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2017版高考数学一轮复习练习8.7抛物线.doc


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分层限时跟踪练(四十七)
(限时 40 分钟) [基 础 练] 扣教材 练双基 一、选择题 1.(2015· 兰州双基考试)抛物线 y2=2px(p>0)上横坐标为 6 的点到此抛物线焦点的距离 为 10,则该抛物线的焦点到准线的距离为( A.4 B.8 C.16 ) D.32

p 【解析】

设抛物线的准线方程为 x=- (p>0), 2 p 所以 +6=10,解得 p=8,所以抛物线的焦点到准线的距离为 8. 2 【答案】 B 3 2.(2015· 四川绵阳二诊)抛物线 y2=2x 上一点 M 到它的焦点 F 的距离为 ,O 为坐标原 2 点,则△MFO 的面积为( A. 2 2 B. 2 4 1 1 C. D. 2 4 )

3 1 3 【解析】 ∵抛物线 y2=2x 上一点 M(x,y)到它的焦点 F 的距离为 ,∴x+ = ,∴x 2 2 2 1 1 2 =1.当 x=1 时,y=± 2,∴△OFM 的面积为 × × 2= .故选 B. 2 2 4 【答案】 B x2 y2 3.已知双曲线 C1: 2 - 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x2=2py(p>0) a b 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( 8 3 A.x2= y 3 C.x2=8y 16 3 B.x2= y 3 D.x2=16y b?2 b 1+? ?a? =2,所以a= 3, )

b c 【解析】 双曲线的渐近线方程为 y=± x,由于 e= = a a

p 2 p 0, ?,由题意 =2,则 p=8,所 所以双曲线的渐近线方程为 y=± 3x,抛物线的焦点为? 2 ? ? 2 以 C2 的方程为 x2=16y. 【答案】 D 4. (2015· 洛阳统考)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点, 若|AF|=5, 则|BF|=( )

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1 A. 4 5 C. 4

B.1 D.2

【解析】 由题意,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+1=5,解得 x1=4,y2 1=4x1 4 4 =16,由对称性,不妨取 y1=4,所以直线 AB:y= x- ,代入抛物线方程得 4x2-17x+4 3 3 1 5 =0,∴x1=4,x2= ,∴|BF|=x2+1= . 4 4 【答案】 C 5.(2015· 九江一模)过抛物线 y2=8x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,交抛物线 → → 的准线于 C,若|AF|=6,BC=λFB,则 λ 的值为( 3 A. 4 3 B. C. 3 2 D.3 )

【解析】 设 A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2),C(-2,y3),则 x1+2=6,解得 x1=4,y1 = 4 2 ,直线 AB 的方程为 y= 2 2(x - 2) ,令 x =- 2 ,得 C( - 2 ,- 8 2) ,联立方程

?y =8x, 解得 B(1,-2 2),∴|BF|=1+2=3,|BC|=9,∴λ=3. ? ?y=2 2? x-2?,
【答案】 D 二、填空题 6. (2015· 陕西高考)若抛物线 y2=2px(p>0)的准线经过双曲线 x2-y2=1 的一个焦点, 则 p=__________. p 【解析】 抛物线的准线方程为 x=- ,p>0,双曲线的焦点为 F1(- 2,0),F2( 2, 2 p 0),所以- =- 2,p=2 2. 2 【答案】 2 2 7.过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点,若点 A 到抛物线 的准线的距离为 4,则|AB|=________. 【解析】 设 A(xA,yA),B(xB,yB),∵y2=4x,∴抛物线的准线为 x=-1.焦点 F(1,0), 又 A 到准线的距离为 4, p2 1 ∴xA+1=4,∴xA=3.∵xAxB= =1,∴xB= , 4 3 1 16 ∴|AB|=xA+xB+p=3+ +2= . 3 3 【答案】 16 3

