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江西省宜春市上高二中2016届高三上学期第二次月考数学试卷(文科) Word版含解析


2015-2016 学年江西省宜春市上高二中高三(上)第二次月考数 学试卷(文科)
一、选择题(每题 5 分) 1.下列图象中表示函数图象的是(

)

A.

B.

C.

D. 2.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5},则图中阴

影部分表示的集合 是( )

A.{1,2,4}

B.{4} C.{3,5}

D.?

3. A. B.

的定义域为( C.

) D. )

4.若 a,b,c 为实数,且 a<b<0,则下列命题正确的是( A.a >ab>b
2 2

B.ac <bc

2

2

C.

D.

5.若 a=2 ,b=logπ3,c=log2sin ,则( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 6.下列函数中,既为奇函数又在(0,+∞)内单调递减的是( A.f(x)=xsinx B.f(x)=x )

0.5

C.f(x)=

D.f(x)=x﹣

7.函数 y=logmx+1(m>0,m≠1)的图象恒过定点 M,若点 M 在直线 ax+by=1(a>0,b >0)上,则 + 的最小值为( ) A.8 B.9 C.10 D.12 8.已知奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)为偶函数,且 f(1)=1,则 f+f=( A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1
2

)

9.已知函数 f(x)=a﹣x (1≤x≤2)与 g(x)=x+1 的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实 数 a 的取值范围是( ) A. B.[1,2]
x﹣2

C.

D.[﹣1,1]

10.已知函数 f(x)=a ,g(x)=loga|x|(其中 a>0 且 a≠1) ,若 f(4)?g(﹣4)<0, 则 f(x) ,g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )

A.

B.

C.

D.

11.已知函数

满足:对任意实数 x1,x2,当 x1<x2 时, ) D.

总有 f(x1)﹣f(x2)>0,那么实数 a 的取值范围是( A. B.
2

C.

12.已知函数 f(x)=ax ﹣(3﹣a)x+1,g(x)=x,若对于任一实数 x,f(x)与 g(x) 至少有一个为正数,则实数 a 的取值范围是( ) A.[0,3) B.[3,9) C.[1,9) D.[0,9)

二、填空题(每题 5 分)

13.曲线 y=x﹣cosx 在点(
2



)处的切线方程为__________.
2

14.已知函数 f(x)=log2(x ﹣ax+a )的图象关于 x=2 对称,则 a 的值为__________.

15.已知函数 f(x)=

,若对任意的 x∈R,不等式 f(x)≤m ﹣ m 恒成

2

立,则实数 m 的取值范围为__________. 16.函数 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) ,且 f(x+1)为奇函数,当 x>1 时, f(x)=2x ﹣12x+16,则函数 y=f(x)﹣2 的所有零点之和是__________.
2

三、解答题(70 分) 17.命题 p:?x>0,x+ >a;命题 q:x ﹣2ax+1≤0 解集非空.¬q 假,p∧q 假,求 a 的取 值范围.
2

18.对于函数

,解答下述问题:

(1)若函数的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数的值域为(﹣∞,﹣1],求实数 a 的值.

19. 己知集合 A={x|﹣1<x<3}, 集合 B={y|y= , x∈ (﹣3, 0) ∪ (0, 1) }, 集合 C={x|2x +mx ﹣8<0}. (1)求 A∩B、A∪(?RB) (R 为全集) ; (2)若(A∩B)?C,求 m 的取值范围. 20.已知函数 f(x)=b?a (a,b 为常数且 a>0,a≠1)的图象经过点 A(1,8) ,B(3,32) (1)试求 a,b 的值; (2)若不等式( ) +( ) ﹣m≥0 在 x∈(﹣∞,1]时恒成立,求实数 m 的取值范围.
x x x

2

21.已知函数 f(x)=

(x∈R) .

(1)写出函数 y=f(x)的奇偶性; (2)当 x>0 时,是否存实数 a,使 v=f(x)的图象在函数 g(x)= 图象的下方,若存在, 求 α 的取值范围;若不存在,说明理由.

22.已知函数 f(x)=mx+3,g(x)=x +2x+m, (1)求证:函数 f(x)﹣g(x)必有零点; (2)设函数 G(x)=f(x)﹣g(x)﹣1,若|G(x)|在[﹣1,0]上是减函数,求实数 m 的 取值范围.

2

2015-2016 学年江西省宜春市上高二中高三(上)第二次 月考数学试卷(文科)
一、选择题(每题 5 分) 1.下列图象中表示函数图象的是(

)

A.

