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数列求和方法归纳


数列求和
一、直接求和法(或公式法) 掌握一些常见的数列的前 n 项和: 1 ? 2 ? 3 ? ……+n=
2 2 2 2

n( n ? 1) ,1+3+5+……+(2n-1)= n2 2
2

n(n ? 1)(2n ? 1) ? n(n ? 1) ? 1 ? 2 ? 3 ? ……+n = , 13 ? 23 ? 33 ? ……+n3 = ? 等. 6 ? 2 ? ?

例 1 求 ?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? ? ? 992 ? 1002 . 解:原式 ? (22 ?12 ) ? (42 ? 32 ) ? (62 ? 52 ) ? ?? (1002 ? 992 ) ? 3 ? 7 ?11 ? ?? 199 . 由等差数列求和公式,得原式 ? 变式练习:已知 log 3 x ?
1 n 解:1- 2 50 ? (3 ? 199) ? 5050 . 2

?1 ,求 x ? x 2 ? x 3 ? ...... ? x n ? ...... log 2 3

的前 n 项和.

二、倒序相加法 此方法源于等差数列前 n 项和公式的推导, 目的在于利用与首末两项等距离的两项 相加有公因式可提取,以便化简后求和. 例2 求
12 22 32 102 ? ? ? ? ? 的和. 12 ? 102 22 ? 92 32 ? 82 102 ? 12 12 22 32 102 ? ? ? ? ? 12 ? 102 22 ? 92 32 ? 82 102 ? 12

解:设 S ?

102 92 82 12 则 S ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ??? 2 2 . 10 ? 1 2 ? 9 3 ? 8 10 ? 1

两式相加,得 三、裂项相消法

2S ? 1? 1 ??? ? 1 , 1 ? 0S ? .5

常见的拆项公式有:

1 1 1 1 1 1 ) , ? ( ? ? ( n ? k ? n) , n( n ? k ) k n n ? k n?k ? n k

1 1 1 1 ? ) ,等. ? ( (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 例 3 已知 12 ? 22 ? ? ? n 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) , 6 3 5 7 2n ? 1 ? 2 ?? ? 2 (n ? N? ) 的和. 求 2? 2 2 2 2 1 1 ?2 1 ?2 ?3 1 ? 22 ? ? ? n 2 2n ? 1 2n ? 1 6 解:? an ? 2 , ? ? 2 2 1 1 ? 2 ??? n n ( n ? 1) n(n ? 1)(2n ? 1) 6

? 1 1 1 ? ? Sn ? 6 ? ? ?? ? ? 3 n n( ? ? ?1? 2 2 ?1 ) ?? 1 ? ? 1 1 1 1 ? ? ? 6 ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n ? 1? ?? 2 ? ? 2 3 ? ? 1 ? ? ? 6 ?1 ? ? ? n ?1 ? ln ? . n ?1

小 结 : 如 果 数 列 {an } 的 通 项 公 式 很 容 易 表 示 成 另 一 个 数 列 {bn } 的 相 邻 两 项 的 差 , 即

an ? bn?1 ? bn ,则有 Sn ? bn?1 ? b1 .这种方法就称为裂项相消求和法.
变式练习:求数列
1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S. 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n ( n ? 2)

解:∵

1 1 1 1 = ( ? ) n ( n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 3 1 1 1? 1 1 1 1 1 ? 1 ? )= ? ? Sn= ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )? = (1 ? ? 2 n ? 1 n ? 2 4 2n ? 2 2n ? 4 2? 3 2 4 n n?2 ? 2

四、错位相减法 源于等比数列前 n 项和公式的推导,对于形如 {anbn } 的数列,其中 {an } 为等差数列,{bn } 为等比数列,均可用此法. 例 4 求 x ? 3x2 ? 5x3 ? ?? (2n ?1) xn 的和. 解:当 x ? 1 时, Sn ?

x 2 x 2 (1 ? x n?1 ) (2n ? 1) x n?1 ; ? ? 1? x (1 ? x)2 1? x

当 x ? 1 时, Sn ? n2 .

小结:错位相减法的步骤是:①在等式两边同时乘以等比数列 {bn } 的公比;②将两个等式相 减;③利用等比数列的前 n 项和公式求和.

