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浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”



湖南民族职业学院初等教育系 2014 届毕业生毕业论文
题 目:浅谈小学数学中的 “一题多解与一题多变”

作 班 学 指 导 教

者: 级: 号: 师:

叶彩凤 初数 1102 班 201120030230 杨洪山

二零一四年六月

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湖南民族职业学院学生毕业论文 诚 信 声 明

郑重声明:本人呈交的毕业论文《浅谈小学数学中的“一题多解 与一题多变” 》是在指导老师的指导下进行研究工作,所取得的成果, 成果不存在知识产权争议。如文中已经注明引用的内容外,本论文不 含任何其他个人和集体已经发表,和撰写过的作品成果,对本文的研 究作出重要贡献的个人,和集体在文中均作了明确的说明,并表示了 谢意。 本人完全意识到,本说明的法律结果由本人承担。

毕业论文作者(签名) : 2014年6月

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摘 要



关 键 词 一、小学数学“一题多解”的探究????????????1 (一)一题多解的案例???????????????1 (二)一题多种解法之数学思想在小教学中的应用????3 二、小学数学“一题多变”的探究????????????4 (一)引导学生学会“一题多变”把新题变旧题?????4 (二)引导学生学会“一题多变”触类旁通,悟出解题规律 5 三、学生学会超级变变,并将所学知识进行拓展???? 5 结 语??????????????????????7

参考文献??????????????????????7 致 谢??????????????????????8

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要:数学是小学阶段一门基础学科,并且在小学阶段占主体地位.入

学之初,学生所接触到的数学知识,都是比较形象化,直观化的数数及简单的 计算,随着数学知识的加深,小学高年级的数学出现了抽象化复杂性的应用 题.找到解题的最佳方法,培养学生大胆创新的解题方法及不断尝试解答的 精神,是我们为师者必须思考的教学问题.教师如何引导学生学会把新知变 旧知寻找最近认识发现区,将复杂问题变为单间问题,学会一题多变,触类 旁通,进而悟出解题规律,并经一题多变,拓展知识,使学生真正“学会学 习”。 关键词:小学数学;一题多解;一题多变

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一题多解,就是启发和引导学生从不同角度、不同思路,运用不同的方法和不同 的运算过程,解答同一道数学问题,它属于解题的策略问题。心理学研究表明,在解 决问题的过程中,如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题,那么,就需要进 行创造性的思维,需要有一种解题策略,所以策略的产生及其正确性被证实的过程, 常常被视为创造的过程或解决问题的过程。 数学问题的解题策略是指探求数学问题的 答案时所采取的途径和方法。在小学阶段,一般包括枚举法、模式识别、问题转化、 中途点法、以退求进、特殊到一般、从整体看问题、正难则反等策略。一题多解则是 诸多解题策略的综合运用。教学中,积极、适宜地进行一题多解的训练,有利于充分 调动学生思维的积极性, 提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧; 有 利于锻炼学生思维的灵活性,促进学生知识与智慧的增长;有利于开拓学生的思路, 引导学生灵活地掌握知识之间的联系, 培养和发挥学生的创造性。 教学的某些合理之 处.更为广泛地发现。”的观点。因此,本文就教师如何引导学生学会把新知变旧知 寻找最近认识发现区,将复杂问题变为单间问题,学会一题多变,触类旁通,进而悟 出解题规律,并经一题多变,拓展知识,归纳出曲折地反复地不断深化的一题多变导 学悟学训练课程设计模型, 使学生真正“学会学习”。 克服了传统教辅模式中存在的 教师变题,学生做题的题海战术。形成了学生主动探讨发现问题,解决问题的学习主 人。

