当前位置:首页 >> 数学 >>

随机变量及其分布列[1].版块五.条件概率.学生版


条件概率

知识内容
1. 离散型随机变量及其分布列
⑴离散型随机变量 如果在试验中, 试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示, 并且 X 是随着试验的结 果的不同而变化的,我们把这样的变量 X 叫做一个随机变量.随机变量常用大写字母 X , Y , ? 表示. 如果随机变量 X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称 X 为离散型随机变量. ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量 X 所有可能的取值 xi 与该取值对应的概率 p i (i ? 1, 2, ?, n) 列表表示:

X
P

x1 p1

x2 p2

… …

xi pi

… …

xn pn

我们称这个表为离散型随机变量 X 的概率分布,或称为离散型随机变量 X 的分布列.

2.几类典型的随机分布
⑴两点分布 如果随机变量 X 的分布列为
X q P 其中 0 ? p ? 1 , q ? 1 ? p ,则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的二点分布. 二点分布举例:某次抽查活动中,一件产品合格记为 1 ,不合格记为 0 ,已知产品的合格率 为 80% ,随机变量 X 为任意抽取一件产品得到的结果,则 X 的分布列满足二点分布. X 1
0

1 p

0

P 0.8 0.2 两点分布又称 0 ? 1 分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验,所以这种分 布又称为伯努利分布. ⑵超几何分布 一般地, 设有总数为 N 件的两类物品, 其中一类有 M 件, 从所有物品中任取 n 件 (n ≤ N ) , 这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量,它取值为 m 时的概率为 Cm Cn ? m P( X ? m) ? M nN ? M (0 ≤ m ≤ l , l 为 n 和 M 中较小的一个 ) . CN

我们称离散型随机变量 X 的这种形式的概率分布为超几何分布,也称 X 服从参数为 N , M , n 的超几何分布.在超几何分布中,只要知道 N , M 和 n ,就可以根据公式求出 X 取不同值时的概率 P( X ? m) ,从而列出 X 的分布列. ⑶二项分布

1.独立重复试验

如果每次试验,只考虑有两个可能的结果 A 及 A ,并且事件 A 发生的概率相同.在相同 的条件下,重复地做 n 次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它们为 n 次独 立重复试验. n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 k n?k (k ? 0, 1, 2, ?, n) . Pn (k ) ? Ck n p (1 ? p) 2.二项分布 若将事件 A 发生的次数设为 X ,事件 A 不发生的概率为 q ? 1 ? p ,那么在 n 次独立重复
k n ?k 试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P( X ? k ) ? Ck ,其中 k ? 0 , 1, 2 , ? , n .于 n p q 是得到 X 的分布列

X
P

0
0 n C0 n p q

1
1 n ?1 C1 n p q

… …

k
k n?k Ck n p q

… …

n
n 0 Cn n p q

由 于 表 中 的 第 二 行 恰 好 是 二 项 展 开 式 0 n ?1 k n k 0 n (q ? n p ?) 0 C ?p ? C ?n?1 p 1q?n ? ? C k p qC pn q n nq n 各对应项的值,所以称这样的散型随机变量 X 服从参数为 n , p 的二项分布, 记作 X ~ B(n , p) . 二项分布的均值与方差: 若离散型随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布,则
E ( X ) ? np , D( x) ? npq (q ? 1 ? p) .

⑷正态分布 1. 概率密度曲线:样本数据的频率分布直方图,在样本容量越来越大时, 直方图上面的折线所接近的曲线.在随机变量中,如果把样本中的任一数据看作随机变 量 X ,则这条曲线称为 X 的概率密度曲线. 曲线位于横轴的上方,它与横轴一起所围成的面积是 1 ,而随机变量 X 落在指定的两个 b 之间的概率就是对应的曲边梯形的面积. 数 a, 2.正态分布 ⑴定义:如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的,而且每一个偶然因素 在总体的变化中都只是起着均匀、 微小的作用, 则表示这样的 y 随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布. x=μ 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量,简称正态变量. 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 f ( x) ?
1 2π ? ? x ? R ,其中 ? , ? 是参数,且 ? ? 0 , ?? ? ? ? ?? .
2

e

?

( x ? ? )2 2? 2



式中的参数 ? 和 ? 分别为正态变量的数学期望和标准差.期望

O

x

为 ? 、标准差为 ? 的正态分布通常记作 N ( ? , ? ) . 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线. ⑵标准正态分布:我们把数学期望为 0 ,标准差为 1 的正态分布叫做标准正态分布. ⑶重要结论: ①正态变量在区间 (? ? ? , ? ? ? ) , (? ? 2? , ? ? 2? ) , (? ? 3? , ? ? 3? ) 内,取值的概率分 别是 68.3% , 95.4% , 99.7% .
? ? 3? ) 之外的取值的概率 ? ?) 内的取值的概率为 1 , ②正态变量在 (?? , 在区间 (? ? 3? ,

是 0.3% , 故正态变量的取值几乎都在距 x ? ? 三倍标准差之内, 这就是正态分布的 3? 原 则.

