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内蒙古高中数学联赛预赛试题(数论)


内蒙古高中数学联赛预赛试题(数论)--------北重三中

内蒙古高中数学联赛预赛试题---------数论部分
1、 (2005 年 11)若 26 + 29 + 2n 为一个平方数,则正整数 m = .

2、 (2005 年 15)试求最小的正整数 n ,使得对于任何 n 个连续正整数中,必有一数,其各位数字之和是 7 的

倍数. 3、 (2006 年 3)在集合 {1, 2,3,L ,50} 的子集 S 中任意两个元素和都不能被 7 整除,这样的子集 S 中元素 个数最多的是( )

A 22

B 7

C 23

D

6 .

1 2 3 500 1、 设 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数, ? log 2 ? + ? log 2 ? + ?log 2 ? + L + ?log 2 ? = 则? ? ? ? ? ? ? ?

2、 设 x ∈ ? 0, ? ,则函数 y =

? π? ? 2?

225 2 + 的最小值为 2 4sin x cos x

.

3、 已知 x, y 为质数,不定方程 x y ? y x = xy 2 ? 19 的解为

.

9. 已知 f ( x ) 在 ( -1,1) 上有意义, f ? (1)数列 { xn } 满足: x1 = ,xn +1 =

? x+ y ? ?1? ?. ? = -1 ,且满足当 x, y ∈ ( -1,1) 时,有 f ( x ) + f ( y ) = f ? ?2? ? 1 + xy ?
2 xn . 设 an = f ( xn ) ,求 an 的通项公式; 1 + xn 2

1 2

(2)设 bn = n + 3n + 1 ,求 1 + f ?
2

?1? ?+ b1 ? ?

?1? f ? ? + LL + ? b2 ?

? 1 ? f? ?+ b2002 ? ?

? 1 ? f? ? 的值. ? 2004 ?

【第二试】 1. 设 x1,x2, ,xn ∈ R ,且 n ≥ 2, L
+

∑x
i =1

n

i

= 1 ,求证:


i =1

n

xi 1-xi



n 1 ∑ xi . n ? 1 i =1

3. 如果正整数 N 同时满足下面两个条件: (1) N 至少能被 n 个质数整除; (2) 存在 N 的不同正因子 1,x2,x3, ,xn ,满足:1 + x2 + x3 + L + xn = N ,那么就称 N 为一个 n 阶 L “好数”. 证明:对所有的正整数 n ( n ≥ 6 ) ,均存在 n 阶“好数”.
1


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