一、小学数学“一题多解”的探究
(一)一题多解的案例
数学是一种应用非常广泛的学科,它将数与量、结构和空间关系在生活中具体应用和 体现。 “一花独放不是春,百花齐放春满园” 。数学自身同样存在“百花齐放”的状态。 数学中存在的“百花齐放” ,指的是数学的多种表现形式,数学题中的一题多解便是其中 之一。一题多解表现了思维的灵活性和广阔性,对沟通知识引起多路思维大有益处,它 是激发学生学习兴趣,调动学生学习积极性的有效方法,与此同时,它也是数学教学的 一种重要方法,是在不改变条件和问题的情况下,让学生多角度、多侧面地进行分析和 思考,探求不同的解题思路。在探求的过程中,由于学生思维发散点不同,因而能找出 多种解题途径,收到培养求异思维的效果。六至十二岁的小学生新鲜感强,目的性不够 明确,爱动、好问,注意力不够稳定,很难长时间把注意力集中到同一学习活动上;教 师教给学生的是现成的结论、现成的论证、现成的说明,一切都是现成的,无需学生动
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手实践就可以将知识快速地储存于自己的大脑。因此,教师付出再多辛苦劳动的结果却 是学生学习完许多知识便忘。此时巧妙地引入一题多解,更好地好地体现了以学生为本 的主导思想,同时又减轻教师教学负担,转变教师教学模式。 例如,有这样一题“两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出,5 小时后相遇。一辆汽车 的速度是每小时 55 千米,另一辆汽车的速度是每小时 45 千米,甲、乙两地相距多少千 米?”它的解法就有多种。 【分析 1】先求两辆汽车各行了多少千米,再求两辆汽车行驶路程的和,即得甲、乙 两地相距多少千米。 【解法 1】一辆汽车行驶了多少千米? 另一辆汽车行驶了多少千米? 甲、乙两地相距多少千米? 综合算式: 55×5+45×5 地相距多少千米。 【解法 2】两车每小时共行驶多少千米? 甲、乙两地相距多少千米? 综合算式: (55+45)×5 方程,求甲、乙两地相距多少千米。 【解法 3】设甲乙两地相距 x 千米。 由此列方程解答。 【解法 4】设甲乙两地相距 x 千米。 x-275=225 x=275+225 x=500 答:甲、乙两地相距 500 千米。 再如: “有两个完全相同的长方体恰好拼成了一个正方体,正方体的表面积是 30 平 方厘米.如果把这两个长方体改拼成一个大长方体,那么大长方体的表面积是多少?” 【分析 1】因为正方体有 6 个相等的面,所以每个面的面积是 30÷6=5 平方厘米.拼 成一个大长方体要减少一个面的面积,同时增加两个面的面积.由此可求大长方体的表面 积. 【解法 1】30-30÷6+30÷6×2 =30-5+10=35(平方厘米). 或:30+30÷6×(2-1) 面积,实际上增加了一个面的面积. 【解法 2】 30+30÷6=30+5=35(平方厘米).
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55×5=275(千米) 45×5=225(千米) 275+225=500(千米) =275+225 =500(千米)

【分析 2】先求出两辆汽车每小时共行驶多少千米,再乘以相遇时间,即得甲、乙两 55+45=100(千米) 100×5=500(千米) =100×5 =500(千米)

【分析 3】甲、乙两地的距离除以相遇时间,就等于两辆汽车的速度和。由此可列出 x÷5=55+45 x=100×5 x=500

【分析 4】甲乙两地距离减去一辆汽车行驶的路程,就等于另一辆汽车行驶的路程, x-55×5=45×5

=30+5=35(平方厘米).

【分析 2】因为拼成大长方体后,表面积先减少一个面的面积,同时又增加两个面的

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【分析 3】把原来正方体的表面积看作“1”.先求出增加的一个面是原来正方体表面 积的几分之几,再运用分数乘法应用题的解法求大长方体的表面积. 【分析 4】 因为原来正方体的表面积是 6 个小正方形面积的和, 拼成大长方体的表面 积是 7 个小正方形面积的和,所以可先求每个小正方形的面积,再求 7 个小正方形的面 积. 【解法 4】30÷6×(6+1) =30÷6×7=35(平方厘米). 答:大长方体的表面积是 35 平方厘米. 由此可见,一题多解,从某方面而言,体现了数学思想。我国著名数学教育家姜伯 驹院士曾多次强调,应该在教材和教学过程中注入数学思想,发挥数学思想方法的作用, 培养应用意识和能力。可见,数学思想和数学方法是数学知识应用的根基和源泉。

