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河北省衡水中学2011届高三下学期第一次调研考试(理科数学)


2010河北省衡水中学 2010-2011 学年度第二学期第一次调研考试 高三年级数学试卷(理科) 高三年级数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 选择题(每小题 5 分,共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 序号填涂在答题卡上) 1.已知集合 A = {x | x ? 2 x > 0}, B = { y | y = 2 , x > 0} , R 是实数集,则 C R B I A 等
2 x

(

)

于 A. [0,1] B. ? ∞, ( 0) C.( ? ∞,] 0 D. (0,1]
( )

2.已知集合 M = {m | m = i n ,n ∈ N} , 其中 i 2 = ?1 ,则下面属于 M 的元素是
A (1 + i ) + (1 ? i ) B (1 + i ) ? (1 ? i ) C (1 + i )(1 ? i ) D

1+ i 1? i

3.已知 α 、 β 、γ 为互不重合的三个平面,命题 p : 若 α ⊥ β , β ⊥ γ ,则 α // γ ;命题 q : 若 α 上不共线的三点到 β 的距离相等,则 α // β 。对以上两个命题,下列结论中正确的是 ( ) A.命题“ p 且 q ”为真 C.命题“ p 或 q ”为假 B.命题“ p 或 ?q ”为假 D.命题“ ?p 且 ?q ”为假

4.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且

An 7 n + 45 = , Bn n+3
( )

则使得 A.1

an 为正偶数时, n 的值是 bn
B.2 C.5 D.3 或 11
2

5. 若函数 f(x)的导函数 f ′( x ) = x ? 4 x + 3 ,则使得函数 f ( x ? 1) 单调递减的一个充分 不必要条件是 x∈ A. (0,1) B.[0,2] C. (2,3) D. (2,4) 6. 6 个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最少坐 2 人,则不同的乘车方法数 为( ) A.40 B.50 C.60 D.70 7.如图,过抛物线 x = 4 y 焦点的直线依次交抛物线与圆 x + ( y ? 1) = 1
2 2 2





于点 A、B、C、D,则

AB ? CD 的值是(



A.8 B.4 C.2 D.1 8. 在样本的频率分布直方图中, 共有 9 个小长方形, 若第一个 长方形的面积为 0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等 差数列且公差互为相反数,若样本容量为 160, 则中间一组(即 第 五 组 ) 的 频 数 为 ( ) A.12 B.24 C.36 D.48 9. 表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上, 则此球的体积为 A. π ( )

1 3

B.

2 π 3

C. π

2 3

D.

2 2 π 3

10. 点 P (2, t )在不等式组 ?

?x ? y ? 4 ≤ 0 表 示 的 平 面 区 域 内 , 则 点 P ( 2,t ) 到 直 线 ?x + y ? 3 ≤ 0
( D.8 )

3 x + 4 y + 10 = 0 距离的最大值为
A.2 B.4 C.6

11.函数 f ( x ) 的定义域为 D,若对于任意 x1 , x2 ∈ D ,当 x1 < x2 时都有 f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) , 则称函数 f ( x ) 在 D 上为非减函数,设函数 f ( x ) 在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个

x 1 f (0) = 0 ; ② f ( ) = f ( x) ; ③ 3 2 1 1 f (1 ? x) = 1 ? f ( x) ,则 f ( ) + f ( ) 等于 ( ) 3 8 3 1 2 A. B. C.1 D. 4 2 3
条 件 : ① 12.已知数列 {an } 满足:a1 = 1 ,a2 =
*

a1a1 a2 a1a2 a3 a2 a1 a3

a 1 , an + 2 = 且 2 an + an +1
a1an an+1

2 n +1

a1 a3 a3 a1 a2 a2 a4 a4 a4 …………………………

(n∈N ),则右图中第 9 行所有数的和为 A 90 B 9! C1022

D1024

aa a2 an?1 aa … i n +1?i … n 1 an+1 an+1 a n +1

高#考#资#源#网 www.k@s@5@u.com 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 填空题( 把答案填在答题纸的横线上) 填空题(每题 5 分,共 20 分。把答案填在答题纸的横线上) 13. 已知 f ( x ) =| x ? 4 | + | x + 6 | 的最小值为 n, 则二项式 (2 x 2 + 项. 14.方程 x + 3ax + 3a + 1 = 0( a > 2) 的两根为 tan A, tan B ,且 A, B ∈ ( ?
2

1 n ) 展开式中常数项是第 x

π π

, ) ,则 2 2

A+ B =

。 则 OP ? cos ∠AOP ( O 为

?x ? y + 1 ≥ 0 ? 15.已知点 P ( x, y ) 的坐标满足 ? x + y ≤ 6 ,设 A(2,1) , ? y ?1 ≥ 0 ?
坐标原点)的最大值为 .