2

8.(2015· 邢台模拟)已知 M 是抛物线 x2=4y 上一点,F 为其焦点,点 A 在圆 C:(x+1)2
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+(y-5)2=1 上,则|MA|+|MF|的最小值是________. 【解析】 由题意,从点 M 向抛物线 x2=4y 的准线 l:y=-1 引垂线,垂足为 M1,则 有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,结合图形知|MA|+|MM1|的最小值为圆心 C(-1,5)到 y=-1 的距离再减去圆 C 的半径,即等于 5.因此|MA|+|MF|的最小值为 5. 【答案】 5 三、解答题 9. 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点, 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1, y1), B(x2, y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求 λ 的值. p? 2 【解】 (1)直线 AB 的方程是 y=2 2? ?x-2?,与 y =2px 联立, 从而有 4x2-5px+p2=0, 5p 所以 x1+x2= . 4 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,∴p=4, 从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4 知 4x2-5px+p2=0 可化为 x2-5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2). → 设OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2) =(4λ+1,4 2λ-2 2),又 y2 3=8x3, 所以[2 2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1, 解得 λ=0 或 λ=2.

图 874 10.(2015· 福建高考)已知点 F 为抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点,点 A(2,m)在抛物线 E 上,且|AF|=3. (1)求抛物线 E 的方程; (2)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相
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切的圆,必与直线 GB 相切. p 【解】 (1)由抛物线的定义得|AF|=2+ . 2 p 因为|AF|=3,即 2+ =3,解得 p=2, 2 所以抛物线 E 的方程为 y2=4x. (2)因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上, 所以 m=± 2 2. 由抛物线的对称性,不妨设 A(2,2 2). 由 A(2,2 2),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1).

?y=2 2? x-1?, 由? 2 ?y =4x,
得 2x2-5x+2=0, 1 1 ? 解得 x=2 或 x= ,从而 B? ?2,- 2?. 2 又 G(-1,0), 2 2- 0 - 2- 0 2 2 2 2 所以 kGA= = ,kGB= =- , 3 1 3 2-?-1? -?-1? 2 所以 kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点 F 到直线 GA,GB 的距离相等,故 以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切. [能 力 练] 扫盲区 提素能 1.(2015· 成都模拟)抛物线 y2=4x 的焦点为 F,点 P(x,y)为该抛物线上的动点,若点 |PF| A(-1,0),则 的最小值是( |PA| 1 A. 2 B. 2 2 C. 3 2 ) 2 2 D. 3

【解析】 抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1,如图,过 P 作 PN 垂直 x=-1 于 N,

由抛物线的定义可知|PF|=|PN|,连接 PA, 在 Rt△PAN 中, sin∠PAN= |PN| |PN| |PF| , 当 = 最小时, sin∠PAN 最小, 即∠PAN 最小, |PA| |PA| |PA|

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即 ∠ PAF 最 大 , 此 时 , PA 为 抛 物 线 的 切 线 , 设 PA 的 方 程 为 y = k(x + 1) , 联 立
? +1?, ?y=k? x ? 2 得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0,所以 Δ=(2k2-4)2-4k4=0,解得 k=± 1,所 ?y =4x, ?

|PF| |PN| 2 以∠PAF=∠NPA=45° , = =cos∠NPA= , |PA| |PA| 2 故选 B. 【答案】 B 2.已知 F 是抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,过点 R(2,1)的直线 l 与抛物线 C 交于 A、 B 两点,且|RA|=|RB|,|FA|+|FB|=5,则直线 l 的斜率为( 3 A. 2 1 B.1 C.2 D. 2 )

p ? 【解析】 依题意知|FA|+|FB|=2? ?2+2?=5,解得 p=1,设 A、B 两点的坐标分别为 y2-y1 2 2 2 (x1,y1)、(x2,y2),则 y1 =2x1,y2 = = =1,∴kAB 2=2x2,两式相减并整理得 2 x2-x1 y2+y1 1× =1. 【答案】 B 3.已知 P、Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P、Q 分 别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为________. 【解析】 由于 P、Q 为抛物线 x2=2y 上的点,且横坐标分别为 4,-2,则 P(4,8), Q(-2,2),从而在点 P 处的切线斜率 k1=4,由点斜式得曲线在点 P 处的切线方程为 y-8= 4(x-4),同理在点 Q 处的切线方程为 y-2=-2(x+2).联立这两个直线方程,可解得交点 A 的纵坐标为-4. 【答案】 -4 4.(2015· 绵阳诊断)已知 A 是抛物线 y2=4x 上一点,F 是抛物线的焦点,直线 FA 交抛 物 线 的 准 线 于 点 B( 点 B 在 x 轴 上 方 ) , 若 |AB| = 2|AF| , 则 点 A 的 坐 标 为 ___________________________________________________________________. 【解析】 依题意,①若点 A 位于 x 轴上方,过点 A 作抛物线的准线的垂线,垂足记 为 A1,则有|AB|=2|AF|=2|AA1|,∠BAA1=60° ,直线 AF 的倾斜角为 120° . 又点 F(1,0),因此直线 AF 的方程为 y=- 3(x-1).

