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上海市黄浦区2015届高考二模数学文科试卷及答案


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上海市黄浦区 2015 年高考模拟考
数学试卷(文)
(2015 年 4 月 21 日)
考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷上的解答 一律无效; 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结 果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 f ( x) ? lg( x ? 3) ?

( x ? 2) 0 的定义域是 x ?1




2.函数 y ? log2 ( x2 ?1) 的单调递减区间是

3.已知集合 A ? x | x2 ? 16 ? 0, x ? R , B ? ? x | x ? 3 ? a , x ? R? ,若 B ? A ,则正实数 a 的取值范 围是 .

?

?

4 . 若 二 次 函 数 y ? 2x2 ? (m ? 2) x ? 3m2 ? 1 是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 , 则 函 数

f ( x) ?

m

x?

的反函数 m? x2 ( ? x 1,? x R ) f ?1 ( x) =



5.已知角 ? 的顶点与平面直角坐标系的原点重合,始边在 x 轴的正半轴上,终边经过点

P ? ?3a,4a ? (a ? 0, a ? R) ,则 cos 2? 的值是

.

2 2 2 6 . 在 △ ABC 中 , 内 角 A、 B、 C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c , 且 a ? b ? c ? 2bc sin A , 则

?A=

. . .

7.在等差数列 ?an ? 中,若 a8 ? ?3, a10 ? 1, am ? 9 ,则正整数 m ? 8.已知点 A(?2,3)、B(1, ?4) ,则直线 AB 的点法向式方程是

x2 y 2 ? 1(a ? 0) 的一个焦点重合,则双曲线的渐近线方 9.已知抛物线 y ? 16 x 的焦点与双曲线 2 ? a 12
2

程是



10.已知 AB 是球 O 的一条直径,点 O1 是 AB 上一点,若 OO1 ? 4 ,平面 ? 过点 O1 且垂直 AB ,截 得圆 O1 ,当圆 O1 的面积为 9? 时,则球 O 的表面积是
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11.若二次函数 y ? f ( x) 对一切 x ? R 恒有 x2 ? 2x ? 4 ? f ( x) ? 2x2 ? 4x ? 5 成立,且 f (5) ? 27 , 则 f (11) ? .

? x? y ?3 12. (文科 ) 设点 ( x, y ) 位于线性约束条件 ? ? x ? 2 y ? 1 ? 0 所表示的区域内(含边界),则目标函数 ? y ? 2x ?

z ? 2 x ? y 的最大值是



13. (文科) 一个不透明的袋中装有大小形状质地完全相同的黑球、红球、白球共 10 个,从中任意 摸出 1 个球, 得到黑球的概率是

2 , 则从中任意摸出 2 个球得到至少 1 个黑球的概率是 5



14 . ( 文 科 ) 在 ?ABC 中 , | AB|= 3,| BC |? 1 , 且 | AC|cosB=|BC|cosA , 则 AC ? AB 的 数 值 是 .

二、选择题(本大题满分 20 分) 本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

15.在空间中,下列命题正确的是 A.若两直线 a,b 与直线 l 所成的角相等,那么 a∥b B.空间不同的三点 A、B、C 确定一个平面 C.如果直线 l//平面 ? 且 l //平面 ? ,那么 ? // ? D.若直线 a 与平面 M 没有公共点,则直线 a //平面 M

[答] (

).

16. 设实数 a1 , a2 , b1 , b2 均不为 0, 则 “ 的解集相同”的 ( ). A.充分非必要条件

a1 b1 是 “关于 x 的不等式 a1 x ? b1 ? 0 与 a2 x ? b2 ? 0 ? 成立” a2 b2
[ 答]

B.必要非充分条件 C.充要条件

D.非充分非必要条件

17 .若复数 z 同时满足 z ? z ? 2i , z ? iz ,则 z ? ( ). A. 1 ? i B. i C. ? 1 ? i

( i 是虚数单位, z 是 z 的共轭复数 ) [ 答 ]

D. ? 1 ? i

18. 已知数列 ?an ? 共有 5 项, 满足 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 0 , 且对任意 i、j (1 ? i ? j ? 5) , 有 ai ? a j 仍是该数列的某一项,现给出下列 4 个命题: (1) a5 ? 0 ;(2) 4a4 ? a1 ;(3)数列 ?an ? 是等差数列;

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(4)集合 A ? x | x ? ai ? a j ,1 ? i ? j ? 5 中共有 9 个元素. 则其中真命题的序号是 A .(1)、(2)、(3)、(4) 写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 在长方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中, AB ? BC ? 2 , AA 1 、 C1 、 B 三点的平面截去长方 1 ? 3 ,过 A 体的一个角后,得到如下所示的几何体 ABCD ? AC 1 1D 1. (文科)(1) 求几何体 ABCD ? AC 1 1D 1 的体积,并画出该几何体的左视图( AB 平行主视图投影所 在的平面); (2)求异面直线 BC1 与 A1D1 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
A1 D1 C1

?