B.

C.

D. 【考点】函数的图象;函数的概念及其构成要素. 【专题】作图题. 【分析】根据函数的定义,对任意的一个 x 都存在唯一的 y 与之对应可求 【解答】解:根据函数的定义,对任意的一个 x 都存在唯一的 y 与之对应 而 A、B、D 都是一对多,只有 C 是多对一. 故选 C 【点评】本题主要考查了函数定义与函数对应的应用,要注意构成函数的要素之一:必须形 成一一对应或多对一,但是不能多对一,属于基础试题 2.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5},则图中阴影部分表示的集合 是( )

A.{1,2,4} B.{4} C.{3,5} D.? 【考点】Venn 图表达集合的关系及运算. 【专题】计算题;集合. 【分析】由图知,图中阴影部分表示的集合是?U(A∩B) . 【解答】解:图中阴影部分表示的集合是?U(A∩B) , ∵A∩B={3,5}, ∴?U(A∩B)={1,2,4}, 故选:A. 【点评】本题考查了集合运算的图形表示.

3.

的定义域为(

)

A. B. C. D. 【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由 f(x)中被开方数大于或等于 0 以及对数函数的性质,求得 f(x)的定义域. 【解答】解:∵f(x)= ∴log0.5(4x﹣1)≥0, 又指数函数 y=log0.54x﹣1 是减函数, ∴0<4x﹣1≤1, 解得 <x≤ , ∴f(x)的定义域为( , ]; 故选:C. 【点评】本题考查了求函数的定义域问题,是基础题. 4.若 a,b,c 为实数,且 a<b<0,则下列命题正确的是( A.a >ab>b B.ac <bc C. 【考点】不等关系与不等式. 【专题】计算题.
2 2 2 2

,被开方数大于 0,

)

D.

【分析】利用不等式的基本性质可知 A 正确;B 若 c=0,则 ac =bc ,错;C 利用不等式的 性质“同号、取倒,反向”可知其错;D 作差,因式分解即可说明其错. 【解答】解:A、∵a<b<0,∴a >ab,且 ab>b , 2 2 ∴a >ab>b ,故 A 正确; 2 2 B、若 c=0,则 ac =bc ,故不正确;
2 2

2

2

C、∵a<b<0,∴

>0,∴

,故错;

D、∵a<b<0,∴

<0,∴

,故错;

故答案为 A. 【点评】 本小题主要考查不等关系与不等式、 不等式的基本性质、 不等式的解法等基础知识, 考查运算求解能力及分类讨论思想.属于基础题.

5.若 a=2 ,b=logπ3,c=log2sin ,则( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 【考点】对数函数的单调区间;对数的运算性质.

0.5

【分析】利用估值法知 a 大于 1,b 在 0 与 1 之间,c 小于 0. 【解答】解: , 由指对函数的图象可知:a>1,0<b<1,c<0, 故选 A 【点评】估值法是比较大小的常用方法,属基本题. 6.下列函数中,既为奇函数又在(0,+∞)内单调递减的是( A.f(x)=xsinx B.f(x)=x )

C.f(x)=

D.f(x)=x﹣

【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可. 【解答】解:A.f(﹣x)=﹣xsin(﹣x)=xsinx,为偶函数,不满足条件. B.函数的定义域为(0,+∞) ,函数为非奇非偶函数,不满足条件.

C.f(﹣x)=

=

=﹣

=﹣f(x) ,则函数 f(x)为奇函数,且 f(x)

=

=

为减函数,满足条件.

D.f(x)是奇函数,在(0,+∞)上不是单调函数,不满足条件. 故选:C 【点评】 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断, 根据相应的定义和性质是解决本题的关 键. 7.函数 y=logmx+1(m>0,m≠1)的图象恒过定点 M,若点 M 在直线 ax+by=1(a>0,b >0)上,则 + 的最小值为( ) A.8 B.9 C.10 D.12 【考点】对数函数的图像与性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】找到定点得:a+b=1,再代入 + 整理利用基本不等式就能求出. 【解答】解;∵y= +1 恒过定点(1,1) ,

