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概率习题答案3


第三章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量及其分布 习题 1 设(X,Y)的分布律为 X\Y 1 2 求 a. 分析: dsfsd1f6d54654646 解答: 由分布律性质∑i?jPij=1, 可知 1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1, 解得 a=2/9. 习题 2(1) 2.设(X,Y)的分布函数为 F(x,y),试用 F(x,y)表示: (1)P{a<X≤b,Y≤c}; 解答: P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c). 习题 2(2) 2.设(X,Y)的分布函数为 F(x,y),试用 F(x,y)表示: (2)P{0<Y≤b}; 解答: P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0). 习题 2(3) 2.设(X,Y)的分布函数为 F(x,y),试用 F(x,y)表示: (3)P{X>a,Y≤b}. 解答: P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b). 习题 3(1) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表: 试求: (1)P{12<X<32,0<Y<4; 解答: P{12<X<23,0<Y<4 2 3 1/18 1 1/6 1/9

1/3a1/9

P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3} =P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3} =14+0+0=14. 习题 3(2) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表: 试求: (2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4}; 解答: P{1≤X≤2,3≤Y≤4} =P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4} =0+116+0+14=516. 习题 3(3) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表: 试求: (3)F(2,3). 解答: F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3) =14+0+0+116+14+0=916. 习题 4 设 X,Y 为随机变量,且 P{X≥0,Y≥0}=37, P{X≥0}=P{Y≥0}=47, 求 P{max{X,Y}≥0}. 解答: P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y 至少一个大于等于 0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0} =47+47-37=57. 习题 5 (X,Y)只取下列数值中的值: (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0) 且相应概率依次为 16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表, 并写出关于 Y 的边 缘分布. 解答: (1)因为所给的一组概率实数显然均大于零,且有 16+13+112+512=1, 故所给的一 组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能 值,故事件: {X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1} 均为不可能事件,其概率必为零. 因而得到下表:

X\Y -1 0 2 =0+16+512=712, 同样可求得 P{Y=13=112,P{Y=1}=13, 关于的 Y 边缘分布见下表: Y

01/31 01/121/3 1/600 5/1200

(2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0}

01/31

pk 7/121/121/3 习题 6 设随机向量(X,Y)服从二维正态分布 N(0,0,102,102,0), 其概率密度为 f(x,y)=1200πex2+y2200, 求 P{X≤Y}. 解答: 由于 P{X≤Y}+P{X>Y}=1,且由正态分布图形的对称性,知 P{X≤Y}=P{X>Y}, 故 P{X≤Y}=12. 习题 7 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它, (1)确定常数 k; (3)求 P{X<1.5}; 解答: 如图所示 (1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1, 确定常数 k. ∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1, 所以 k=18. (2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38. (3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732. (4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23. 习题 8 已知 X 和 Y 的联合密度为 f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它, 试求:(1)常数 c; (2)X 和 Y 的联合分布函数 F(x,y). (2)求 P{X<1,Y<3}; (4)求 P{X+Y≤4}.

解答: (1)由于 1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4. (2)当 x≤0 或 y≤0 时,显然 F(x,y)=0; 当 x≥1,y≥1 时,显然 F(x,y)=1; 设 0≤x≤1,0≤y≤1, 有 F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2. 设 0≤x≤1,y>1, 有 F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2. 最后,设 x>1,0≤y≤1, 有 F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2. 函数 F(x,y)在平面各区域的表达式 F(x,y)={0,x≤0 或 y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x> 习题 9 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它, 求边缘概率密度 fY(y). 解答: fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy ={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它. fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx ={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它. 习题 10 设(X,Y)在曲线 y=x2,y=x 所围成的区域 G 里服从均匀分布, 求联合分布密度和边 缘分布密度. 解答: 区域 G 的面积 A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为 f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它, 从而 fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1, 即 fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它, fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1, 即 fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它. 3.2 条件分布与随机变量的独立性 习题 1 二维随机变量(X,Y)的分布律为 X\Y 01 01 7/157/307/301/15