(二)一题多种解法之数学思想在小教学中的应用
算术解法正是假设思想的体现,假设思想是一种常用的推测性的数学思考方法.它对 一些无从下手的题,先对题目中的已知条件或问题作出某种假设,然后按照题中的已知 条件进行推算,根据数量出现的矛盾,最后找到正确答案的一种思想方法。比如,按学 生现有的知识,解此题较困难,在实际教学中,数学教师就可以引导学生从假设思想开 始推断,得出结论。 代数解法体现了数学思想中的方程思想。笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问 题→代数问题→方程问题。方程思想在数学中的应用是十分广泛的。哪里有等式,哪里 就有方程;哪里有公式,哪里就有方程。上面的案例就有很好的体现,当然,还有其它 的数学思想值得平时教学实践中引导学生进行运用。 著名的数学家, 莫斯科大学教授 C.A. 雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出: “解题就是 把要解题转化为已经解过的题” 。数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的 化归转换过程。这些数学思想几乎包摄了全部小学数学内容,符合小学生的思维能力及 他们的实际生活经验, 易于被他们理解和掌握,在小学数学教学中, 有机地渗透这些数学 思想可以为进一步学数学打下较好的基础。 案例的一题多解,通过算术解法、和代数的方程解法得道答案,正是发散性思维的 体现,在平时,倘若学生遇到每一道习数学题,能够做到一图多问,一题多议;在条件 和问题不变的情况下多角度、多侧面地进行分析思考,探求不同的解答,从不同方面多 解,对学生的益处不言而喻。无论答案对错,教师应积极地诱导并鼓励他们别出心裁地 思考问题,大胆地提出与众不同的意见与质疑,独辟蹊径地解决问题,这样才能使学生 思维从求异、发散向创新推进。 还有一点就是“一题多解”可以激发学生学习的兴趣。从学生的角度出发,兴趣是 做好任何事情的前提,数学也不外乎于此。一题多解,可以提高学生对数学学习的兴趣。

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小学生具有挑战自我的特性,用于表现自我,在课堂上进行一题多解式探讨教学,使学 生对学习数学更有兴趣,学生便会真正投入到数学的世界里。众所周知,兴趣是最好的 老师。从教育心理学的角度而言,兴趣是感情的体现,是学生学习的内在因素。事实上, 对于任何学生而言,只有感兴趣才能自觉地、主动地、竭尽全力去观察它、思考它、探 究它,才能最大限度地发挥学生的主观能动性。只有打开学生学习数学的兴趣大门,让 小学生学习数学经历一定的学习过程,才能在头脑中形成数学的知识和认知结构。 最后, “一题多解”可以减轻教师教学负担,转变教师教学模式。从教师的角度出发, “讲解——接受”的教学模式,恪守陈规,忽视了学生的课堂主体,教学方法单一,枯 燥,容易使学生失去学习兴趣,如果将此案例的多种解法转变成教师一人的讲解,无论 你怎样讲,怎样去解出此题,一节数学课下来,整个课堂就是老师一个人的舞台,学生 像个听众,只是被动的接受。结果一堂课死气沉沉,学生感觉不到兴趣,从而昏昏欲睡, 学生对教学难点的掌握可想而知,学习效果也同样可想而知。同样放手放给学生,教学 效果、学习效果就有大不同。 《新课标》指出: “有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自 主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。教学中应尊重每一个学生的个性特征, 允许不同的学生从不同的角度认识问题,采用不同的方式表达自己的想法,用不同的知 识与方法解决问题。鼓励学生解决问题策略的多样化,是因材施教,促进每一个学生充 分发展的有效途径。 ”因此,课堂需要注入新的模式,从根本上去革新。教师是学生数学 活动的组织者、引导者与合作者。学生是课堂的真正主人。通过上面案例我们可以得出 结论:教师在课堂上要给学生充足的实间去自主学习,合作交流,探究,解决问题。在 一题多解方面,是学生通过课本知识从原有思维模式想新型思维模式的转型。同时“一 题多解” ,从某种程度上,减轻了数学教师的教学负担。将教师从课堂走到学生身边,将 一味的大量讲解转变成学生主动参与,积极交流合作探究,教师只在适当的时候做以提 示,不用教师领着讲解学习,学生自己会有能力去解决知识间的关系。 小学数学的“一题多解” ,正是学生解决问题、学好数学的形式之一,它正如春天的 “百花”一样,让数学变得绚丽多姿。

