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复数·复数的确定


复数·复数的确定·教案

教学目标 1.进一步理解复数的三种表示形式的特点及其相互联系. 2.加深对方程的思想、等价变换的思想、数形结合的思想等数学思想方法的认识,并 熟悉它们的运用. 3.进一步培养学生的观察能力、分析能力和变换能力,帮助学生逐步形成科学的思维 习惯和方法. 教学重点与难点 重点:理解复数的各种表示形式及其联系,并能在确定复数时,依据不同条件,作出适 当选择. 难点:认识有关的数学思想以及它们在应用中的要求. 教学过程设计 (一)引入 师:上一节课,我们学习了复数的三角形式,这就使复数有了三种表示形式,即代数形 式,三角形式和几何形式,也使求一个复数有了多种出发点.这一节课,我们将以此为 据来研究在一定条件下,怎么确定一个复数的问题. (板书课题:复数的确定) (二)复习 师:首先,请大家思考:确定一个复数,需要几个独立条件呢? 生:需要两个独立条件. 师:对.为什么呢? 生:因为采用复数的代数形式,则需要确定它的实部和虚部;若采用复数的三角形式, 则需要确定它的模和辐角;若采用几何形式,也需要两个条件. 师:完全正确.确定一个复数的问题,实际上是确定两个实数的问题.当然需要两个独 立条件. (没有从复述学过内容的角度,而是从应用的角度组织复习,不仅可以引导学生学习的

深度,还为本节课题解决作好准备) (三)新课 师:下面请看问题:

(学生思考、回答,教师帮助提炼、概括) 生:共三步(1)设元;(2)列式;(3)求解. 师:本题还有其他解法吗? 生:设 z=r(cosθ +isinθ ). 师:这是依据复数的三角形式来设元,其中 r,θ 在这里的取值范围是什么? 生:r≥0,θ ∈R. 生:这里 r=0 不可能! 生:因为若 r=0,则 z=0,条件 |z-1|=2 就不成立了. 师:好!下面来列式. 生:由所设 z-1=rcos θ -1+risinθ .

依已知条件就可得到

师:很好! 仔细研究本题已知条件可看到,复数 z-1 是一个确定的复数,而由 z-1 求 z 又十分容易. 尽管不是每道题都有如此简捷的解法,但是仔细观察问题中条件的特点,认真分析已知 和所求之间的联系,是一种良好的思维习惯,值得提倡. 师:本题进行到这儿,又出现了一个新问题,大家发现了吗? (善于比较,反思,是一种学习能力) 生:前二种解法与第三种解法的结果不相同! 师:二种结果都正确是不可能的.问题出在哪里呢?原因是什么呢? (发现问题, 找到问题在哪里, 原因是什么是有一个过程的. 教学中要展示这种过程. 要 对第一种解法中各步一步一步去查)

师:下面我们一起小结一下,运用方程的思想确定复数有什么特点. (师生共同小结,互相补充,逐渐达到共识) (1)运用方程思想要抓好三个环节,即设元、列式、求解; (2)确定复数时的设元,既要注意对复数不同表示形式的选择,又要注意对已知条件 特点以及它与所求复数之间联系的认识; (3)列式是运用方程思想处理问题的中心环节;这里要注意它与已知条件的等价性; (4)求解过程也有等价性要求,对求解过程要注意合理性设计,注意换元思想的恰当 运用. 师:归纳起来就是以下三点. (板书下列内容)