?y=- 3? x-1?, 由? 2 >0?, ?y =4x? y

?x=3, 得? 2 3 ?y= 3 .

1

1 2 3? 此时点 A 的坐标是? , . ?3 3 ?

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②若点 A 位于 x 轴下方,则此时点 F(1,0)是线段 AB 的中点,又点 B 的横坐标是-1, 故点 A 的横坐标是 2× 1-(-1)=3, 相应的纵坐标是 y=- 4× 3=-2 3, 点 A 的坐标是(3, -2 3). 1 2 3? 综上所述,点 A 的坐标是(3,-2 3)或? , . ?3 3 ? 1 2 3? 【答案】 (3,-2 3)或? , ?3 3 ? 5.如图 875,已知直线与抛物线 y2=2px(p>0)相交于 A、B 两点,且 OA⊥OB,OD ⊥AB 交 AB 于 D,且点 D 的坐标为(3, 3).

图 875 (1)求 p 的值; (2)若 F 为抛物线的焦点,M 为抛物线上任一点,求|MD|+|MF|的最小值.
2 y1 y2 3 2 ,y1?,B? ,y2?,kOD= ,则 kAB=- 3,直线 AB 的方程为 y 【解】 (1)设 A? ?2p ? ?2p ? 3

y2 - 3=- 3(x-3),即 3x+y-4 3=0,将 x= 代入上式,整理得 3y2+2py-8 3p=0, 2p
2 y2 1y2 ∴y1y2=-8p,由 OA⊥OB 得 2 +y1y2=0,即 y1y2+4p2=0,∴-8p+4p2=0,又 p>0, 4p

则 p=2. (2)由抛物线定义知|MD|+|MF|的最小值为 D 点到抛物线 y2=4x 准线的距离,又准线方 程为 x=-1, 因此|MD|+|MF|的最小值为 4. y2 x2 6.(2015· 湖南高考)已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: 2 + 2=1(a>b>0)的 a b 一个焦点,C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6.过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与 C2 相 → → 交于 C,D 两点,且AC与BD同向. (1)求 C2 的方程; (2)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率. 【解】 (1)由 C1:x2=4y 知其焦点 F 的坐标为(0,1).因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点, 所以 a2-b2=1.①
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又 C1 与 C2 的公共弦长为 2 6,C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为 x2=4y, 3? 9 6 由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为? ?± 6,2?,所以4a2+b2=1.② 联立①②,得 a2=9,b2=8. y2 x2 故 C2 的方程为 + =1. 9 8

(2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). → → → → 因AC与BD同向,且|AC|=|BD|,所以AC=BD,从而 x3-x1=x4-x2,即 x1-x2=x3- x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③ 设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1.
?y=kx+1, ? 由? 2 得 x2-4kx-4=0. ? x = 4y , ?

而 x1,x2 是这个方程的两根, 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.④ y=kx+1, ? ? 2 2 由?y x 得(9+8k2)x2+16kx-64=0. ? 9 + 8 =1, ? 而 x3,x4 是这个方程的两根, 16k 64 所以 x3+x4=- ,x x =- .⑤ 9+8k2 3 4 9+8k2
2 162× 9? k +1? 162k2 4× 64 2 将④⑤代入③,得 16(k2+1)= , 2 2+ 2,即 16(k +1)= ?9 +8k ? 9+8k ?9 +8k2?2

所以(9+8k2)2=16× 9, 6 6 解得 k=± ,即直线 l 的斜率为± . 4 4

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