二、小学数学“一题多变”的探究
(一)引导学生学会“一题多变”把新题变旧题
联想以前所学的知识中,与例题的意义比较相似的题目,寻找新知的最近认知发现 区,引导学生以旧导新;把不常见的事变成本地常有的事情;把数目大的变成数目小的 问题 。

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人们对客观事物的认识,有一个由简到繁,由低级到高级,由直观到抽象的循“序” 过程,人们对任何事物都不可能一步就达到对其本质的认识。孔子强调学习要按一定顺 序,不可杂乱无章,学习是由浅入深、由简到繁、由具体到抽象的过程,不可能一蹴而 就。孔子说“无欲速” ,因为“欲速则不达” 。颜渊称赞孔子“循循然善诱人” ,表明孔子 善于依据教学内容的客观顺序,又能考虑到学生的接受能力,一步一步地进行诱导,使 学生能够由浅入深、由近及远、有步骤地学习,越学越有兴趣。而利用一题多变就能很 好实现这个目标。在教学中,应该引导学生想一想能不能变成以前曾经学过类似的题目

(二)引导学生学会“一题多变”触类旁通,悟出解题规律
变事情、变数字。 这样通过学生由此及彼联想同类变题训练,使学生及时巩固算法,特别是小学所学 的计算题就能体会到一题多变的意义。 当然,在实际教学中,也许不会在同一课时完成 这一教学任务。但不管用了几课时,教师都应引导学生发现数的大小发生变化时,我们 的计算步骤思路并不变,只在计算法则上有所变化。感受其中所渗透的“以不变应万变” 的意图。因此在完成一个数学题的解答时,有必要对该题的内容、形式、条件、结论, 做进一步的探讨,以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进 行一题多变,从变中总结解题方法;从变中发现解题规律,从变中发现“不变” ,必将使 人受益匪浅。

三、学生学会超级变变,并将所学知识进行拓展
保持条件不变,变换问题; 保持问题不变,变换条件;条件和问题同时改变 例:二年级上册数学例 3:36+35 第一步:引导学生“一题多变”把题目变简单化 师:想一想,能不能将这道 36+35 计算题,变成一道一位数加法和一道不进位的两 位数加法的计算题? 生 1:36+5=41 生 2: 41+30=71, 然后通过学生对比分析讨论很快悟出例题的算理: 36+35 的两位数加两位数(进位 加)的算理: (1)先加个位,个位满十向十位进一,个位写 1 (2)再加十位并加上个位进上 的“1” 第二步: “一题多变”触类旁通。 师:想一想一个加数 36 不变,另一个加数的个位是几才满十?谁能变? 生 1:变成 了: 36+34= 同桌到黑板前列竖式笔算 生 2: 变成了 36+36= 同桌到黑板前列竖式笔算 生 3:变成了 36+37= 同桌到黑板前列竖式笔算 生 4:变成了 36+38= 同桌到黑板前列竖式 笔算 生 5:变成了 36+39= 同桌到黑板前列竖式笔算 师:想一想一个加数 35 不变,另一个加数的个位是几才满十?谁能变? 生 6:变成了 35+35=
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生 7:变成了 37+35= 同桌到黑板前列竖式笔算 生 8:变成了 38+35= 同桌到黑板前列竖式笔算 生 9:变成了 39+35= 同桌到黑板前列竖式笔算又想一想两个加数都变,但是要求只是个位上相加满十的 计算题有哪些? 生 1:变成了 58+27= 同桌到黑板前列竖式笔算 生 2:变成了 54+39= 同桌到黑板前列竖式笔算 生 3:变成了 47+28= 同桌到黑板前列竖式笔算 第三步: “一题多变”实行知识的拓展,一个加数不变,另一个加数的十位上是几相 加才满十? 生 1:变成了 36+75= 生 2:变成了 36+85= 生 3:变成了 36+95= 把知识拓展到连续 进位加的新知识点。 相信类似这样的例子还很多,需要我们不断的归纳,分类,总结。 教师在立足教材,引导学生如何进行一题多变面,使学生学会用联想旧知,联想同 类,改变事情,改变问题中的条件或问题等等变题方法,从中悟出解题规律、方法,同 时也激发了学生的学习兴趣,有效地避免题海战术,巩固数学知识,可培养学生独立思 考,举一反三的学习态度。但在利用典型习题培养学生的发散思维时,应注意几个方面 问题:要有的放矢,适度进行课堂调控,一题多变训练时要适度,不要牵扯太远,避免 学生陷入太多的类同之处,造成事倍功半,事与愿违;教学过程应是以学生提出一题多 变的问题、教师为主导,引导学生如何变,解题方法也由学生悟出,师生双方互动的过 程。变题不是由教师提出,使学生处于被动接受的地位,从而影响学生的学习积极性和 主动性,不利于培养学生的创新思维能力。所以,教师一定要注重学生的主体作用,切 忌包办代替; “一题多变”不仅单是在新授课时使,也可以在复习课充分发挥它的作用, 改变复习课单调的教学过程,起到温故而知新的效果。