∴把 M(1,1)代入 ax+by=1 得:a+b=1, ∴ + =(a+b) ( + )=5+ + 当且仅当 = 时等号成立, ≥5+2 =9,

故答案选:B. 【点评】本题主要考查直线过定点问题和基本不等式的运用.考查基础知识的综合运用. 8.已知奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)为偶函数,且 f(1)=1,则 f+f=( ) A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据 f(x)和 f(x+1)的奇偶性便可得到 f(x)=f(x﹣1+1)=f(x﹣4) ,从而得 出 f(x)是周期为 4 的周期函数,而可以求出 f(2)=0,从而可以得出 f+f=f(2)﹣f(1) =﹣1. 【解答】解:∵f(x)为 R 上的奇函数,f(x+1)为偶函数, ∴f(x)=f(x﹣1+1)=f(﹣x+2)=﹣f(x﹣2)=f(x﹣4) ; ∴f(x)是周期为 4 的周期函数; ∴f+f=f(2+503×4)+f(﹣1+504×4)=f(2)﹣f(1)=f(2)﹣1; f(﹣1+1)=f(1+1)=0; 即 f(2)=0; ∴f+f=0﹣1=﹣1. 故选:B. 【点评】考查奇函数、偶函数的定义,以及周期函数的定义,清楚偶函数的定义:f(﹣x) =f(x) ,是自变量换上﹣x 后函数值不变. 9.已知函数 f(x)=a﹣x (1≤x≤2)与 g(x)=x+1 的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实 数 a 的取值范围是( ) A. B.[1,2] C. D.[﹣1,1] 【考点】二次函数的性质. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】由已知,得到方程 a﹣x =﹣(x+1)?a=x ﹣x﹣1 在区间[1,2]上有解,构造函数 2 g(x)=x ﹣x﹣1,求出它的值域,得到 a 的范围即可 2 【解答】解:若函数 f(x)=a﹣x (1≤x≤2)与 g(x)=x+1 的图象上存在关于 x 轴对称的 点, 2 2 则方程 a﹣x =﹣(x+1)?a=x ﹣x﹣1 在区间[1,2]上有解, 2 令 g(x)=x ﹣x﹣1,1≤x≤2, 由 g(x)=x ﹣x﹣1 的图象是开口朝上,且以直线 x= 为对称轴的抛物线, 故当 x=1 时,g(x)取最小值﹣1,当 x=2 时,函数取最大值 1, 故 a∈[﹣1,1], 故选:D 2 【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围;关键是将已知转化为方程 a=x ﹣x ﹣1 在区间[1,2]上有解. 10.已知函数 f(x)=a ,g(x)=loga|x|(其中 a>0 且 a≠1) ,若 f(4)?g(﹣4)<0, 则 f(x) ,g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )
x﹣2 2 2 2 2

A.

B.

C.

D. 【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用条件 f(4)g(﹣4)<0,确定 a 的大小,从而确定函数的单调性. 【解答】解:由题意 f(x)=a 是指数型的,g(x)=loga|x|是对数型的且是一个偶函数, 由 f(4)?g(﹣4)<0,可得出 g(﹣4)<0,由此特征可以确定 C、D 两选项不正确, 由 g(﹣4)<0 得 loga4<0,∴0<a<1,故其底数 a∈(0,1) ,由此知 f(x)=a ,是一 个减函数,由此知 A 不对,B 选项是正确答案 故选:B. 【点评】 本题主要考查了函数图象的识别和应用. 判断函数图象要充分利用函数本身的性质, 由 f(4)?g(﹣4)<0,利用指数函数和对数函数的性质是解决本题的关键.
x﹣2 x﹣2

11.已知函数

满足:对任意实数 x1,x2,当 x1<x2 时, )

总有 f(x1)﹣f(x2)>0,那么实数 a 的取值范围是(

A. B. C. D. 【考点】函数单调性的性质;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 【专题】函数的性质及应用.

【分析】由已知可得函数

是(﹣∞,+∞)上的减函数,

则分段函数在每一段上的图象都是下降的,且在分界点即 x=1 时,第一段函数的函数值应 大于等于第二段函数的函数值.由此不难判断 a 的取值范围. 【解答】解:∵对任意实数 x1,x2,当 x1<x2 时,总有 f(x1)﹣f(x2)>0,

∴函数

是(﹣∞,+∞)上的减函数,

当 x≥1 时,y=logax 单调递减, ∴0<a<1; 而当 x<1 时,f(x)=(3a﹣1)x+4a 单调递减, ∴a< ; 又函数在其定义域内单调递减,