16. 在平面直角坐标系中, 定义 d ( P, Q ) = x1 ? x2 + y1 ? y2 为两点 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) 之 间的“折线距离”.在这个定义下,给出下列命题: ①到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个正方形; ②到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个圆; ③到 M ( ?1, 0), N (1, 0) 两点的“折线距离”之和为 4 的点的集合是面积为 6 的六边 形; ④到 M ( ?1, 0), N (1, 0) 两点的“折线距离”差的绝对值为 1 的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是____________. (写出所有正确命题的序号) 解答题( 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 三、解答题(本大题共 6 小题,共 62 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写 在答题纸的相应位置) 在答题纸的相应位置) 17.(本小题 10 分) 已知函数 f ( x ) = (Ⅰ)若 x ∈ (0,

3 sin 2 x + sin x cos x ?

3 (x ∈ R ) . 2

π
2

) ,求 f (x) 的最大值; 1 BC ,求 的值. 2 AB

(Ⅱ)在 ?ABC 中,若 A < B , f ( A) = f ( B ) =

18.(本小题 12 分) 象棋比赛中,胜一局得 2 分,负一局得 0 分,和棋一局得 1 分,在甲对乙的每局比赛中,甲 胜、和、负的概率依次为 0.5,0.3,0.2.现此二人进行两局比赛,得分累加。 (I)求甲得 2 分的概率; (II)记甲得分为 ξ , 求ξ 的分布列和期望。

19. (本小题 12 分). 如图,正方形 ABCD 所在平面与圆 O 所在平面相交于 CD , 线段 CD 为圆 O 的弦, AE 垂直于圆 O 所在平面,垂足 E 是圆 O 上异于 C . D 的点, AE = 3 ,圆 O 的直径为 9. (I)求证:平面 ABCD ⊥ 平面 ADE ;

(II)求二面角 D ? BC ? E 的平面角的正切值. 20. (本小题 12 分) 设椭圆 C1:

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F1、F2, a2 b2
P F1

y

下顶点为 A,线段 OA 的中点为 B(O 为坐标原点) ,如图.若抛 物线 C2: y = x ? 1 与 y 轴的交点为 B,且经过 F1,F2 点.
2

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设 M(0, ?

O N M B A Q (第 20 题)

F2 x

4 ) N 为抛物线 C2 上的一动点,过点 N 作抛 , 5

物线 C2 的切线交椭圆 C1 于 P、 两点, ?MPQ 面积的最大值. Q 求

21.(本小题 12 分) 设函数 f ( x ) = ln x ? (Ⅰ)当 a = b =

1 2 ax ? bx. 2

1 时,求 f (x ) 的最大值; 2 1 2 a (Ⅱ)令 F ( x ) = f ( x ) + ax + bx + , 0 < x ≤ 3 ) ( ,其图象上任意一点 P ( x0 , y0 ) 处切线 2 x 1 的斜率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2
(Ⅲ)当 a = 0 , b = ?1 ,方程 2mf ( x ) = x 2 有唯一实数解,求正数 m 的值. 22.(本小题 12 分) 已知数列 {a n } , {bn } 满足 bn = a n +1 ? a n ,其中 n = 1, 2, 3, L . (Ⅰ)若 a1 = 1, bn = n ,求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn +1bn ?1 = bn ( n ≥ 2) ,且 b1 = 1, b2 = 2 . (ⅰ)记 c n = a 6 n ?1 ( n ≥ 1) ,求证:数列 {c n } 为等差数列; (ⅱ)若数列 { 件.

an } 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项 a1 应满足的条 n

20102010-2011 学年度第二学期一调考试高三数学答案 理科) (理科)

一、选择题 BDCDC 二、填空题 13.9 三、解答题 17. 解: (Ⅰ) f ( x ) =

BDCBB 14. ?

