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A-164专题十八:18.离散型随机变量及其分布列


13--14 高三二轮复习

姓名

数学作业
A-164
一.选择题

班级 学号 高三数学参数方程 专题十八:离散型随机变量及其分布列 审题人:赵红芳

组题人:杜玲

1.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( ) 1 1 2 1 A. B. C. D. 8 4 5 2 2.若事件 A,B,C 相互独立,且 P(A)=0.25,P(B)=0.50,P(C)=0.40,则 P(A+B+C)=( ) A.0.80 B.0.15 C.0.55 D.0.775 3.两台相互独立工作的电脑产生故障的概率分别为 a,b,则产生故障的电脑台数的均值为( ) A.ab B.a+b C.1-ab D.1-a-b 2 4.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ ),且 P(ξ <4)=0.8,则 P(0<ξ <2)=( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 8 7 5.根据历年气象资料统计,某地四月份刮东风的概率是 ,刮东风又下雨的概率是 ,则该地四月 30 30 份在刮东风条件下下雨的概率是( ) 8 7 7 8 A. B. C. D. 30 30 8 7 3 6.(2011·金华模拟)某学生通过英语测试的概率是 ,他连续测试 3 次,那么其中恰有 1 次获得通过 4 的概率为( A. 3 4 27 B. 64 ). C. 9 64 D. 3 64
2

7. (2011·汕头模拟)已知随机变量 X 服从正态分布 N(2, σ ), P(X≤4)=0.84, 则 P(X≤0)=( A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84

).

8.(2011·辽宁)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B =“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( A. 1 8 1 B. 4 C. 2 5 D. 1 2 ).

9.有 10 张卡片,其中有 8 张标有数字 2,有 2 张标有数字 5,从中同时抽取 3 张卡片,设这 3 张卡 片上的数字之和为 X,则 E(X)等于( A.7.8 B.8 C.16 ). D.15.6

10.(2010·湖北)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子 向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概率是( ).

决不要因为题目“很小”就不遵循某些你不熟练的解题规范——好习惯是培养出来的,而不是一次记 住的。

A.

5 12

B.

1 2

C.

7 12

D.

3 4

11. 在全国大学生智能汽车总决赛中, 某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平 2 面上从坐标原点出发,每次只能移动一个单位,沿 x 轴正方向移动的概率是 ,沿 y 轴正方向移动 3 1 的概率为 ,则该智能汽车移动 6 次恰好移动到点(3,3)的概率为( 3 160 A. 729 161 B. 729 163 C. 729 165 D. 729 ).

12.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c,(a,b,c ∈(0,1 )),已知他投篮一次得分的数学期望为 1(不计其它得分情况),则 ab 的最大值为( A. 1 48 B. 1 24 C. 1 12 D. 1 6 ).

二.填空题 13.马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布律如下表: x 1 2 3 P(ξ =x) ? ! ? 请小牛同学计算 ξ 的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能 断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 Eξ =________. 14.某中学 2000 名考生的高考数学成绩近似服从正态分布 N(120,100),则此校数学成绩在 140 分以 2 上的考生人数约为________.(注:正态总体 N(μ ,σ )在区间(μ -2σ ,μ +2σ )内取值的概 率约为 0.954) 15.甲、乙两人玩套圈游戏,套中的概率分别为 0.7 和 0.8,如果每人都扔两个圈,甲套中两次而乙 套中一次的概率是________. 16.一个箱子中有 9 张标有 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的卡片,从中依次取两张,在 第一张是奇数的条件 下第二张也是奇数的概率是________. 三.解答题: 17.(2013· 江西理,18)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是 参加学校排球 队.游戏规则为:以 O 为起点,再从 A1,A2,A3, A4,A5,A6,A7,A8(如图)这 8 个点中任取两点分别为终点得到 两个向量,记这两个向量的数量积为 X.若 X=0 就参加学校合唱 团,否则就参加学校排球队. (1)求小波参加学校合唱团的概率;(2)求 X 的分布列和数学期望.