故当 x=1 时, (3a﹣1)x+4a≥logax,得 a≥ , 综上可知, ≤a< . 故选 A 【点评】分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法是:分 段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各 段上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者. 12.已知函数 f(x)=ax ﹣(3﹣a)x+1,g(x)=x,若对于任一实数 x,f(x)与 g(x) 至少有一个为正数,则实数 a 的取值范围是( ) A.[0,3) B.[3,9) C.[1,9) D.[0,9) 【考点】二次函数的图象;一次函数的性质与图象. 【专题】计算题;压轴题. 2 【分析】对函数 f(x)判断△ =(3﹣a) ﹣4a<0 时,一定成立,可排除 A 与 B,再对特殊 值 a=0 时,若对于任一实数 x,f(x)与 g(x)至少有一个为正数,可得答案. 【解答】解:对于函数 f(x) ,当△ =(3﹣a) ﹣4a<0 时,即 1<a<9,显然成立,排除 A 与B 当 a=0,f(x)=﹣3x+1,g(x)=x 时,显然成立,排除 C; 故选 D. 【点评】本题主要考查对一元二次函数图象的理解.对于一元二次不等式,一定要注意其开 口方向、对称轴和判别式. 二、填空题(每题 5 分) 13.曲线 y=x﹣cosx 在点( , )处的切线方程为 2x﹣y﹣ =0. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题;导数的概念及应用;直线与圆. 【分析】求出函数的导数,求得切线的斜率,再由点斜式方程即可得到所求切线方程. 【解答】解:y=x﹣cosx 的导数为 y′=1+sinx, 即有在点( 则曲线在点( 即为 2x﹣y﹣ , , =0. )处的切线斜率为 k=1+sin )处的切线方程为 y﹣ =2, =2(x﹣ ) ,
2 2

故答案为:2x﹣y﹣ =0. 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程,掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题 的关键. 14.已知函数 f(x)=log2(x ﹣ax+a )的图象关于 x=2 对称,则 a 的值为 4. 【考点】奇偶函数图象的对称性. 【专题】计算题;数形结合.
2 2

【分析】由题意,先研究函数的定义域,当 a=0 时不合题意,当 a≠0 时,定义域为 R,故函 数的对称轴即内层函数的对称轴 【解答】解:由题意,a=0 时不合题意 2 当 a≠0 时,△ =﹣3a <0,定义域为 R, 又内层函数的对称轴为 x= ∵函数 f(x)=log2(x ﹣ax+a )的图象关于 x=2 对称 ∴x= =2 ∴a=4 故答案为 4 【点评】 本题考查函数图象的对称性, 求解本问题的关键是由函数的解析式得出函数的对称 轴即内层函数的对称轴,由此关系建立方程求出参数的值即可.
2 2

15.已知函数 f(x)= 立,则实数 m 的取值范围为 【考点】函数恒成立问题. 【专题】不等式的解法及应用.

,若对任意的 x∈R,不等式 f(x)≤m ﹣ m 恒成 或 m≥1.

2

【分析】求出分段函数的最大值,把不等式 f(x)≤m ﹣ m 恒成立转化为 m ﹣ m 大于等 于 f(x)的最大值恒成立,然后求解不等式得到实数 m 的取值范围.

2

2

【解答】解:对于函数 f(x)= 当 x≤1 时,f(x)=

, ;

当 x>1 时,f(x)=
2

<0.

∴要使不等式 f(x)≤m ﹣ m 恒成立, 则 恒成立,即 或 m≥1.

故答案为: 或 m≥1. 【点评】 本题考查了恒成立问题, 训练了分段函数的最值的求法, 考查了数学转化思想方法, 是中档题.

16.函数 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) ,且 f(x+1)为奇函数,当 x>1 时, f(x)=2x ﹣12x+16,则函数 y=f(x)﹣2 的所有零点之和是 5. 【考点】函数零点的判定定理;函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】f(x+1)为奇函数可得函数 f(x)的图象关于(1,0)对称,从而可求 x<1 时的 函数解析式,进而解方程 f(x)=2 可得. 【解答】解:∵f(x+1)为奇函数, ∴函数图象关于(0,0)对称, 即函数 f(x)的图象关于(1,0)对称 2 ∵当 x>1 时,f(x)=2x ﹣12x+16, 2 当 x<1 时,f(x)=﹣2x ﹣4x 2 令 2x ﹣12x+16=2, 2 即 x ﹣6x+7=0, 可得 x1+x2=6, 2 令﹣2x ﹣4x=2, 2 即 x +2x+1=0,可得 x3=﹣1 ∴横坐标之和为 x1+x2+x3=6﹣1=5 故答案为:5. 【点评】本题主要考查了函数的平移、奇函数的对称性,利用对称性求函数在对称区间上的 解析式.考查性质的灵活应用. 三、解答题(70 分) 17.命题 p:?x>0,x+ >a;命题 q:x ﹣2ax+1≤0 解集非空.¬q 假,p∧q 假,求 a 的取 值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】简易逻辑. 【分析】利用分类讨论思想,利用恒成立问题首先求出 a 的取值范围,进一步利用不等式有 解的条件求出 a 的范围,进一步利用命题的:且、或、非”最后求出结果. 【解答】解:不妨设 p 为真,要使得不等式恒成立 只需 ,
2 2