AC

3 π 4

15.

16. ①③④

3 (1 ? cos 2 x) 1 3 + sin 2 x ? 2 2 2
……………2 分

=

1 3 π sin 2 x ? cos 2 x = sin(2 x ? ) . 2 2 3

3 5π ∴ 当 2 x ? = 时,即 x = 时, f (x ) 的最大值为 1 . …………4 分 3 2 12 π (Ⅱ)Q f ( x ) = sin( 2 x ? ) , 3 π π 5π 若 x 是三角形的内角,则 0 < x < π ,∴ ? < 2 x ? < . 3 3 3 1 π 1 π π π 5π 令 f ( x ) = ,得 sin(2 x ? ) = ,∴ 2 x ? = 或 2 x ? = , 2 3 2 3 6 3 6 π 7π 解得 x = 或 x = . ……………6 分 4 12 1 由已知, A , B 是△ ABC 的内角, A < B 且 f ( A) = f ( B ) = , 2 π 7π π ∴ A= ,B = ,∴ C = π ? A ? B = . ……………8 分 4 12 6 π 2 sin BC sin A 4 = 2 = 2. = = 又由正弦定理,得 ……………10 分 1 AB sin C sin π 6 2

Q0 < x <

π π
2



∴?

π
3

< 2x ?

π

<

π

2π . 3

18. (I)解:分别记甲第 i 局胜、和、负为事件 Ai , Bi , C i (i = 1,2) ,则

P( Ai ) = 0.5, P( Bi ) = 0.3, P(C i ) = 0.2.
甲得 2 分的事件为 A1C 2 + C1 A2 + B1 B2 ,其概率
1 P = 0.3 × 0.3 + C 2 0.5 × 0.2 = 0.29

……………………6 分

(II) ξ 的可能值为 0,1,2,3,4,其中

P(ξ = 0) = 0.2 × 0.2 = 0.04
1 P(ξ = 1) = C 2 0.2 × 0.3 = 0.12

P (ξ = 2) = 0.29
1 P(ξ = 3) = C 2 0.5 × 0.3 = 0.3

P(ξ = 4) = 0.5 × 0.5 = 0.25

ξ 的分布列为 ξ
P 0 0.04 1 0.12 2 0.29 3 0.3 4 0.25

………………10 分

Eξ = 0 × 0.09 + 1 × 0.12 + 2 × 0.34 + 3 × 0.2 + 4 × 0.25 = 2.4. ………………12 分
(I)证明:∵ AE 垂直于圆 O 所在平面, CD 在圆 O 所在平面上, 19. 解: ∴ AE ⊥ CD . 在正方形 ABCD 中, CD ⊥ AD , ∵ AD I AE = A ,∴ CD ⊥ 平面 ADE . ∵ CD ? 平面 ABCD ,∴平面 ABCD ⊥ 平面 ADE . (II)解法 1:∵ CD ⊥ 平面 ADE , DE ? 平面 ADE ,∴ CD ⊥ DE . ∴ CE 为圆 O 的直径,即 CE = 9 . 设正方形 ABCD 的边长为 a , 在 Rt △ CDE 中, DE = CE ? CD = 81 ? a ,
2 2 2 2

在 Rt △ ADE 中, DE = AD ? AE = a ? 9 ,
2 2 2 2

由 81 ? a = a ? 9 ,解得, a = 3 5 .∴ DE =
2 2

AD 2 ? AE 2 = 6 .

在 Rt △ EFG 中, FG = AB = 3 5 ,

EF 2 2 = .故二面角 D ? BC ? E 的平面角的正切值为 . FG 5 5 解法 2:∵ CD ⊥ 平面 ADE , DE ? 平面 ADE , ∴ CD ⊥ DE . ∴ CE 为圆 O 的直径,即 CE = 9 . 设正方形 ABCD 的边长为 a ,
∴ tan ∠EGF = 在 Rt △ CDE 中, DE = CE ? CD = 81 ? a ,
2 2 2 2

在 Rt △ ADE 中, DE = AD ? AE = a ? 9 ,
2 2 2 2

由 81 ? a = a ? 9 ,解得, a = 3 5 .∴ DE =
2 2

AD 2 ? AE 2 = 6 .