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总之,在教学中,教师一定要注意运用各种方法培养和激发学生学习英语的兴趣, 在课堂中应根据课堂教学的实际需要,有选择地运用恰当的教学方法与手段,努力让我 们的课堂变得生动、有趣,充分调动起学生的学习积极性,提高学生学习英语的兴趣, 改变英语最难的局面,全面提高我们的英语教学质量。

参考文献: [1]教育部.义务教育数学课程标准[M].北京师范大学出版社,2001. [2]魏春杰,在小学数学教学中如何贯彻素质教育[J].现代阅读,2011,12.

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行文至此,我的这篇论文已接近尾声;岁月如梭,我三年的大学时光也即将敲 响结束的钟声。离别在即,站在人生的又一个转折点上,心中难免思绪万千,一种 感恩之情油然而生。生我者父母。感谢生我养我,含辛茹苦的父母。是你们,为我 的学习创造了条件;是你们,一如既往的站在我的身后默默的支持着我。没有你们 就不会有我的今天。谢谢你们,我的父亲母亲! 在这三年中,老师的谆谆教导、同学的互帮互助使我在专业技术和为人处事方面 都得到了很大的提高。感谢湖南民院在我三年的大学生活当中对我的教育与培养, 感谢湖南民院信息学院的所有专业老师,没有你们的辛勤劳动,就没有我们今日的 满载而归,感谢大学年曾经帮助过我的所有同学。在制作毕业设计过程中我曾经向 老师们和同学们请教过不少的问题,老师们的热情解答和同学们的热心帮助才使我 的毕业设计能较为顺利的完成。在此我向你们表示最衷心的感谢。

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论文指导老师评语:

论文指导老师签名: 年 月 日

答辩组评语:

答辩组成员(签名): 答辩组组长(签名): 年
指导教师评分(总分 100 分) 答辩组评分 (总分 100 分) 最终成绩




成绩等级

成绩 评定 院系答辩委员会主任(签名): 年 月 日

注: (1)论文指导老师根据学生的写作态度和论文质量写出评语,答辩组根据论文质 量和答辩情况写出答辩评语,并按照《湖南民族职业学院初等教育系 2014 届高职毕业生 毕业论文工作方案》中成绩评定标准,分别给出具体分数。 (2)论文最终成绩=指导教师评分×50%+答辩小组评分×50% (3)毕业论文成绩等级由毕业论文的最终成绩按以下标准折合而成:优秀(90- 100分);良好(75—89);及格(60-74分);不及格:(60分以下)。
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