决不要因为题目“很小”就不遵循某些你不熟练的解题规范——好习惯是培养出来的,而不是一次记 住的。

18.(2013· 山东理,19)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束, 1 2 除第五局甲队获胜的概率是 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都 是 .假设各局比赛结果相互独立. 2 3 (1)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率; (2)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分、对方得 0 分;若比赛结果为 3:2,则胜利方 得 2 分、对方得 1 分,求乙队得分 X 的分布列及数学期望.

19. (2012· 河南豫北六校精英联考)当前人们普遍认为拓展训练是一种挑战极限、 完善人格的训练, 某大学生拓展训练中心着眼于大学生的实际情况, 精心地设计了三个相互独立的挑战极限项目, 并设 置如下计分办法: 项目 挑战成功得分 挑战失败得分 甲 10 0 乙 30 0 丙 60 0

4 3 1 据调查,大学生挑战甲项目的成功概率为 ,挑战乙项目的成功概率为 ,挑战丙项目的成功概率为 . 5 4 2 (1)求某同学三个项目至少一项挑战成功的概率, (2)记该同学挑战三个项目后所得分数为 X,求 X 的分布列并预测该同学所得分数的数学期望.

决不要因为题目“很小”就不遵循某些你不熟练的解题规范——好习惯是培养出来的,而不是一次记 住的。

20.(2012· 皖南八校联考)甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个,其中甲袋中红色、黑色、白 色小球的个数分别为 2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3,某人用左右手分别从甲、 乙两袋中取球. (1)若左右手各取一球,问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少? (2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取 法次数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

21.(2013· 大连沈阳联考)一个口袋内有 n(n>3)个大小相同的球,其中有 3 个红球和(n-3)个白 球.已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是 p. 3 (1)当 p= 时,不放回地从口袋中随机取出 3 个球,求取到白球的个数 ξ 的期望 E(ξ); 5 (2)若 6p∈N,有放回地从口袋中连续地取四次球(每次只取一个球),在四次摸球中恰好取到两次 8 红球的概率大于 ,求 p 和 n. 27

决不要因为题目“很小”就不遵循某些你不熟练的解题规范——好习惯是培养出来的,而不是一次记 住的。

BDBCC 13. 2

CABAC 14. 46

AB 15. 0.1568 16. 1 2

17.[解析] (1)从 8 个点中任取两点为向量终点的不同取法共有 C2 8=28 种. X=0 时,两向量夹角为直角,共有 8 种情形, 所以小波参加学校合唱团的概率为 P(X=0)= 8 2 = . 28 7

(2)两向量数量积 X 的所有可能取值为-2,-1,0,1, X=-2 时,有 2 种情形;X=1 时,有 8 种情形;X=-1 时,有 10 种情形. 所以 X 的分布列为: X P E(X)=(-2)× =- 3 . 14 -2 1 14 -1 5 14 0 2 7 1 2 7

1 5 2 2 +(-1)× +0× +1× 14 14 7 7

18[解析] (1)依次将事件“甲队以 3:0 胜利”、“甲队以 3:1 胜利”、“甲队以 3:2 胜利” 记作 A1、A2、A3,由题意各局比赛结果相互独立, 2 8 故 P(A1)=( )3= , 3 27 2 2 2 8 P(A2)=C2 ( )2· (1- )× = , 3· 3 3 3 27 22 2 1 4 P(A3)=C2 (1- )2× = . 4( ) · 3 3 2 27 8 4 所以甲队以 3:0 胜利、以 3:1 胜利的概率都为 ,以 3:2 胜利的概率为 . 27 27 (2)设“乙队以 3:2 胜利”为事件 A4,则由题意知 22 22 1 4 P(A4)=C2 ( ) ×(1- )= . 4(1- ) · 3 3 2 27 由题意,随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3, 决不要因为题目“很小”就不遵循某些你不熟练的解题规范——好习惯是培养出来的,而不是一次记 住的。