(1)求 Y 的边缘分布律; (2)求 P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0}; (3)判定 X 与 Y 是否独立? 解答: (1)由(x,y)的分布律知,y 只取 0 及 1 两个值. P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=0.7 P{y=1}=∑i=01P{x=i,y=1}=130+115=0.3. (2)P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23, P{y=1∣x=0}=13. (3)已知 P{x=0,y=0}=715, 由(1)知 P{y=0}=0.7, 类似可得 P{x=0}=0.7. 因为 P{x=0,y=0}≠P{x=0}?P{y=0}, 所以 x 与 y 不独立. 习题 2 将某一医药公司 9 月份和 8 份的青霉素针剂的订货单分别记为 X 与 Y. 据以往积 累的资料知 X 和 Y 的联合分布律为 X\Y 5152535455 51525 0.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050 35455 .050.020.010.010.030.050.060.050.010.03 (1)求边缘分布律; (2)求 8 月份的订单数为 51 时,9 月份订单数的条件分布律. 解答: (1)边缘分布律为 X pk 5152535455 0.180.150.350.120.20

对应 X 的值,将每行的概率相加,可得 P{X=i}. 对应 Y 的值(最上边的一行), 将每列的概率相加,可得 P{Y=j}. Y pk 5152535455 0.280.280.220.090.13

(2)当 Y=51 时,X 的条件分布律为 P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28, k=51,52,53,54,55. 列表如下: k 5152535455 P{X=k∣Y=51} 6/287/285/285/285/28 习题 3 已知(X,Y)的分布律如下表所示,试求: (1)在 Y=1 的条件下,X 的条件分布律;

(2)在 X=2 的条件下,Y 的条件分布律. X\Y 012

012 1/41/8001/301/601/8 解答: 由联合分布律得关于 X,Y 的两个边缘分布律为 X pk Y 012 3/81/37/24 012

pk 5/1211/241/8 故(1)在 Y=1 条件下,X 的条件分布律为 X∣(Y=1) pk (2)在 X=2 的条件下,Y 的条件分布律为 Y∣(X=2) pk 012 4/703/7 012 3/118/110

习题 4 已知(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y)={3x,0<x<1,0<y<x0,其它, 求: (1)边缘概率密度函数;(2)条件概率密度函数. 解答: (1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={3x2,0<x<10,其它, fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={32(1-y2),0<y<10,其它. (2)对?y∈(0,1), fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2x1-y2,y<x<1,0,其它, 对?x∈(0,1), fY∣X(y∣x)=f(x,y)fX(x)={1x,0<y<x0,其它. 习题 5 X 与 Y 相互独立,其概率分布如表(a)及表(b)所示,求(X,Y)的联合概率分布, P{X+Y=1}, P{X+Y≠0}. X -2-101/2 pi 1/41/31/121/3 表(a) Y -1/213 pi 1/21/41/4

表(b) 解答: 由 X 与 Y 相互独立知 P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj), 从而(X,Y)的联合概率分布为 X\Y -1/2 1 3

-2- P{X=-2}P{Y=-1/2}P{X=-1}P{ P{X=-2}P{Y=1}P{X=-1} P{X=-2}P{Y=3}P{X=-1} 101 Y=-1/2}P{X=0}P{Y=-1/2}P{X P{Y=1}P{X=0}P{Y=1}P{ P{Y=3}P{X=0}P{Y=3}P{ /2 =1/2}P{Y=-1/2} X=1/2}P{Y=1} X=1/2}P{Y=3} 亦即表 X\Y -1/213 -2-101/2 1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12 P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112, P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0} =1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12 =1-112-16=34. 习题 6 某旅客到达火车站的时间 X 均匀分布在早上 7:55?8:00, 而火车这段时间开出的 时间 Y 的密度函数为 fY(y)={2(5-y)25,0≤y≤50,其它, 求此人能及时上火车站的概率. 解答: 由题意知 X 的密度函数为 fX(x)={15,0≤x≤50,其它, 因为 X 与 Y 相互独立,所以 X 与 Y 的联合密度为: fXY(x,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它, 故此人能及时上火车的概率为 P{Y>X}=∫05∫x52(5-y)125dydx=13. 习题 7 设随机变量 X 与 Y 都服从 N(0,1)分布,且 X 与 Y 相互独立,求(X,Y)的联合概 率密度函数. 解答: 由题意知,随机变量 X,Y 的概率密度函数分别是 fX(x)=12πe-x22, fY(y)=12πe-y22 因为 X 与 Y 相互独立,所以(X,Y)的联合概率密度函数是 f(x,y)=12πe-12(x+y)2.