变式练习:求数列 a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a 为常数)的前 n 项和。 解: (1)若 a=0, 则 Sn=0 (3)若 a≠0 且 a≠1 则 Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan , ∴aSn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1 n ?1 a?a ? nan ?1 ∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+…+an- nan+1= 1? a n ?1 n ?1 a ? a na ∴ Sn= 当 a=0 时,此式也成立。 ? (a ? 1) (1 ? a) 2 1 ? a ∴Sn = (2)若 a=1,则 Sn=1+2+3+…+n=
n( n ? 1) 2

n(n ? 1) (a ? 1) 2 n ?1 a?a nan?1 ? (a ? 1) (1 ? a) 2 1 ? a

五、分组求和法 若数列的通项是若干项的代数和,可将其分成几部分来求. 1 1 1 1 4 , 6 , ?, 2n ? n ?1 , ? 的前 n 项和 Sn . 例 5 求数列 2 , 4 8 16 2
1 ? 1 1 ?1 1 1 Sn ? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n) ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? ? n(n ? 1) ? ? n?1 . 2 ? 2 2 ?2 2 2

变式练习:求数列 1 ,2 ,3
n2 ? n ? 1 1 ? 解: 2 2 ? 3n

1 3

1 9

1 1 ,4 ,? 的前 n 项和 27 81

数列求和基础训练
2 2 2 1.等比数列 {an } 的前n项和 Sn=2n-1,则 a12 ? a2 = ? a3 ? ? ? an

4n ? 1 3

2.设 Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (?1)n (2n ? 1) ,则 S n = (?1)n ? n . 3.
n 1 1 1 ? ??? ? . 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1) 3n ? 1

4.

1 1 1 1 1?1 1 1 1 ? ? ? ? ... ? = ? ? ? ? ? 2 ? 4 3?5 4 ? 6 (n ? 1)(n ? 3) 2? 2 3 n?2 n?3?

5. 数列 1,(1 ? 2),(1 ? 2 ? 22 ),?,(1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ),?的通项公式 an ? 2 n ? 1 ,前 n 项和 Sn ?
2 n ?1 ? n ? 2

6.

1 3 5 2n ? 1 2n ? 3 , 2 , 3 , ? , n , ? ; 的前 n 项和为 S n ? 3 ? 2n 2 2 2 2

数列求和提高训练 1.数列{an}满足:a1=1,且对任意的 m,n∈N*都有:am+n=am+an+mn,则
1 1 1 1 ? ? ??? ? a1 a2 a3 a2008

( A )
2008 2009

A.

4016 2009

B.

C.

2007 1004

D.

2007 2008

解:∵am+n=am+an+mn,∴an+1=an+a1+n=an+1+n, ∴利用叠加法得到: an ?

n(n ? 1) 1 2 1 1 ,∴ ? ? 2( ? ), 2 an n(n ? 1) n n ?1



4016 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . ? ? ??? ? 2(1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2(1 ? )? a1 a2 a3 a2008 2 2 3 2008 2009 2009 2009

2.数列{an}、{bn}都是公差为 1 的等差数列,若其首项满足 a1+b1=5,a1>b1,且 a1, b1∈N*,则数列{ abn }前 10 项的和等于 A.100 B.85 C.70 D.55 ( B )

解:∵an=a1+n-1,bn=b1+n-1

∴ abn =a1+bn-1=a1+(b1+n―1)―1=a1+b1+n-2=5

+n-2=n+3 则数列{ abn }也是等差数列,并且前 10 项和等于:

4 ? 13 ? 10 ? 85 答案:B. 2

3. 设 m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)· n, 则 m 等于
n ( n ? 1) 1 1 B. n(n+4) C. n(n+5) 3 2 2 3.解:因为 a n = n2 - n.,则依据分组集合即得.
2

( A ) D. n(n+7)
1 2

A.

答案;A.

