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2012年高中精品教案集:3.2.1几类不同增长的函数模型


3.2
3.2.1

函数模型及其应用
几类不同增长的函数模型

一、教学目标
(1) 使学生通过投资回报实例,对直线上升和指数爆炸有感性认识。 (2) 通过阅读理解题目中文字叙述所反映的实际背景,领悟其中的数学本质, 弄清题中出现的量及起数学含义。 (3) 体验由具体到抽象及数形结合的思维方法。

二、教学重点与难点 重点:将实际问题转化为函数模型,比教常数函数、一次函数、指数函数模
型的增长差异;结合实例让学生体会直线上升,指数爆炸等不同函数型增长的函义。

难点:怎样选择数学模型分析解决实际问题。

三、教学手段:
运用计算机、实物投影仪等多媒体技术。

四、教材分析:
1、 背景 (1) 圆的周长随着圆的半径的增大而增大: L=2π R (2)圆的面积随着圆的半径的增大而增大: S=π R2

(一次函数) (二次函数)

(3)某种细胞分裂时,由 1 个分裂成两 个,两个分裂成 4 个……,一个这样的细 胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是 y = 2x (指数 型函 数) 。 2、例题 例 1、假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的 回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多 回报 10 元; 方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番。 请问,你会选择哪种投资方案呢? 投资方案选择原则:

投入资金相同,回报量多者为优 (1) 比较三种方案每天回报量 (2) 比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最多,我们就在那段时间选择该方案。 方案一 x/ 天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 30 y/ 元 40 40 40 40 40 40 40 40 40 … 40 增长 量 /元 0 0 0 0 0 0 0 0 0 … 0 方案二 y/ 元 10 20 30 40 50 60 70 80 90 … 300 增长 量 /元 10 10 10 10 10 10 10 10 … 10 方案三 y/元 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 … 214748364.8 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 … 107374182.4 增长量/元

根据上表我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型,再通过比较它们的 增长情况,为选择投资方案提供依据。 解:设第 x 天所得回报为 y 元,则 方案一:每天回报 40 元; y=40 (x∈N*) 方 案 二 : 第 一 天 回 报 10 元 , 以 后 每 天 比 前 一 天 多 回 y=10x (x∈N*) 方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番。 Y=0.4×2x-1(x ? N * )

报 10 元 ;

图112-1

从每天的回报量来看: 第 1~4 天,方案一最多: 每 5~8 天,方案二最多: 第 9 天以后,方案三最多; 有人认为投资 1~4 天选择方案一; 5~8 天选择方案二; 9 天以后选择方案三。

累积回报表 天 数 方 案 一 二 三

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

40 10 0.4

80 30 1.2

120 60 2.8

160 100 6

200 150 12.4

240 210 25.2

280 280 50.8

320 360 102

360 450 204.4

400 550 409.2

440 660 816.8

结论 投资 8 天以下(不含 8 天) ,应选择第一种投资方案;投资 8~10 天,应选择第二种 投资方案;投资 11 天(含 11 天)以上,应选择第三种投资方案。

3.例题的启示: 解决实际问题的步骤: (1)实际问题 (2)读懂问题抽象概括 (3)数学问题 (4)演算推理 (5)数学问题的解 (6)还原说明 (7)实际问题的解 4.练习 某公司为了实现 1000 万元利润的目标, 准备制定一个激励销售部门的奖励方案: 在销售利润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且资金 y(单位:万元)随着销售利 润 x (单位: 万元)的增加而增加, 但资金数不超过 5 万元, 同时奖金不超过利润的 25%。 现有三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要 求呢? 5.小结 (1)解决实际问题的步骤: 实际问题 读懂问题 将问题抽象化 数学模型 解决问题

(2)几种常见函数的增长情况: 常数函数 一次函数 没有增长 直线上升

指数函数 指数爆炸

6.作业: 课本 116 页练习题集 1、2 题


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