,则 A(0,-2) ,故 b=2. 20. (Ⅰ)解:由题意可知 B(0,-1) 令 y=0 得 x ? 1 = 0 即 x = ±1 ,则 F1(-1,0),F2(1,0) ,故 c=1.
2

所以 a = b + c = 5 .于是椭圆 C1 的方程为:
2 2 2

x2 y 2 + = 1 .…………4 分 5 4

(Ⅱ)设 N( t , t 2 ? 1 ) ,由于 y ' = 2 x 知直线 PQ 的方程为:

y ? (t 2 ? 1) = 2t ( x ? t ) . 即 y = 2tx ? t 2 ? 1 .……………………………5 分
代入椭圆方程整理得: 4(1 + 5t 2 ) x 2 ? 20t (t 2 + 1) x + 5(t 2 + 1) 2 ? 20 = 0 ,

? = 400t 2 (t 2 + 1) 2 ? 80(1 + 5t 2 )[(t 2 + 1) 2 ? 4] = 80(?t 4 + 18t 2 + 3) , x1 + x2 = 5t (t 2 + 1) 5(t 2 + 1) 2 ? 20 , x1 x2 = , 1 + 5t 2 4(1 + 5t 2 )

故 PQ = 1 + 4t

2

x1 ? x2 = 1 + 4t 2 . ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2

5 ? 1 + 4t 2 ? ?t 4 + 18t 2 + 3 = .………………………………7 分 1 + 5t 2
4 + ? t 2 ?1 5 1 + 4t 2 t2 + = 1 5

设点 M 到直线 PQ 的距离为 d,则 d =

1 + 4t 2
2 4

.…………………9 分

1 1 1 5 ? 1 + 4t ? ?t + 18t + 3 5 ? 所以, ?MPQ 的面积 S = PQ ? d = 2 2 2 1 + 5t 1 + 4t 2
2

t2 +

=

5 5 5 105 ?t 4 + 18t 2 + 3 = ?(t 2 ? 9) 2 + 84 ≤ 84 = ………………11 分 10 10 10 5

,经检验此时 ? > 0 ,满足题意. 当 t = ±3 时取到“=” 综上可知, ?MPQ 的面积的最大值为

105 .…………………………12 分 5

21.解: (Ⅰ)依题意,知 f ( x ) 的定义域为(0,+∞) , 21. 当a = b =

1 1 2 1 时, f ( x ) = ln x ? x ? x , 2 4 2 1 1 1 ? ( x + 2)( x ? 1) f ' ( x) = ? x ? = (2′)令 f ' ( x ) =0, x 2 2 2x (∵ x > 0 ) 解得 x = 1 .

因为 g ( x ) = 0 有唯一解,所以 g ( x 2 ) = 0 ,当 0 < x < 1 时,

f ' ( x) > 0 ,此时 f ( x) 单调递增;
当 x > 1 时, f ' ( x ) < 0 ,此时 f ( x ) 单调递减。 所以 f ( x ) 的极大值为 f (1) = ? (Ⅱ) F ( x ) = ln x + 立, 所以 a ≥ ( ?

3 ,此即为最大值 4

………4 分

x ?a 1 a , x ∈ (0,3] ,则有 k = F ' ( x0 ) = 0 2 ≤ ,在 x 0 ∈ (0,3] 上恒成 x 2 x0

1 2 x0 + x0 ) max , x0 ∈ (0,3] 2 1 2 1 1 当 x 0 = 1 时, ? x 0 + x 0 取得最大值 ,所以 a ≥ … 2 2 2
2 (Ⅲ)因为方程 2mf ( x ) = x 有唯一实数解,

……8 分

所以 x ? 2m ln x ? 2mx = 0 有唯一实数解,
2

设 g ( x) = x 2 ? 2m ln x ? 2mx , 则 g ' ( x) =

2 x 2 ? 2mx ? 2m 2 .令 g ' ( x) = 0 , x ? mx ? m = 0 . x

因为 m > 0 , x > 0 ,所以 x1 =

m ? m 2 + 4m m + m 2 + 4m < 0 (舍去) x2 = , , 2 2

当 x ∈ (0, x 2 ) 时, g ' ( x ) < 0 , g (x ) 在(0, x 2 )上单调递减, 当 x ∈ ( x 2 ,+∞) 时, g ' ( x ) > 0 , g (x ) 在( x 2 ,+∞)单调递增 当 x = x 2 时, g ' ( x 2 ) =0, g (x ) 取最小值 g ( x 2 ) . 则?
2 ? g ( x2 ) = 0, ? x 2 ? 2m ln x 2 ? 2mx 2 = 0, ? 既? 2 ? g ' ( x2 ) = 0, ? x 2 ? mx 2 ? m = 0. ?