?

B .(1)、(4)

C .(2)、(3)

[答]( D .(1)、(3)、(4)

).

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内

D

C
B

第 19 题图

A

20.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 已知函数 g( x) ?

1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1,x ? R ,函数 f ( x) 与函数 g ( x) 的图像关于原点对称. 2 2

(1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)(文科) 当 x ? [ ?

? ?

, ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围. 4 2

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 有一块铁皮零件,其形状是由边长为 40cm 的正方形截去一个三角形 ABF 所得的五边形
ABCDE ,其中 AF

? 12cm, BF ? 10cm ,如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮 DMPN ,使得

矩形相邻两边分别落在 CD, DE 上, 另一顶点 P 落在边 CB 或 BA 边上. 设 DM ? x cm, 矩形 DMPN 的 面积为 y cm .
2

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(1)试求出矩形铁皮 DMPN 的面积 y 关于 x 的函数解析式, 并写出定义域; (2)试问如何截取(即 x 取何值时),可使得到的矩形 DMPN 的面积最大?

第 21 题图 22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. (文科) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 ,对任意 m、p ? N* 都有 am? p ? am ? a p . (1)求数列 ?an ? ( n ? N )的通项公式 an ;
*

(2)数列 ?bn ? 满足 an ? (3)设 cn ?

b b1 b + 22 ? 33 ? 2 ?1 2 ?1 2 ?1

?

bn ( n ? N* ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Bn ; 2 ?1
n

Bn * ,求数列 ?cn ? ( n ? N )中最小项的值. 2n

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. 已知点 F ,平面直角坐标系上的一个动点 P( x, y) 满足 |PF1|+|PF2 |=4 .设动 1 (? 2,0)、F 2 ( 2,0) 点 P 的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的轨迹方程;

GH 为圆 N : ( x ? 3) ? y ? 1的任意一条直径, (2)点 M 是曲线 C 上的任意一点, 求 MG ? MH 的
2 2

取值范围; (3)(理科)已知点 A、B 是曲线 C 上的两个动点,若 OA ? OB ( O 是坐标原点),试证明:直线

AB 与某个定圆恒相切,并写出定圆的方程.
(文科)已知点 A、B 是曲线 C 上的两个动点,若 OA ? OB ( O 是坐标原点),试证明:原点 O 到 直线 AB 的距离是定值.

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黄浦区 2015 年高考模拟考数学试卷(文理合卷) 参考答案
一、填空题 1. (3, +
);

(2015 年 4 月 21 日)

8. 7( x + 2) + 3( y - 3) = 0 也可以是 7( x - 1) + 3( y + 4) = 0 ; 9. y =

2. (- ? , 1) ; 3. (0,1] ; 4. f - 1 ( x) = 15. 6.

3x ;

10. 100p ;

x - 1( x 1) ;

11. 153 ;

7 ; 25

14 12.(理科) 7 5 ;(文科) ;
5

3

p ; 4
; 15.D 16.B

7. 14

2 ; 3 3 14.(理科) 4 .(文科) 2 或 . 2
13.(理科) 2.7 ;(文科) 17.D 18.A

二、选择题 三、解答题

19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分6分,第 2 小题满分6分. (理科) 解 (1) 按如图所示建立空间直角坐标系.由题知,可得点 D(0, 0, 0) 、
D1 A1

z
C1

B(2, 2,0) 、 D1 (0,0,3) 、 A1 (2,0,3) 、 C1 (0, 2,3) .
由 O1 是 AC 1 1 中点,可得 O 1 (1,1,3) . 于是, BO1 ? (?1, ?1,3), A 1D 1 ? (?2,0,0) . 设异面直线 BO1 与 A1D1 所成的角为 ? ,则

D

C
B

y

x

A

c o?s ?

BO1 ? A D 2 1. 1 1 1 ? ? 11 | BO1 || A D 1 | 1 2 11

因此,异面直线 BO1 与 A1D1 所成的角为 arccos (2)设 n ? ( x, y, z) 是平面 ABD 的法向量.
?n ? BA1 ? 0, ∴? ? ? ?n ? BC1 ? 0.