由事件的互斥性得, 16 P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)= , 27 P(X=1)=P(A3)= P(X=2)=P(A4)= 4 , 27 4 , 27 3 , 27

P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)= 2 22 2 1 3 或 P(X=3)=(1- )3+C2 . 3(1- ) × × = 3 3 3 3 27 ∴X 的分布列为 X P 0 16 27

1 4 27

2 4 27

3 3 27

16 4 4 3 7 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = . 27 27 27 27 9 19.[解析] (1)甲乙丙这三个项目至少一项挑战成功的概率 4 3 1 1 39 P=1-(1- )(1- )(1- )=1- = ; 5 4 2 40 40 (2)由题意,X 的可能取值为 0,10,30,40,60,70,90,100. 111 1 P(X=0)= ··= , 5 4 2 40 411 1 P(X=10)= ··= , 5 4 2 10 131 3 P (X=30)= ··= , 5 4 2 40 431 3 P(X=40)= ··= , 5 4 2 10 111 1 P(X=60)= ··= , 5 4 2 40 411 1 P(X=70)= ··= , 5 4 2 10 131 3 P(X=90)= ··= , 5 4 2 40 431 3 P(X=100)= ··= , 5 4 2 10 所以 X 的分布列为 X 0 10 30 40 60 70 90 100

决不要因为题目“很小”就不遵循某些你不熟练的解题规范——好习惯是培养出来的,而不是一次记 住的。

P

1 40

1 10

3 40

3 10

1 40

1 10

3 40

3 10

1 1 3 3 1 1 3 3 E(X)=0× +10× +30× +40× +60× +70× +90× +100× =60.5(分). 40 10 40 10 40 10 40 10 所以该同学所得分的数学期望为 60.5 分. 20.[解析] (1)设事件 A 为“两手所取的球不同色”, 2×3+3×3+4×3 2 则 P(A)=1- = . 3 9×9 (2)依题意,X 的可能取值为 0,1,2. 左手所取的两球颜色相同的概率为[来源:学科网 ZXXK]
2 2 C2 5 2+C3+C4 = . C2 18 9

右手所取的两球颜色相同的概率为
2 2 C2 1 3+C3+C3 = . 2 C9 4

5 1 P(X=0)=(1- )(1- ) 18 4 = 13 3 13 × = , 18 4 24

5 1 5 1 7 P(X=1)= ×(1- )+(1- )× = , 18 4 18 4 18 5 1 5 P(X=2)= × = . 18 4 72 所以 X 的分布列为 P X 0 13 24 1 7 18 2 5 72

13 7 5 19 E(X)=0× +1× +2× = . 24 18 72 36 3 3 3 21.[解析] (1)p= ?n= ?n=5,所以 5 个球中有 2 个白球,从中取出 3 个球,白球的个数 ξ 5 5 可取 0,1,2.
3 2 1 2 C3 1 C3 C2 3 C1 3 3C2 P(ξ=0)= 3= ,P(ξ=1)= 3 = ,P(ξ=2)= 3 = . C5 10 C5 5 C5 10

E(ξ)=

1 3 3 6 ×0+ ×1+ ×2= . 10 5 10 5

2 6 (另解:依题意 ξ 服从参数为 N=5,M=2,n=3 的超几何分布,所以 E(ξ)= ×3= . 5 5 决不要因为题目“很小”就不遵循某些你不熟练的解题规范——好习惯是培养出来的,而不是一次记 住的。

2 2 8 (2)由题设知,C2 4p (1-p) > , 27

2 因为 p(1-p)>0,所以不等式可化为 p(1-p)> , 9 1 2 解不等式得, <p< ,故 2<6p<4. 3 3 1 又因为 6p∈N,所以 6p=3,即 p= , 2 1 3 1 所以 p= ,所以 n= ,所以 n=6. 2 2

决不要因为题目“很小”就不遵循某些你不熟练的解题规范——好习惯是培养出来的,而不是一次记 住的。


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