习题 8 设随机变量 X 的概率密度 f(x)=12e-∣x∣(-∞<x<+∞), 问:X 与∣X∣是否相互独立? 解答: 若 X 与∣X∣相互独立,则?a>0, 各有 P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}?P{∣X∣≤a}, 而事件{∣X∣≤a}?{X≤a}, 故由上式有 P{∣X∣≤a}==P{X≤a}?P{∣X∣≤a}, ?P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0 ?P{∣X≤a∣}=0 或 1=P{X≤a}?(?a>0) 但当 a>0 时,两者均不成立,出现矛盾,故 X 与∣X∣不独立. 习题 9 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密 度为 fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0, (1)求 X 与 Y 的联合概率密度; (2)设有 a 的二次方程 a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率. 解答: (1)由题设易知 fX(x)={1,0<x<10,其它, 又 X,Y 相互独立,故 X 与 Y 的联合概率密度为 f(x,y)=fX(x)?fY(y)={12e-y2,0<x<1,y>00,其它; (2)因{a 有实根}={判别式 Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y}, 故如图所示得到: P{a 有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy =-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx] =1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx] =1-2π[Φ(1)-Φ(0), 又 Φ(1)=0.8413, Φ(0)=0.5, 于是 Φ(1)-Φ(0)=0.3413, 所以 P{a 有实根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51× 0.3413=0.1433. 3.3 二维随机变量函数的分布 习题 1

设随机变量 X 和 Y 相互独立, 且都等可能地取 1,2,3 为值, 求随机变量 U=max{X,Y} 和 V=min{X,Y}的联合分布. 解答: 由于 U≥V, 可见 P{U=i,V=j}=0(i<j).此外,有 P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3), P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j), 于是,随机变量 U 和 V 的联合概率分布为 V\概率\U 1 1 2 3 习题 2 设(X,Y)的分布律为 X\Y 试求:(1)Z=X+Y; (2)Z=XY; (4)Z=max{X,Y}的分布律. 解答: 与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型, 本质上是利用事件及其概率的 运算法则.注意,Z 的相同值的概率要合并. 概率 1/101/53/101/51/101/10 -112 -12 1/101/53/101/51/101/10 (3)Z=X/Y; 2 3

1/9 2/9 2/9 0 1/9 2/9 0 0 1/9

(X,Y)X+YXYX/Ymax (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-22 {x,Y} 41-1-1/2-221112222 于是 (1) X+Y -20134 pi (2) XY -20134 pi 1/21/51/101/101/10 (3) X/Y -2-1-1/212 pi (4) max{X,Y} -112 1/51/53/101/51/10 1/101/51/21/101/10

pi

1/101/57/10

习题 3 设二维随机向量(X,Y)服从矩形区域 D={(x,y∣0≤x≤2,0≤y≤1}的均匀分布,且 U={0,X≤Y1,X>Y, V={0,X≤2Y1,X>2Y, 求 U 与 V 的联合概率分布. 解答: 依题(U,V)的概率分布为 P{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y} =∫01dx∫x112dy=14, P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X>2Y}=0, P{U=1,V=0}=P{X>Y,X≤2Y}=P{Y<X≤2Y} =∫01dy∫y2y12dx=14, P{U=1,V=1} =1-P{U=0,V=0}-P{U=0,V=1}-P{U=1,V=0}=1/2, 即 U\V 01 习题 4 设(X,Y)的联合分布密度为 f(x,y)=12πe-x2+y22,Z=X2+Y2, 求 Z 的分布密度. 解答: FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}. 当 z<0 时,FZ(z)=P(?)=0; 当 z≥0 时, FZ(z)=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f(x,y)dxdy =12π∫∫x2+y2≤z2e-x2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0ze-ρ22ρdρ =∫0ze-ρ22ρdρ=1-e-z22. 故 Z 的分布函数为 FZ(z)={1-e-z22,z≥00,z<0. Z 的分布密度为 fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0. 习题 5 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它, (1)问 X 和 Y 是否相互独立?(2)求 Z=X+Y 的概率密度. 解答: (1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy 01 1/401/41/2

