ?F1PO ? 45?
c 2 ? ? sin ?F1 PO ? a 2 2 ? ? e ?1 2
F1

y
a c
?

P
F2

o

b

x

练习 2 :已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点, P 为椭圆上一点,且 ∠F1PF2=60°.

(1)求椭圆离心率的范围;
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆短轴长有关。
c 1 解:(1 ) ? sin 30 ? ? a 2

y

1 ? ? e ?1 2

P
F1O

.

60?

(2)令 | PF 1 |? t1 , | PF 2 |? t 2

F2

.

x

1 3 ? ? S ?F1PF2 ? t1t2 sin 60 ? t1t2 2 4 2 2 2 2 2 2 t ? t ? 4 c 2 b ( t ? t ) ? 2 t t ? 4 c 2 1 2 由余弦定理得cos60? ? 1 ? 1 2 ? ?1 2t1t2 2t1t2 t1t 2 3 2 4 2 ?S b ? t1t 2 ? b ?F1PF2 ? 3 3

y2 x2 如图, P 为椭圆 x 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一动点, F1 , F2 为椭圆的左

右焦点,求证: S ? F PF
1

2

?F1 PF2 ? b tan 2
2

证明 :令 | B F1 |? r1 ,| B F2 |? r2 ,在 ? B F1 F2 中,由余弦定理,
y

r1 ? r2 ? ? 2r1r2 ? 4c 2 ? r ? r2 ? 4c cos ?F1 BF2 ? ? , 2r1r2 2r1r2
2 1 2 2 2

2 b 2 ? r1 r2 ? r1 r2
所以

2b 2 r1r2 ? 1 ? cos ?

. F

P O

1

. F

2

x

1 S?BF1F2 ? r1 r2 sin ? 2 1 2b 2 ? ? ? sin ? 2 1 ? cos? sin ? ? 2 2 ?b ? b tan 1 ? cos ? 2

(4)当点P在短轴端点位置时, θ最大.

课后作业
1. 40分钟 2.1.2 (二)


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