11 . 11

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又 BA1 ? (0, ?2,3), BC1 ? (?2,0,3) ,
?2 y ? 3z ? 0, ∴? ? ??2 x ? 3z ? 0.

n ? (3,3, 2) . 取 z ? 2 ,可得 ? y ? 3, 即平面 BAC 1 1 的一个法向量是
? ? z ? 2. ?

? x ? 3,

∴d ?

n ? DB |n|

?
(文科)

6 22 . 11

解(1)

AB ? BC ? 2 , AA 1 ? 3,

?VABCD ? A1D1C1 ? V长方体 ? V三棱锥 1 1 =2 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 10. 3 2
左视图如右图所示. (2)依据题意,有 A 1D 1

AD, AD BC ,即 A1D1 BC .

∴ ?C1BC 就是异面直线 BC1 与 A1D1 所成的角. 又

C1C ? BC ,
C1C 3 ? . BC 2 3 . 2

∴ tan ?C1 BC ?

∴异面直线 BC1 与 A1D1 所成的角是 arc tan

20.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分.

解(1)设点 ( x, y ) 是函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点,由题意可知,点 (? x, ? y ) 在 y ? g ( x) 的 图像上, 于是有 ? y ?

1 3 sin(?2 x) ? cos(?2 x) ? 1, x ? R . 2 2

1 3 所以, f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 , x ? R . 2 2 (理科)
1 3 ? (2)由(1)可知, f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1, x ?[0, ? ] ,记 D ? [0, ? ] . 2 2 3

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由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,解得 k? ?

5 ? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 12 12

5 ? ? , k? ? ], k ? Z 的区间上单调递增. 12 12 结合定义域,可知上述区间中符合题意的整数 k 只能是 0 和 1. 5 ? 令 k ? 0 得 D1 ? [? ? , ] ; k ? 1 时,得 D1 ? [ 7 ? , 13 ? ] .
则函数 f ( x ) 在形如 [k? ?

12

12

12

12

所以, D

D1 ? [0,

?
12

] , D D2 ? [ 7 ? , ? ] .
12

于是,函数 f ( x ) 在 [0, ? ] 上的单调递增区间是 [0, ? ] 和 [ 7 ? , ? ] . 12 12 (文科)

1 3 ? (2)由(1)可知, f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 . 2 2 3

, ], 4 2 ? ? 4 所以, ? ? 2 x ? ? ? .
6 3 3
考察正弦函数 y ? sin x 的图像,可知, ?

又 x ? [?

? ?

? ? 3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , x ? [ ? , ] . 4 2 2 3

于是, ?

3 ? ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ? 0 . 2 3

所以,当 x ? [ ?

? ?

, ] 时,函数 f ( x) 的取值范围是 ? 4 2

2? 3 ? f ( x) ? 0 . 2

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

解(1)依据题意并结合图形,可知:

10 当点 P 在线段 CB 上,即 0 ? x ? 30 时, y ? 40 x ; 20 当点 P 在线段 BA 上,即 30 ? x ? 40 时,由
于是, y ? DM ? PM ? DM ? EQ ? 76 x ?

6 PQ BF ? ,得 QA ? 48 ? x . 5 QA FA

6 2 x . 5

?40 x, 0<x ? 30 ? 所以, y ? ? 定义域 D ? (0, 40] . 6 76 x ? x 2 . 30 ? x ? 40 ? 5 ?
(2)由(1)知,当 0 ? x ? 30 时, 0 ? y ? 1200 ;

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当 30 ? x ? 40 时,

95 6 6 95 3610 3610 ,当且仅当 x ? 时,等号成立. y ? 76 x ? x 2 ? ? ( x ? ) 2 ? ? 3 5 5 3 3 3
因此, y 的最大值为

3610 . 3

95 cm ,然后过点 M 作 DE 的垂线交 BA 于点 P ,再过点 P 作 DE 3 3610 cm2 . 的平行线交 DC 于点 N ,最后沿 MP 与 PN 截铁皮,所得矩形面积最大,最大面积为 3
答: 先在 DE 上截取线段 DM ?
22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分.

(理科) 解(1) 对任意 m、p ? N* 都有 am? p ? am ? a p 成立, ∴令 m ? n, p ? 1 ,得 an?1 ? a1 ? an , n ? N* .