={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0 \under2line 令 x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0, 由对称性知 fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0, 显然 f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0, 所以 X 与 Y 不独立. (2)用卷积公式求 fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx. 当{x>0z-x>0 即 {x>0x<z 时,f(x,z-x)≠0, 所以 当 z≤0 时,fZ(z)=0; 当 z>0 时,fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z. 于是,Z=X+Y 的概率密度为 fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0. 习题 6 设随机变量 X,Y 相互独立,若 X 服从(0,1)上的均匀分布,Y 服从参数 1 的指数 分布,求随机变量 Z=X+Y 的概率密度. 解答: 据题意,X,Y 的概率密度分布为 fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={e-y,y≥00,y<0, 由卷积公式得 Z=X+Y 的概率密度为 fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy =∫0+∞fX(z-y)e-ydy. 由 0<z-y<1 得 z-1<y<z,可见: 当 z≤0 时,有 fX(z-y)=0, 故 fZ(z)=∫0+∞0?e-ydy=0; 当 z>0 时, fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z, 即 fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1. 习题 7 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它. (1)试确定常数 b; (2)求边缘概率密度 fX(x),fY(y); (3)求函数 U=max{X,Y}的分布函数. 解答: (1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数 b. ∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1, 所以 b=11-e-1,从而 f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.

(2)由边缘概率密度的定义得 fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它, fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它 (3)因为 f(x,y)=fX(x)fY(y),所以 X 与 Y 独立,故 FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u), 其中 FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1, 所以 因此 FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1. FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1. 同理 FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0, 习题 8 设系统 L 是由两个相互独立的子系统 L1 和 L2 以串联方式联接而成,L1 和 L2 的寿命分别为 X 与 Y, 其概率密度分别为 ?1(x)={αe-αx,x>00,x≤0, ?2(y)={βe-βy,y>00,y≤0, 其中 α>0,β>0,α≠β, 试求系统 L 的寿命 Z 的概率密度. 解答: 设 Z=min{X,Y}, 则 F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z} =1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X≥z,Y≥z} =1-[1P{X<z}][1-P{Y<z}]=1-[1-F1{z}][1-F2{z}] 由于 F1(z)={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<0, F2(z)={1-e-βz,z≥00,z<0, 故 F(z)={1-e-(α+β)z,z≥00,z<0, 从而 ?(z)={(α+β)e-(α+β)z,z>00,z≤0. 习题 9 设随机变量 X,Y 相互独立,且服从同一分布,试证明: P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2. 解答: 设 min{X,Y}=Z,则 P{a<min{X,Y}≤b}=FZ(b)-FZ(a), FZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z} =1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z} =1-[P{X>z}]2, 代入得 P{a<min{X,Y}≤b}=1-[P{X>b}]2-(1-[P{X>a}]2)

=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2. 证毕. 复习总结与总习题解答 习题 1 在一箱子中装有 12 只开关,其中 2 只是次品,在其中取两次,每次任取一只, 考虑两种试验:(1)放回抽样;(2)不放回抽样.我们定义随机变量 X,Y 如下: X={0,若第一次取出的是正品 1,若第一次取出的是次品, Y={0,若第二次取出 的是正品 1,若第二次取出的是次品, 试分别就(1),(2)两种情况,写出 X 和 Y 的联合分布律. 解答: (1)有放回抽样,(X,Y)分布律如下: P{X=0,Y=0}=10× 1012× 12=2536; P{X=1,Y=0}=2× 1012× 12=536, P{X=0,Y=1}=10× 212× 12=536, P{X=1,Y=1}=2× 212× 12=136, (2)不放回抽样,(X,Y)的分布律如下: P{X=0,Y=0}=10× 912× 11=4566, P{X=0,Y=1}=10× 212× 11=1066, P{X=1,Y=0}=2× 1012× 11=1066, P{X=1,Y=1}=2× 112× 11=166, Y\ X 01 01 45/6610/6610/661/66 习题 2 假设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布,随机变量 Xk={0,若 Y≤k1,若 Y>k(k=1,2), 求(X1,X2)的联合分布率与边缘分布率. 解答: 因为 Y 服从参数为 1 的指数分布,X1={0,若 Y≤11,若 Y>1, 所以有 P{X1=1}=P{Y>1}=∫1+∞e-ydy=e-1, P{X1=0}=1-e-1, 同理 P{X2=1}=P{Y>2}=∫2+∞e-ydy=e-2, P{X2=0}=1-e-2, 因为 P{X1=1,X2=1}=P{Y>2}=e-2, P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}-P{X1=1,X2=1}=e-1-e-2, P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1}=1-e-1, P{X1=0,X2=1}=P{X1=0}-P{X1=0,X2=0}=0, 故(X1,X2)联合分布率与边缘分布率如下表所示: X1\slashX2 0 1 P{X2=j} 习题 3 0 1-e-1 1 P{X1=i} 0 1-e-1 e-1