4. 若 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1· n, 则 S17+S33+S50 等于 A.1 B.-1 C.0 D.2
?n ? 1 (n为奇) ? ? 2 解:对前 n 项和要分奇偶分别解决,即: Sn= ? ?? n (n为偶) ? 2 ?
答案:A

( A )

5.设{an}为等比数列,{bn}为等差数列,且 b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是 1,1,2,…,则{cn} 的前 10 项和为 ( A ) A.978 B.557 C.467 D.979


?q ? d ? 1 由题意可得 a1=1,设公比为 q,公差为 d,则 ? 2 ?q ? 2d ? 2
∴q2-2q=0,∵q≠0,∴q=2,∴an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,∴cn=2n-1+1-n,∴Sn=978. 答案:A

6. 若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+…+a10= A.15 B.12 C.-12 D.-15

( A )

解析 A 设 bn=3n-2,则数列{bn}是以 1 为首项,3 为公差的等差数列,所以 a1+a2
+…+a9+a10=(-b1)+b2+…+(-b9)+b10=(b2-b1)+(b4-b3)+…+(b10-b9)=5×3=15.

7.一个有 2001 项且各项非零的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为
解: 设此数列{an},其中间项为 a1001, 则 S 奇=a1+a3+a5+…+a2001=1001·a1001,S 偶=a2+a4+a6+…+a2000=1000a1001. 答案:

1001 1000

8.若 12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn,则 a=
解: 原式=

,b=
答案: ;? ;

,c=
1 1 2 6

.

(n ? 1)n ? (2n ? 1) 2n ? 3n ? n ? . 6 6
3 2

1 3

9.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且其第二项、第五项、第十四项分别 是等比数列{bn}的第二、三、四项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}对任意自然数 n 均有 求 c1+c2+c3+…+c2014 的值.
解:(1)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0) (2)当 n=1 时,c1=3; 当 n≥2 时,由 解得 d=2,∴an=2n-1,可得 bn=3n
-1

c c1 c2 c3 ? ? ? ? ? n ? an?1 成立. b1 b2 b3 bn

cn ? an ?1 ? an ,得 cn=2·3n-1, bn

故 cn ? ?

?3(n ? 1),
n ?1 ?2 ? 3 (n ? 2).

故 c1+c2+c3+…+c2014=3+2×3+2×32+…+2×32002=32015.

10.设数列{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列
? Sn ? ? ? 的前 n 项和,求 Tn. ?n ?
1 解析 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 Sn=na1+ n(n-1)d.∵S7=7,S15=75, 2
? ? ? ?7a1+21d=7, ?a1+3d=1, ?a1=-2, Sn 1 1 ∴? 即? 解得? ∴ = a1 + (n - 1)d = - 2 + (n - n 2 2 ?15a1+105d=75, ? ?d=1. ? ?a1+7d=5, ?

1). n.

Sn+1 Sn 1 1 ?S ? ∴ - = , ∴数列 ? n ? 是首项为-2,公差为 的等差数列. n 2 2 n+1 ?n ?

1 9 ∴Tn= n2- 4 4

2 2an 11.已知数列{an}的首项 a1=3,an+1= an+1
?1 ? ?n? (1)证明:数列 ? ? 1? 是等比数列;(2)求数列 ? ? 的前 n 项和 Sn. ? an ? ? an ?
解析 (1)∵an+1=

? an+1 1 1 1? 1 2an 1 1 2 ? ,∴ = = + ,∴ -1= ? ,又 a1= , ? 1 ? ? 2 2an 3 an+1 an+1 2an an+1 2 a ?
n

?

-1 an+1 ?1 ? 1 1 1 1 1 1 ∴ -1= ≠0,∴ -1≠0,∴ = ,∴数列 ? ? 1? 是以2为首项,2为公比的等比数 a1 2 an 1 2 ? an ? -1 an 1 1 ?1? (2)由(1)知 -1= · an 2 ?2?
n ?1

1

? ?

1 1 n n 1 2 3 n ?1? ? ? ? 即a =2n+1∴a =2n+n.设 Tn=2+22+23+…+2n.......① n n ?2?

n

n-1 1 1 2 n 1 1 1 1 1 n 则 Tn= 2+ 3+…+ n + n+1 . . . . . . . ② , ①-②得 Tn= + 2+ 3+…+ n- n+1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1? 1 ? ?1 ? n ? 2+n n?n+1? n 1 n 1 n 2? 2 ? = - n+1=1- n- n+1,∴Tn=2- n-1- n=2- n .又∵1+2+3+…+n= , 2 2 2 2 2 2 2 1 1? 2


2+n n?n+1? n +n+4 n+2 ?n? 数列 ? ? 的前 n 项和 Sn=2- n + = - n . 2 2 2 2 ? an ?
2


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