小结:设元注意选择性;列式注意等价性;求解注意合理性. 师:再看一个问题. 问题 2:已知|z+i|+|z-i|=2,则|z+1+i|取最小值时的复数 z=____.(板书.给出适当的学 生思考的时间) 师:你们的沉默是不是这样的原因?想说 z=x+yi,但由条件|z+i|+|z-i|=2 求出 x,y 的关 系来比较繁,作为填空题用这种思路不满意,正在想别的办法. 这别的办法还未得到结果不要紧,先说说用的是什么办法,好吗? 生:从几何角度考虑,适用数形结合的方法. 师:用这种方法你怎么入手的呢? 生:必须对条件和所求都作出几何解释. 师:好,先对条件作几何解释. 生:满足条件的复数 z 在复平面上对应的点 P,到复数-i,i 分别对应的点 A,B 的距离 的和为 2,所以 P 点在以 A,B 为两焦点的椭圆上. 生:不对!因为这里|AB|=1,点 P 只能在线段 AB 上. 师:这里对条件作几何解释,不仅要正确理解复数模的几何意义,还要准确理解椭圆的 定义.画出有关图形,如图. 再指出|z+1+i|的几何意义. 生:线段 AB 上的点到复数-1-i 对应的点 C 之间的距离. 师:因此本题即求当 P,C 之间距离最小时,P 点对应的复数依据图形看出来了吗?

生:这时的 P 点即为 A 点.因此所求的复数 z=-i. 师:由问题 2 可看到,从几何角度思考问题,数形结合也是确定复数的一种方法.但必 须是条件中给出的复数表示的关系其几何意义比较明显时才行.

对于问题 1,数形结合法也是可以的、大家不妨一试. (看时间而定,有时间则可展开,无时间则提出课题,请同学们课后思考、完成) (四)小结 师:把本节课的内容归纳一下: (1)本节的课题是怎么确定复数,依据的基础知识是复数的三种表示形式.多种解法 也来源于对不同形式的选择. (2)若选择的是复数的代数形式或三角形式,运用的实际上是待定系数法,体现了方 程的思想,并且在设元、列式、求解上又各具特点. (3)若选择的是复数的几何形式,则运用数形结合法.它要求我们熟悉复数及其运算 的几何意义. (4)既然确定复数存在多种思路和解法,运用时要注意选择,选择的目的是使解法更 加合理,过程更加简捷.多种方法达到灵活运用是要在运用中多思考,不断积累经验才 行的. (五)课外作业 (1)整理本节课的笔记,并标出自己的所得和教训之处. (2)书面作业,补充题:

课堂教学设计说明 1.在学习了复数的三角形式后,从总体上认识复数的三种表示形式及其互相联系是一 个重要的课题.本节课想从应用的角度对此课题作些探索.既然是应用,必然涉及到指 导思想的确立和方法的选择,因而设想以数学思想方法为主线而展开.重点放在从不同 角度思考问题时,不同的方法被选用的过程的分析上.这里我们注意了例题难度不宜过 大,以免影响主题,也注意了不要片面追求多解,力争把知识形式的多样性,思考方式 的多样性与多种解法产生的自然结合. 2.既然是应用课,充分发挥学生主动性、创造性的教学方法应该更放手一些,把两个 题目全部交给学生,提出要求,由他们去思考、探索、解决.然后再通过交流,讨论、 评价,予以归纳、提高.但是考虑到一个班的学生知识基础和能力水平之间的差异,我 们采取了半放手的教学设计,为的是使不同层次的学生都可有适合自己程度的参与,使 程度较好的学生能起到带动作用,使程度较差的学生不至于因为问题大而无从下手,并 能获得向别人学习、自己思考相结合的机会,逐步得到提高、在教学过程中,突出学生 主体参与地位是应坚定不移的,而针对不同情况,掌握参与程度的问题是一个更值得研 究的问题. 主体参与中还有一个参与面的问题.提出的问题由一个基础好的学生一说到底,尽管他 说得很漂亮,但很可能造成基础差的跟不上,大多数学生参与不够的问题,如果请一位 基础差的学生谈想法,又可能思维受阻或者尽管说不出主导思想来.寻找适当层次的学 生,回答适当层次的问题也是一个教学设计时要考虑的问题. 3.问题 2 采用代数方法也是可行的,附于后供参考.

设 z=x+yi(x.y∈R).则由|z+i|+|z-i|=2,得|x+(y+1)i|+|x+(y-1)

i|=2. 当且仅当 y=-1 时,上式中“≥”处等号成立.于是|z+1+i|取最小值 1 时,x=0,y=-1.因 此所求的复数 z=-i. 显然此种解法比数形结合法繁琐多了.


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