所以 2m ln x 2 + mx 2 ? m = 0 ,因为 m > 0 ,所以 2 ln x 2 + x 2 ? 1 = 0 (*) 设函数 h( x ) = 2 ln x + x ? 1 ,因为当 x > 0 时,

h(x) 是增函数,所以 h( x) = 0 至多有一解.
因为 h(1) = 0 ,所以方程(*)的解为 x2 = 1 ,即 分 (Ⅰ)当 n ≥ 2 时,有 22. 解:

m + m 2 + 4m 1 = 1 ,解得 m = .…12 2 2

an = a1 + (a2 ? a1 ) + (a3 ? a2 ) + L + (an ? an ?1 ) = a1 + b1 + b2 + L + bn ?1 …………2 分 = 1+ (n ? 1) × n n 2 n = ? +1 . 2 2 2
………………3 分

又因为 a1 = 1 也满足上式,所以数列 {a n } 的通项为 an =

n2 n ? + 1 .………………4 分 2 2
………………5 分

(Ⅱ) (ⅰ)因为对任意的 n ∈ N 有 bn + 6 =
*

bn + 5 b 1 = = n +1 = bn , bn + 4 bn +3 bn + 2

所以 cn +1 ? cn = a6 n +5 ? a6 n ?1 = b6 n ?1 + b6 n + b6 n +1 + b6 n + 2 + b6 n +3 + b6 n + 4

1 1 = 1 + 2 + 2 + 1 + + = 7 (n ≥ 1) , 2 2
所以数列 {c n } 为等差数列. ………………7 分

(ⅱ)设 c n = a 6 n + i ( n ≥ 0) , (其中 i 为常数且 i ∈ {1,2,3,4,5,6} ) ,所以

cn +1 ? cn = a6 n + 6 +i ? a6 n +i = b6 n +i + b6 n +i +1 + b6 n +i + 2 + b6 n +i +3 + b6 n + i + 4 + b6 n +i +5 = 7(n ≥ 0)
所以数列 {a 6 n +i } 均为以 7 为公差的等差数列. ………………8 分

7 7i 7i (i + 6k ) + ai ? ai ? a6 k +i ai + 7 k 6 7 6 = + 6 , 设 fk = = = 6k + i i + 6k i + 6k 6 i + 6k
(其中 n = 6k + i (k ≥ 0) , i 为 {1,2,3,4,5,6} 中的一个常数) , 当 ai = 当 ai ≠

a 7i 7 时,对任意的 n = 6k + i 有 n = ; 6 n 6
7i 时, 6

………………9 分

7i 7i ai ? 1 1 6 ? 6 = (a ? 7i )( f k +1 ? f k = ? ) i 6(k + 1) + i 6k + i 6 6(k + 1) + i 6k + i ai ?
= (ai ? 7i ?6 )( ) 6 [6(k + 1) + i ](6k + i )
………………10 分

①若 ai >

a 7i ,则对任意的 k ∈ N 有 f k +1 < f k ,所以数列 { 6 k + i } 为单调减数列; 6 6k + i a 7i ,则对任意的 k ∈ N 有 f k +1 > f k ,所以数列 { 6 k + i } 为单调增数列; 6 6k + i
7 6 4 3 1 2 1 3 1 6 1 2 7 4 1 1 1 , , ? , ? }, 6 3 2 3 6

②若 ai <

………………11 分 综上:设集合 B = { } U { } U { } U {? } U {? } U { } = { , 当 a1 ∈ B 时,数列 {

an } 中必有某数重复出现无数次. n

当 a1 ? B 时,{

a6 k +i } (i = 1,2,3,4,5,6) 均为单调数列,任意一个数在这 6 个数列中最多出 6k + i

现一次, 所以数列 { 12 分

an } 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. n

………


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