⑷若 ? ~ N (? , 则称 F ( x) ? P(? ≤ x) ? ??? f (t )dt 为概率分布 ? 2 ) , f ( x) 为其概率密度函数,
x 1 ? t2 ? ?? e dt 为标准正态分布函数. ~ N (0 , 12 ) ,称 ? ( x) ? ??? ? 2 π x?? P(? ? x) ? ? ( ). ? 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得. 分布函数新课标不作要求,适当了解以加深对密度曲线的理解即可.
2

x

函数,特别的,

3.离散型随机变量的期望与方差
1.离散型随机变量的数学期望 定义:一般地,设一个离散型随机变量 X 所有可能的取的值是 x1 , x 2 ,…, x n ,这些 值对应的概率是 p1 , p2 ,…, pn ,则 E ( x) ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn ,叫做这个离散型随 机变量 X 的均值或数学期望(简称期望) . 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平. 2.离散型随机变量的方差 一般地,设一个离散型随机变量 X 所有可能取的值是 x1 , x 2 ,…, x n ,这些值对应的
2 2 概率是 p1 , p2 , … , pn ,则 D( X ) ? (x1 ? E (x ))2 p1 ? (x 2 ? E (x )) p2 ??? ( xn ? E ( x )) pn 叫 做这个离散型随机变量 X 的方差. 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 (离散 程度) . D ( X ) 的算术平方根 D( x) 叫做离散型随机变量 X 的标准差,它也是一个衡量离散型随

机变量波动大小的量. b 为常数,则 E(aX ? b) ? aE ( X ) ? b , 3. X 为随机变量, a , D(aX ? b) ? a 2 D( X ) ; 4. 典型分布的期望与方差: ⑴二点分布:在一次二点分布试验中,离散型随机变量 X 的期望取值为 p ,在 n 次二 点分布试验中,离散型随机变量 X 的期望取值为 np . ⑵二项分布:若离散型随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布,则 E ( X ) ? np , D( x) ? npq (q ? 1 ? p) . M, n 的超几何分布, ⑶超几何分布:若离散型随机变量 X 服从参数为 N , n( N ? n)( N ? M ) M nM 则 E( X ) ? , D( X ) ? . N 2 ( N ? 1) N

4.事件的独立性
如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响,即 P( B | A) ? P( B) , 这时,我们称两个事件 A , B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件. 如果事件 A1 , A2 ,…, An 相互独立,那么这 n 个事件都发生的概率,等于每个事件发 生的概率的积, 即 P( A1 ? A2 ??? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ??? P( An ) , 并且上式中任意多个事 件 Ai 换成其对立事件后等式仍成立.

5.条件概率
对于任何两个事件 A 和 B ,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率叫做条件概 率, 用符号“ P( B | A) ”来表示. 把由事件 A 与 B 的交 (或积) , 记做 D ? A ? B(或 D ? AB ) .

典例分析
【例1】 把一枚硬币抛掷两次, 事件 A ? “第一次出现正面”, 事件 B ? “第二次出现反面”,

则 P(B A) ? _____ .

【例2】 抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,则第二次掷

得向上一面点数也是偶数的概率为



【例3】 掷两枚均匀的骰子, 记 A ? “点数不同”,B ? “至少有一个是 6 点”, 求 P(A |B) 与
P( B | A) .

【例4】 设某种动物活到 20 岁以上的概率为 0.7 ,活到 25 岁以上的概率为 0.4 ,求现龄

为 20 岁的这种动物能活到 25 岁以上的概率.

【例5】 某地区气象台统计,该地区下雨的概率是

4 2 ,刮风的概率是 ,既刮风又下 15 15

雨的概率是

1 ,设 A ? “刮风”, B ? “下雨”,求 P(B A) , P( A B) . 10

【例6】 设某批产品有 4% 是废品,而合格品中的 75% 是一等品,任取一件产品是一等

品的概率是



【例7】 甲、乙两班共有 70 名同学,其中女同学 40 名.设甲班有 30 名同学,而女生

15 名,问在碰到甲班同学时,正好碰到一名女同学的概率?