又∵当 x>0 时, , ∴a<2, 不妨设 q 为真,要使得不等式有解, 2 只需△ ≥0,即(﹣2a) ﹣4≥0, 解得 a≤﹣1 或 a≥1; ∵?q 假,且“p∧q”为真命题, 故 q 真 p 假,

所以



∴实数 a 的取值范围为 a≥2.

【点评】本题考查的知识要点:符合命题的应用,且是命题和或是命题的应用,分类讨论思 想的应用.属于基础题型.

18.对于函数

,解答下述问题:

(1)若函数的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数的值域为(﹣∞,﹣1],求实数 a 的值. 【考点】对数函数图象与性质的综合应用. 【专题】函数的性质及应用. 2 【分析】 (1)若函数的定义域为 R,则内函数 u=g(x)=x ﹣2ax+3 的最小值大于 0,进而 可得实数 a 的取值范围; (2)函数的值域为(﹣∞,﹣1],则内函数 u=g(x)=x ﹣2ax+3 的最小值为 2,进而可得 实数 a 的值. 2 2 2 【解答】解:记 u=g(x)=x ﹣2ax+3=(x﹣a) +3﹣a , (1)∵u>0 对 x∈R 恒成立, ∴ ∴a 的取值范围是
2 2

, ;

(2)∵g(x)的值域是[3﹣a ,+∞) , ∴函数的值域为(﹣∞,﹣1]等价于 ;

即 a 的值为±1; 【点评】本题考查的知识点是对数函数与性质,二次函数的图象和性质,是函数图象和性质 的综合应用,难度中档.

19. 己知集合 A={x|﹣1<x<3}, 集合 B={y|y= , x∈ (﹣3, 0) ∪ (0, 1) }, 集合 C={x|2x +mx ﹣8<0}. (1)求 A∩B、A∪(?RB) (R 为全集) ; (2)若(A∩B)?C,求 m 的取值范围. 【考点】交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用;集合关系中的参数取值问 题. 【专题】集合. 【分析】 (1)求出集合 B 中 y 的范围确定出 B,根据全集 R 求出 B 的补集,找出 A 与 B 的 交集,求出 A 与 B 补集的并集即可; (2)根据 A 与 B 的交集为 C 的子集,确定出 m 的范围即可. 【解答】解: (1)由 B 中 y= ,x∈(﹣3,0)∪(0,1) ,得到 B∈(﹣∞,﹣ )∪(1,+∞) , ∵A=(﹣1,3) , ∴A∩B=(﹣1,﹣ )∪(1,3) , ∵全集为 R,

2

∴?RB=[﹣ ,﹣1], 则 A∪(?RB)=(﹣1,3) ; 2 (2)令 f(x)=2x +mx﹣8, ∵C={x|2x +mx﹣8<0},A∩B=(﹣1,﹣ )∪(1,3) ,且(A∩B)?C,
2





解得:﹣6≤m≤﹣ . 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 20.已知函数 f(x)=b?a (a,b 为常数且 a>0,a≠1)的图象经过点 A(1,8) ,B(3,32) (1)试求 a,b 的值; (2)若不等式( ) +( ) ﹣m≥0 在 x∈(﹣∞,1]时恒成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】指数函数综合题. 【专题】函数的性质及应用. x 【分析】 (1)由函数 f(x)=b?a , (其中 a,b 为常数且 a>0,a≠1)的图象经过点 A(1,8) ,
x x x

B(3,32) ,知
x

,由此能求出 f(x) .
x x x

(2)设 g(x)=( ) +( ) =( ) +( ) , 则 y=g(x)在 R 上是减函数,故当 x≤1 时,g(x)min=g(1)= .由此能求出实数 m 的取 值范围. x 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=b?a , (其中 a,b 为常数且 a>0,a≠1)的图象经过点 A (1,8) ,B(3,32) ,





解得 a=2,b=4, x x+2 ∴f(x)=4?(2) =2 , (2)设 g(x)=( ) +( ) =( ) +( ) , y=g(x)在 R 上是减函数, ∴当 x≤1 时,g(x)min=g(1)= . 若不等式( ) +( ) ﹣m≥0 在 x∈(﹣∞,1]时恒成立, 即 m≤
x x x x x x

【点评】本题考查函数解析式的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,解题时要认 真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.