e-1-e-2 e-2 1-e-2 e-2

在元旦茶话会上,每人发给一袋水果,内装 3 只橘子,2 只苹果,3 只香蕉. 今 从袋中随机抽出 4 只,以 X 记橘子数,Y 记苹果数,求(X,Y)的联合分布. 解答: X 可取值为 0,1,2,3,Y 可取值 0,1,2. P{X=0,Y=0}=P{?}=0, P{X=0,Y=1}=C30C21C33/C84=2/70, P{X=0,Y=2}=C30C22C32/C84=3/70, P{X=1,Y=0}=C31C20C33/C84=3/70, P{X=1,Y=1}=C31C21C32/C84=18/70, P{X=1,Y=2}=C31C22C31/C84=9/70, P{X=2,Y=0}=C32C20C32/C84=9/70, P{X=2,Y=1}=C32C21C31/C84=18/70, P{X=2,Y=2}=C32C22C30/C84=3/70, P{X=3,Y=0}=C33C20C31/C84=3/70, P{X=3,Y=1}=C33C21C30/C84=2/70, P{X=3,Y=2}=P{?}=0, 所以,(X,Y)的联合分布如下: X\Y 0123 012 03/709/703/702/7018/7018/702/703/709/703/700 习题 4 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关 于 X 与 Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处: X\Y y1 x1 x2 1/8 p?j 1/6 1 解答: 由题设 X 与 Y 相互独立,即有 pij=pi?p?j(i=1,2;j=1,2,3), p?1-p21=p11=16-18=124, 又由独立性,有 p11=p1?p?1=p1?16 故 p1?=14. 从而 p13=14-124-18, 又由 p12=p1?p?2, 即 18=14?p?2. 从而 p?2=12. 类似的有 p?3=13,p13=14,p2?=34. 将上述数值填入表中有 X\Y y1 x2 1/8 p?j 1/6 习题 5 y2 y3 pi? 3/4 1 x1 1/24 1/8 1/12 1/4 3/8 1/4 1/2 1/3 y2 1/8 y3 pi?

设随机变量(X,Y)的联合分布如下表: 求:(1)a 值; (2)(X,Y)的联合分布函数 F(x,y); (3)(X,Y)关于 X,Y 的边缘分布函数 FX(x)与 FY(y). 解答: (1)\because 由分布律的性质可知∑i?jPij=1, 故 14+14+16+a=1, ∴a=13. (2)因 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} ①当 x<1 或 y<-1 时,F(x,y)=0; ②当 1≤x<2,-1≤y<0 时,F(x,y)=P{X=1,Y=-1}=1/4; ③当 x≥2,-1≤y<0 时, F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}=5/12; ④当 1≤x<2,y>0 时, F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}=1/2; ⑤当 x≥2,y≥0 时, F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1} +P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0} =1; 综上所述,得(X,Y)联合分布函数为 F(x,y)={0,x<1 或 y<-11/4,1 ≤ x<2,-1 ≤ y<05/12,x ≥ 2,-1 ≤ y<01/2,1≤x<2,y≥01,x≥2,y≥0. (3)由 FX(x)=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi<x∑j=1+∞pij, 得(X,Y)关于 X 的边缘分布函数 为: FX(x)={0,x<114+14,1≤x<214+14+16+13,x≥2={0,x<11/2,1≤x<21,x≥2, 同理,由 FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij, 得(X,Y)关于 Y 的边缘分 布函数为 FY(y)={0,y<-12/12,-1≤y<01,y≥0. 习题 6 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)={c(R-x2+y2),x2+y2<R0,x2+y2≥R, 求:(1)常数 c; (2)P{X2+Y2≤r2}(r<R). 解答: (1)因为 1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dydx=∫∫x2+y2<Rc(R-x2+y)dxdy =∫02π ∫0Rc(R-ρ )ρ dρ dθ =cπ R33, 所以有 c=3π R3. (2)P{X2+Y2≤r2}=∫∫x2+y2<r23π R3[R-x2+y2]dxdy =∫02π ∫0r3π R3(R-ρ )ρ dρ dθ =3r2R2(1-2r3R). 习题 7 设 f(x,y)={1,0≤x≤2,max(0,x-1)≤y≤min(1,x)0,其它, 求 fX(x)和 fY(y). 解答: max(0,x-1)={0,x<1x-1,x≥1, min(1,x)={x,x<11,x≥1, 所以,f(x,y)有意义的区域(如图)可分为 {0≤x≤1,0≤y≤x},{1≤x≤2,1-x≤y≤1},