【例8】 在 10 个球中有 6 个红球,4 个白球(各不相同),不放回的依次摸出 2 个球,

在第 1 次摸出红球的条件下,第 2 次也摸出红球的概率是( 3 2 5 A. B. C. 3 5 9


D.

1 3

【例9】 从 1 ~ 100 个整数中,任取一数,已知取出的—数是不大于 50 的数,求它是 2 或

3 的倍数的概率.

【例10】 袋中装有 2 n ? 1 个白球, 2 n 个黑球,一次取出 n 个球,发现都是同一种颜色的,

问这种颜色是黑色的概率是多少?

【例11】 一袋中装有 10 个球,其中 3 个黑球,7 个白球,先后两次从袋中各取一球(不

放回) ⑴已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率; ⑵已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率; ⑶已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的是白球的概率.

【例12】 有两箱同类零件,第一箱内装 50 件,其中 10 件是一等品;第二箱内装 30 件,

其中 18 件是一等品.现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中先后随机取出 两个零件(取出的零件均不放回) ,试求: ⑴先取出的零件是一等品的概率; ⑵在先取出的零件是一等品的条件下后取出的仍然是一等品的概率. (保留三位有 效数字)

【例13】 设有来自三个地区的各 10 名、 15 名和 25 名考生的报名表,其中女生的报名表

分别为 3 份、7 份和 5 份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份, ⑴求先抽到的一份是女生表的概率 p . ⑵己知后抽到的一份是男生表,求先抽到的是女生的概率 q .

【例14】 一辆飞机场的交通车载有 25 名乘客途经 9 个站,每位乘客都等可能在这 9 站

中任意一站下车(且不受其他乘客下车与否的影响) ,交通车只在有乘客下车 时才停车, 求交通车在第 i 站停车的概率以及在第 i 站不停车的条件下在第 j 站 停车的概率,并判断“第 i 站停车”与“第 j 站停车”两个事件是否独立.

【例15】 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,求: ⑴1 次抽到理科题的概率;

⑵1 次和第 2 次都抽到理科题的概率; ⑶第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率.

【例16】 一张储蓄卡的密码共位数字,每位数字都可从 0~9 中任选一个.某人在银行

自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求: ⑴任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率; ⑵如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率.

【例17】 由以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下效果:被诊断者有癌症,试

验反应为阳性的概率为 0.95;被诊断者没有癌症,试验反应为阴性的概率为 0. 95 ?现对自然人群进行普查, 设被试验的人群中患有癌症的概率为 0. 005, 求:已知试验反应为阳性,该被诊断者确有癌症的概率.?


相关文章:
随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布1.学生版
随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布1.学生版_数学_自然科学_专业...并且上式中任意多个事 件 Ai 换成其对立事件后等式仍成立. 5.条件概率对于任何...
随机变量及其分布列[1].版块三.离散型随机变量的期望与...
随机变量及其分布列[1].版块三.离散型随机变量的期望与方差2.学生版。高考数学...5.条件概率对于任何两个事件 A 和 B ,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B ...
随机变量及其分布列.版块四.事件的独立性2.学生版
随机变量及其分布列.版块四.事件的独立性2.学生版_...依赖于独立性的概率计算 知识内容 1. 离散型随机...5.条件概率对于任何两个事件 A 和 B ,在已知事件...
...随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布1.学...
系列——随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布1.学生版_高考_高中...5.条件概率对于任何两个事件 A 和 B ,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B ...
随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布4.学生版
我们称这个表为离散型随机变量 X 的概率分布,或称为离散型随机变量 X 的分布列. 2.几类典型的随机分布⑴两点分布 如果随机变量 X 的分布列为 X P 1 p 0...
随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布3.学生版
随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布3....二项分布 知识内容 1. 离散型随机变量及其分布列⑴...5.条件概率对于任何两个事件 A 和 B ,在已知事件...
随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布3.学生版
随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布3....二项分布 知识内容 1. 离散型随机变量及其分布列⑴...5.条件概率对于任何两个事件 A 和 B ,在已知事件...
随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布2.学生版
随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布2....1 分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利...5.条件概率对于任何两个事件 A 和 B ,在已知事件...
2015高考数学总复习专题系列——随机变量及其分布列.版...
分布列.版块二.几类典型的随机分布3.学生版_高考_...两点分布 如果随机变量 X 的分布列为 X P 1 p ...5.条件概率对于任何两个事件 A 和 B ,在已知事件...
2015高考数学总复习专题系列——随机变量及其分布列.版...
分布列.版块二.几类典型的随机分布4.学生版_高考_...正态分布 知识内容 1. 离散型随机变量及其分布列⑴...5.条件概率对于任何两个事件 A 和 B ,在已知事件...
更多相关标签: