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二 圆的切线的性质与判定定理


圆 (1)

一 圆的切线
1 切线的判定定理 过半径外端且与这

条半径垂直的直线是圆的切线 2 切线的性质定理
过切点的半径

圆的切线垂直于经

例1

如图,已知P为⊙O外一点,以PO

为直径作⊙M,⊙M与⊙O交于点A、B,
求证:PA、PB是⊙O的切线
A O· B · M · P

例2

如图,从圆外一点P引⊙O的两条
切线PA、PB,点A、B为切点。 求证:(1) PA=PB (2)PO平分∠APB (3)PO垂直平分线段AB
A O· B

P

推论 从圆外一点引圆的两条 切线,切线长相等
经过圆外的一个已知点和 圆心的直线平分从这点向 圆所作的两条切线所夹的角

二 圆周角
圆心角定理: 圆心角的度数等于它所对的弧的度数

圆周角定理: 圆周角的度数等于它所对弧度数的一半

证明

A

A

A

O
C B B

O O
C C

?1?

?2?

B

图2 ? 2

?3?

A

O
C B

?BOC ? ?A ? ?C

?1?

?A ? ?C

A

12
O

3 4
B

C

1 ?1 ? ?3 2

?2?

图2 ? 2

1 ?2 ? ?4 2

A

O
C

?BAC ? ?OAC ? ?OAB

D

B

?3?

性质
同弧或等弧所对的圆周角相等

同圆或等圆中,相等的圆周角所 对的弧相等

例3 如图 2 ? 3, AD 是 ?ABC 的高, AE 是?ABC 的外接圆.直 径.求证 : AB ? AC ? AE ? AD
证明 连接BE .
因为?ADC ? ?ABE ? 90 , ?C ? ?E, 所以?ADE ~ ?ABE,
0

A

O
B E D C

图2 ? 3

AC AD 则 ? , 即 AB ? AC ? AE ? AD . AE AB

三 弦切角
弦切角定义:顶点在圆上,一边和圆 相交,另一边和圆相切的角为弦切角。 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧 的度数的一半;等于它所夹的弧所对的 圆心角的度数的一半;等于它所夹的弧 所对的圆周角。

E

C

E

C

O

B

O
A B
E C A

图2 ? 16

图2 ? 17

O
A B

图2 ? 18

C

E

O
A B

图2 ? 16

E C

1
O
B

A P

图2 ? 17

E C

O
A B P

?BAP ? ?BCP

图2 ? 18

例4 如 图 4 , AB 为圆O 的直径 , C 为圆O上一点, AD 和过C点的 切线互相垂直, 垂足为D. 求证 : AC平分?DAB.
提示:连结OC
A

D

C

O

B

例5 AB是⊙O的直径, MN切⊙O的直径与P,
2 AD ? MN于D, 求证: AP ? AD ? AB

提示:把乘积转化成比例,比例转化成三角形 相似 B
O
A
M

P

D

N

例6 AE是半圆的一条弦,C是弧 AE 的中点,
CP ? AB于P ,弦 AE 交PC 、 F 。 CB于D 、

求证: AD

? CD
C F D A P E
B

提示:要证边相等, 先证角相等

B


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