即 f(x,y)={1,0≤x≤1,0≤y≤x1,1≤x≤2,x-1≤y≤1,0,其它 所以 fX(x)={∫0xdy=x,0≤x<1∫x-11dy=2-x,1≤x≤20,其它, fY(y)={∫yy+1dx=1,0≤y≤10,其它. 习题 8 若(X,Y)的分布律为则α ,β 应满足的条件是?, 若 X 与 Y 独立,则α =?,β =?. 解答: 应填α +β =13;29;19. 由分布律的性质可知∑i?jpij=1, 故 16+19+118+13+α+β=1, 即α +β =13. 又因 X 与 Y 相互独立,故 P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}, 从而 α=P{X=2,Y=2}=P{X=i}P{Y=j}, =(19+α)(14+α+β)=(19+α)(13+13)=29, β=P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2} =(118+β )(13+α +β )=(118+β )(13+13), ∴ β =19. 习题 9 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y)={ce-(2x+y),x>0,y>00,其它, (1)确定常数 c; (2)求 X,Y 的边缘概率密度函数; (3)求联合分布函数 F(x,y); (4)求 P{Y≤X}; (5)求条件概率密度函数 fX∣Y(x∣y); (6)求 P{X<2∣Y<1}. 解答: (1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1 求常数 c. ∫0+∞∫0+∞ce-(2x+y)dxdy=c?(-12e-2x)\vline0+∞?(-e-y)∣0+∞=c2=1, 所以 c=2. (2)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞2e-2xe-ydy,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0, fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0+∞2e-2xe-ydx,y>00,其它={e-y,y>00,y≤0. (3)F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dvdu ={∫0x∫0y2e-2ue-vdvdu,x>0,y>00,其它 ={(1-e-2x)(1-e-y),x>0,y>00,其它. (4)P{Y≤X}=∫0+∞dx∫0x2e-2xe-ydy=∫0+∞2e-2x(1-e-x)dx=13. (5)当 y>0 时, fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2e-2xe-ye-y,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0. (6)P{X<2∣Y<1}=P{X<2,Y<1}P{Y<1} =F(2,1)∫01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4. 习题 10 设随机变量 X 以概率 1 取值为 0, 而 Y 是任意的随机变量,证明 X 与 Y 相互独 立. 解答: 因为 X 的分布函数为 F(x)={0,当 x<0 时 1,当 x≥0 时, 设 Y 的分布函数为 FY(y),(X,Y)的分布函数为 F(x,y),则当 x<0 时,对任意 y, 有 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}