1 ? ?a1 ? , ∴数列 ?an ? ( n ? N )的递推公式是 ? 2 ?a ? a ? a , n ? N*. ? n?1 1 n
*

(2)由(1)可知,数列 ?an ? ( n ? N )是首项和公比都为
*

1 1 * 的等比数列,于是 an ? n ( n ? N ) . 2 2 b bn b b n ?1 * 由 an ? 1 ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? (?1) ( n ? N ),得 n 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 b b ?1 b b an ?1 ? 1 ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? (?1) n n ?n ( n ? 2 ). 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 1 ?1 bn 1 n ?1 ? bn ? (?1) n ( n ? 1)(n ? 2) . 故 an ? an ?1 ? (?1) n 2 ?1 2 b1 3 ? b1 ? . 当 n ? 1 时, a1 ? 2 ?1 2

?3 , (n ? 1) ? ?2 所以 bn ? ? ?(?1) n ( 1 ? 1). (n ? 2, n ? N* ) ? ? 2n
(3) ∵ cn ? 2n ? ?bn , ∴当 n ? 3 时, cn ? 2 ? (?1) (
n n

1 ? 1)? , 2n 1 cn ?1 ? 2n ?1 ? (?1) n ?1 ( n ?1 ? 1)? , 2

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依据题意,有 cn ? cn ?1 ? 2

n ?1

? (?1)n ? (2 ?

2n ?1 3 n ) ? 0 ( ? 1) ? ? ? ,即 . 3 2n ?2 2n

n ?1 10 当 n 为大于或等于 4 的偶数时,有 ? ? ? 2

n ?1 恒成立,又 2 随 n 增大而增大,则 3 3 ?2 ?2 2n 2n

? ? 128 ? 2n?1 ? 128 ? ? ? ? ,故 的取值范围为 ; ? ( n ? 4) ? 3 ? 35 35 ? n ?2? ?2 ?min
n ?1 32 20 当 n 为大于或等于 3 的奇数时,有 ? ? 2 恒成立,故 ? 的取值范围为 ? ? ; 19 3

2n

?2

5 3 30 当 n ? 2 时,由 c2 ? c1 ? (22 ? ? ) ? (2 ? ? ) ? 0 ,得 ? ? 8 . 4 2 128 32 ??? 综上可得,所求 ? 的取值范围是 ? . 35 19
(文科)

解(1)

对任意 m、p ? N* 都有 am? p ? am ? a p 成立, a1 ? 2 , ∴令 m ? n, p ? 1 ,得 an?1 ? a1 ? an , n ? N* . ∴数列 ?an ? ( n ? N )是首项和公比都为 2 的等比数列.
*

∴ an ? a1 ? 2n?1 ? 2n (n ? N* ) . (2) 由 an ?

b b b1 b + 2 2 ? 3 3 ? ? n n ( n ? N* ),得 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 b3 bn ?1 b1 b2 an ?1 ? + ? ? ? n ?1 ( n ? 2 ). 2 ? 1 2 2 ? 1 23 ? 1 2 ?1 b n ?1 n 2 n ?1 ? 2n ?1 (n ? 2) . 故 an ? an ?1 ? n n ? bn ? 2 (2 ? 1) ? 2 2 ?1 b 当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? b1 ? 6 . 2 ?1
于是, bn ? ?

?6, (n ? 1) ?2
2 n ?1

? 2n ?1. (n ? 2, n ? N* )

当 n ? 1 时, B1 ? b1 ? 6 ; 当 n ? 2 时,

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Bn ? b1 ? b2 ? b3 ?

? bn +22?n?1 )+(22?1 +23?1 +24?1 + +2n?1 )

=6+(22?2?1 +22?3?1 +22?4?1 +

23 (1 ? 4n ?1 ) 2(1 ? 2n ?1 ) =6+ ? 1? 4 1? 2 2 4 = ? 4n ? 2n ? . 3 3 2 1 1 4 又 n ? 1 时, Bn ? ? 4 ? 2 ? ? 6 , 3 3 2 n 4 n * 综上,有 Bn ? ? 4 ? 2 ? ,n ? N . 3 3 B1 Bn ? 3, (3) cn ? n , c1 ? 1 2 2 2 n 4 1 * ∴ cn ? ? 2 ? ? n ? 1 , n ? N . 3 3 2
? cn ? cn ?1 ? 2 n 4 1 2 4 1 ?2 ? ? n ? 1 ? (? n ?12? ? n ?1 ? 1) 3 3 2 3 3 2 2 1 = (2n ?1 ? n ?1 ) ? 0(n ? 2). 3 2
*

∴数列 ?cn ? ( n ? N )是单调递增数列,即数列 ?cn ? 中数值最小的项是 c1 ,其值为 3.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分.