21.已知函数 f(x)=

(x∈R) .

(1)写出函数 y=f(x)的奇偶性; (2)当 x>0 时,是否存实数 a,使 v=f(x)的图象在函数 g(x)= 图象的下方,若存在, 求 α 的取值范围;若不存在,说明理由. 【考点】函数恒成立问题;函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用.

【分析】 (1)当 a=0 时,f(x)= 是非奇非偶函数.

是奇函数; 当 a≠0 时,函数 f(x)=

(x∈R) ,

(2)若 y=f(x)的图象在函数 g(x)= 图象的下方,则 立,在求函数的最值. 【解答】解: (1)因为 y=f(x)的定义域为 R,所以:

< ,化简得 a< +x 恒成

当 a=0 时,f(x)=

是奇函数;

当 a≠0 时,函数 f(x)= (2)当 x>0 时,

(x∈R) .是非奇非偶函数.

若 y=f(x)的图象在函数 g(x)= 图象的下方,则 化简得 a< +x 恒成立, 因为 x>0,∴ 即 ,

< ,

所以,当 a<4 时,y=f(x)的图象都在函数 g(x)= 图象的下方. 【点评】本题主要考查函数的奇偶性,同时考查函数恒成立的问题,主要进行函数式子的恒 等转化. 22.已知函数 f(x)=mx+3,g(x)=x +2x+m, (1)求证:函数 f(x)﹣g(x)必有零点;
2

(2)设函数 G(x)=f(x)﹣g(x)﹣1,若|G(x)|在[﹣1,0]上是减函数,求实数 m 的 取值范围. 【考点】函数单调性的性质;二次函数的性质;函数零点的判定定理. 【专题】计算题. 【分析】 (1)函数 f(x)﹣g(x)的零点即为,方程 f(x)﹣g(x)=0 的根,根据已知中 2 函数 f(x)=mx+3,g(x)=x +2x+m,构造方程 f(x)﹣g(x)=0,判断其△ 的与 0 的关 系,即可得到结论. (2)由已知中函数 G(x)=f(x)﹣g(x)﹣1,我们可得到函数 G(x)的解析式,分析 二次函数 G(x)的值域,进而根据对折变换确定函数 y=|G(x)|的图象及性质,进而得到 满足条件的实数 m 的取值范围. 2 【解答】解: (1)证明∵f(x)﹣g(x)=﹣x +(m﹣2)x+3﹣m 2 又∵f(x)﹣g(x)=﹣x +(m﹣2)x+3﹣m=0 时, 2 2 则△ =(m﹣2) ﹣4(m﹣3)=(m﹣4) ≥0 恒成立, 2 所以方程 f(x)﹣g(x)=﹣x +(m﹣2)x+3﹣m=0 有解 函数 f(x)﹣g(x)必有零点 2 解: (2)G(x)=f(x)﹣g(x)﹣1=﹣x +(m﹣2)x+2﹣m 2 ①令 G(x)=0 则△ =(m﹣2) ﹣4(m﹣2)=(m﹣2) (m﹣6) 2 当△ ≤0,2≤m≤6 时 G(x)=﹣x +(m﹣2)x+2﹣m≤0 恒成立 2 所以,|G(x)|=x +(2﹣m)x+m﹣2,在[﹣1,0]上是减函数,则 2≤m≤6 2 ②△ >0,m<2,m>6 时|G(x)|=|x +(2﹣m)x+m﹣2| 因为|G(x)|在[﹣1,0]上是减函数 2 所以方程 x +(2﹣m)x+m﹣2=0 的两根均大于 0 得到 m>6

或者一根大于 0 而另一根小于 0 且

,得到 m≤0

综合①②得到 m 的取值范围是(﹣∞,0]∪[2,+∞) . 【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质,二次函数的性质,函数零点的判定定理, 其中熟练掌握二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的辩证关系是解答本题的关键.


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