=P{?∩(Y≤y)}=P{?}=0=FX(x)FY(y); 当 x≥0 时,对任意 y, 有 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)} =P{S∩(Y≤y)}=P{Y≤y}=Fy(y)=FX(x)FY(y), 依定义,由 F(x,y)=FX(x)FY(y)知,X 与 Y 独立. 习题 11 设连续型随机变量(X,Y)的两个分量 X 和 Y 相互独立,且服从同一分布,试证 P{X≤Y}=1/2. 解答: 因为 X,Y 独立,所以 f(x,y)=fX(x)fY(y). P{X≤Y}=∫∫x≤yf(x,y)dxdy=∫∫x≤yfX(x)fY(y)dxdy =∫-∞+∞[fY(y)∫-∞yfX(x)dx]dy=∫-∞+∞[fY(y)FY(y)]dy =∫-∞+∞FY(y)dFY(y)=F2(y)2∣-∞+∞=12, 也可以利用对称性来证,因为 X,Y 独立同分布,所以有 P{X≤Y}=P{Y≤X}, 而 P{X≤Y}+P{X≥Y}=1, 故 P{X≤Y}=1/12. 习题 12 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 若 X 与 Y 相互独立,求参数 a,b,c 的值. 解答: 关于 X 的边缘分布为 X x1x2x3 pk a+1/9b+1/9c+1/3 关于 Y 的边缘分布为 Y y1y2

pk 1/9+a+c4/9+b 由于 X 与 Y 独立,则有 p22=p2?p?2 得 b=(b+19)(b+49) ① p12=p1?p?2 得 19=(a+19)(b+49) ② 由式①得 b=29, 代入式②得 a=118. 由分布律的性质,有 a+b+c+19+19+13=1, 代入 a=118,b=29, 得 c=16. 易验证,所求 a,b,c 的值,对任意的 i 和 j 均满足 pij=pi?× p?j. 因此,所求 a,b,c 的值为 a=118,b=29,c=16. 习题 13 已知随机变量 X1 和 X2 的概率分布为 且 P{X1X2=0}=1. (1)求 X1 和 X2 的联合分布律; (2)问 X1 和 X2 是否独立? 解答:

(1)本题是已知了 X1 与 X2 的边缘分布律,再根据条件 P{X1X2=0}=1, 求出联合 分布. 列表如下: X2\X1 01 -101 1/401/401/20 P{X2=j} 1/21/2 1

P{X1=i} 1/41/21/4

由已知 P{X1X2=0}=1, 即等价于 P{X1X2≠0}=0, 可知 P{X1=1,X2=1}=0,P{X1=-1,X2=1}=0. 再由 p?1=p-11+p11+p01, 得 p01=12, p-10=p-1?=p-11=14,p10=p1?-p11=14, 从而得 p00=0. (2)由于 p-10=14≠p-1??p?0=14?12=18, 所以知 X1 与 X2 不独立. 习题 14 设(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y)={1π R2,x2+y2≤R20,其它, (1)求 X 与 Y 的边缘概率密度;(2)求条件概率密度,并问 X 与 Y 是否独立? 解答: (1)当 x<-R 或 x>R 时,fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=∫-∞+∞0dy=0; 当-R≤x≤R 时, fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=1π R2∫-R2-x2R2-x2dy=2π R2R2-x2. 于是 fX(x)={2R2-x2π R2,-R≤x≤R0,其它. 由于 X 和 Y 的地位平等,同法可得 Y 的边缘概率密度是: fY(y)={2R2-y2π R2,-R≤y≤R0,其它. (2)fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y) 注意在 y 处 x 值位于∣x∣≤R2-y2 这个范围内,f(x,y)才有非零值,故在此范围 内,有 fX∣Y(x∣y)=1πR22πR2?R2-y2=12R2-y2, 即 Y=y 时 X 的条件概率密度为 fX∣Y(x∣y)={12R2-y2,∣x∣≤R2-y20,其它. 同法可得 X=x 时 Y 的条件概率密度为 fY∣X(y∣x)={12R2-x2,∣y∣≤R2-x20,其它. 由于条件概率密度与边缘概率密度不相等,所以 X 与 Y 不独立. 习题 15 设(X,Y)的分布律如下表所示 X\Y -112 -12 1/102/103/102/101/101/10 求:(1)Z=X+Y; (2)Z=max{X,Y}的分布律. 解答: 与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类似, 本质上是利用事件及其概率的 运算法则. 注意,Z 的相同值的概率要合并. 概率 (X,Y)X+YXYX/Ymax{X,Y} 1/102/103/102/101/101/10 (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221-112222