解(1)依据题意,动点 P( x, y) 满足 ( x ? 2) ? y ? ( x ? 2) ? y ? 4 .
2 2 2 2

又| F 1F 2 |? 2 2 ? 4 , 因此,动点 P( x, y) 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆,且 ?

? ?2a ? 4, ?b? 2. ? ? 2c ? 2 2

所以,所求曲线 C 的轨迹方程是

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

(2) 设 M ( x0 , y0 ) 是曲线 C 上任一点.依据题意,可得 MG ? MN ? NG, MH ? MN ? NH .

GH 是直径,

? NH ? ? NG .又 |NG|=1 ,
? MG ? MH =( MN ? NG) ? ( MN ? GH ) =( MN ? NG) ? ( MN ? NG) =|MN |2 ? | NG |2 .

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? | MN |2 ? ( x0 ? 3)2 ? ( y0 ? 0)2
= 由

1 ( x0 ? 6) 2 ? 7 . 2

x2 y 2 ? ? 1 ,可得 ?2 ? x ? 2 ,即 ?2 ? x0 ? 2 . 4 2
2 ?M| N

?1 ?M | N2 | ? , 2 05

? | N |2G . ?|

24

?M G ? M 的取值范围是 H 0 ? MG ? MH ? 24 .
(另解 1 ?| MN |2 ? 25 : 结合椭圆和圆的位置关系, 有 || OM | ? | ON ||?| MN |?| OM | ? | ON | (当 且仅当 M 、N、O 共线时,等号成立),于是有 1 ?| MN |? 5 .) (理科) (3)证明 因 A、B 是曲线 C 上满足 OA ? OB 的两个动点, 由曲线 C 关于原点对称, 可知直线 AB 也 关于原点对称.若直线 AB 与定圆相切,则定圆的圆心必在原点.因此,只要证明原点到直线 AB 的 距离( d )是定值即可. 设 | OA |? r 1 ,| OB |? r 2 ,点 A(r 1 cos ? , r 1 sin ? ) ,则

B(r2 c o s?(? r 2
利用面积相等,有

?

2

) , ?s ?i n ? (?r 2

?

2

? ) ) r

2

(? . s i n

,

c o s

)

2 2 1 1 1 . 1 r2 | OA | ? | OB |? | AB | ?d ,于是 d 2 ? r ? 2 2 2 2 1 1 r1 ? r2 ? r12 r12

? cos 2 ? sin 2 ? 1 ? r12 cos 2 ? r12 sin 2 ? ? 4 ? 2 ? r2 , ? ? 1, ? 1 4 2 又 A、B 两点在曲线 C 上,故 ? 可得 ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 sin ? cos ? 1 r sin ? r cos ? ? ?2 ? ? 2. ? 2 ? 1. ? ? 2 r2 ? 4 2 ? 4
因此, 1 ? 1 ? 3 . r12 r22 4 所以, d ?
2

4 2 3 ,即 d 为定值 . 3 3
2 2

所以,直线 AB 总与定圆相切,且定圆的方程为: x ? y ? (文科)

4 . 3

(3)证明 设原点到直线 AB 的距离为 d ,且 A、B 是曲线 C 上满足 OA ? OB 的两个动点.

1 1 ab 2 3 10 若点 A 在坐标轴上, 则点 B 也在坐标轴上, 有 | OA || OB |? | AB | ?d , 即d ? . ? 2 2 2 2 3 a ?b
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20 若点 A( xA , yA ) 不在坐标轴上,可设 OA : y ? kx, OB : y ? ?
4 ? 2 ? x2 y 2 xA ? , ? ? ? 1, ? ? 1 ? 2k 2 由? 4 得 2 ? 4k 2 2 ? y ? kx. ? y ? . ? A ? 1 ? 2k 2 ?
? 2 4k 2 x ? , 设点 B( xB , yB ) ,同理可得, ? ? B 2 ? k2 ? ? y2 ? 4 . ? B 2 ? k2 ?

1 x. k

于是, | OA |? 2

2 3(1 ? k 2 ) 1? k 2 , 1? k 2 , . | AB |? OA2 ? OB 2 ? | OB |? 2 2 2 1 ? 2k 2?k (2 ? k 2 )(1 ? 2k 2 )

利用

1 1 2 3 | OA || OB |? | AB | ?d ,得 d ? . 2 2 3
0 0

2 可知,总有 d ? 综合 1 和

2 3 2 3 ,即原点 O 到直线 AB 的距离为定值 . 3 3

(方法二:根据曲线 C 关于原点和坐标轴都对称的特点,以及 OA ? OB ,求出 A、B 的一组坐 标,再用点到直线的距离公式求解,也可以得出结论)

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