于是(1) X+Y -20134 pi 1/102/105/101/101/10 (2) max{X,Y} -112 pi 1/102/107/10

习题 16 设(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={1,0<x<1,0<y<2(1-x)0,其他, 求 Z=X+Y 的概率密度. 解答: 先求 Z 的分布函数 Fz(z),再求概率密度 fz(z)=dFz(z)dz. 如右图所示. 当 z<0 时,Fz(z)=P{X+Y≤z}=0; 当 0≤z<1 时, Fz(z)=P{X+Y≤z}=∫∫x+y≤zf(x,y)dxdy =∫0zdx∫0z-x1dy=∫0z(z-x)dx=z2-12x2∣0z=12z2; 当 1≤z<2 时, Fz(z)=∫02-zdx∫0z-xdy+∫2-z1dx∫02(1-x)dy =z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2; 当 z≥2 时,∫∫Df(x,y)dxdy=∫01dx∫02(1-x)dy=1. 综上所述 Fz(z)={0,z<012z2,0≤z<1z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2,1≤z<21,z≥2, 故 fz(z)={z,0≤z<12-z,1≤z<20,其它. 习题 17 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={2e-(x+2y),x>0,y>00,其它, 求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数. 解答: 按定义 FZ(Z)=P{x+2y≤z}, 当 z≤0 时,FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫∫x+2y≤z0dxdy=0. 当 z>0 时,FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫0zdx∫0(z-x)/22e-(x+2y)dy =∫0ze-x?(1-ex-z)dx=∫0z(e-x-e-z)dx =[-e-x]∣0z-ze-z=1-e-z-ze-z, 故分布函数为 FZ(Z)={0,z≤01-e-z-ze-z,z>0. 习题 18 设随机变量 X 与 Y 相互独立,其概率密度函数分别为 fX(x)={1,0≤x≤10,其它, fY(y)={Ae-y,y>00,y≤0,

求:(1)常数 A; (2)随机变量 Z=2X+Y 的概率密度函数. 解答: (1)1=∫-∞+∞fY(y)dy=∫0+∞A?e-ydy=A. (2)因 X 与 Y 相互独立,故(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)={e-y,0≤x≤1,y>00,其它. 于是当 z<0 时,有 F(z)=P{Z≤z}=P{2X+Y≤z}=0; 当 0≤z≤2 时,有 F(z)=P{2X+Y≤z}=∫0z/2dx∫0z-2xe-ydy=∫0z/2(1-e2x-z)dx; 当 z>2 时,有 F(z)=P{2X+Y≤2}=∫01dx∫0z-2xe-ydy=∫01(1-e2x-z)dx. 利用分布函数法求得 Z=2X+Y 的概率密度函数为 fZ(z)={0,z<0(1-e-z)/2,0≤z<2(e2-1)e-z/2,z≥2. 习题 19 设随机变量 X,Y 相互独立,若 X 与 Y 分别服从区间(0,1)与(0,2)上的均匀分布, 求 U=max{X,Y}与 V=min{X,Y} 的概率密度. 解答: 由题设知,X 与 Y 的概率密度分别为 fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={1/2,0<y<20,其它, 于是,①X 与 Y 的分布函数分别为 FX(x)={0,x≤0x,0≤x<11,x≥1, FY(y)={0,y<0y/2,0≤y<21,y≥2, 从而 U=max{X,Y}的分布函数为 FU(u)=FX(u)FY(u)={0,u<0u2/2,0≤u<1u/2,1≤u<21,u≥2, 故 U=max{X,Y}的概率密度为 fU(u)={u,0<u<11/2,1≤u<20,其它. ②同理,由 FV(v)=1-[1-FX(v)][1-FY)] =FX(v)+FY(v)-FX(v)FY(v)=FX(v)+FY(v)-FU(v), 得 V=min{X,Y}的分布函数为 FV(v)={0,v<0v2(3-v),0≤v<11,v≥1, 故 V=min{X,Y}的概率密度为 fV(v)={32-v,0<v<10,其它. 注:(1)用卷积公式,主要的困难在于 X 与 Y 的概率密度为分段函数,故卷积需 要分段计算;(2)先分别求出 X,Y 的分布函数 FX(x)与 FY(y), 然后求出 FU(u), 再求导得 fU(u); 同理先求出 FV(v), 求导即得 fV(v).


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