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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版必修二【配套备课资源】两条直线的交点


1.4

1.4
[学习要求]

两条直线的交点

1.理解两条直线的相交、平行和重合三种位置关系,对
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应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多 组解; 2.当两条直线相交时,会求交点坐标. [学法指导] 通过把两直线交点坐标的问题转化为两直线对

应的二 元一次方程组解的问题,加深对解析法的理解及对数形 结合思想的感悟;通过一般形式的直线方程组解的讨 论,提高对分类讨论思想的掌握.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.4

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设两条直线的方程分别是 l1: 1x+B1y+C1=0, 2: 2x+B2y A l A +C2=0. 方程组 ?A x+B y+C =0 一组 无数组 无解 ? 1 1 1 ? 的解 ?A2x+B2y+C2=0 ? 两条直线 l1,l2 的公共点 一个 无数个 零个 直线 l1,l2 的位置关系 相交

重合 平行

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1.4

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[问题情境] 任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示,那么两条直线 是否有交点与它们的方程所组成的方程组是否有解有何联系?

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探究点一 问题 1 直线的交点与方程组的解的关系

1.4

在平面直角坐标系中,画出直线 l1:x+y=2,l2:x-y

=0 的图形,你能说出这两条直线有怎样的位置关系吗?
答 如右图所示,两条直线相交.
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问题 2

从画出的图形中,你能观察出两条直线的交点坐标是什

么吗? 答 交点坐标是 P(1,1).

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1.4

问题 3 怎样准确求出问题 1 中的两条直线的交点坐标?

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设 l1 与 l2 的交点为 P(x,y),由于点 P 既在 l1 上,又在 l2

上,应该同时满足这两个方程,其坐标是这两个方程的解. ?x+y=2, ?x=1. ? ? ? 联立两个方程 解得? ?x-y=0 ?y=1. ? ? 它对应的就是平面上的点 P(1,1).

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问题 4
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为什么说求两条直线的交点, 就是求这两个直线方程

的公共解? 答 两条直线相交,交点一定同时在这两条直线上,交点坐标
是这两个方程组成的方程组的唯一解;反之,如果这两个二元 一次方程组成的方程组只有一个解,那么以这个解为坐标的点, 必是直线 l1 和 l2 的交点.因此求两条直线的交点,就是求这两 个直线方程的公共解.

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问题 5

1.4

设两条直线的方程分别是 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:

A2x+B2y+C2=0.那么方程组的解的情况和两直线的相交、 重合、平行有怎样的关系?
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它们的关系如下表所示: ?A x+B y+C =0 ? 1 1 1 ? 方程组 ?A2x+B2y+C2=0 ? 的解 两条直线 l1,l2 的公共点 直线 l1,l2 的位置关系

一组 无数组 无解

一个 无数个 零个 相交 重合 平行

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例 1 求下列两条直线的交点: l1:x+2y+1=0,l2:-x+2y+2=0.

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?x+2y+1=0, ? 解方程组? ?-x+2y+2=0. ?

1.4

? 1 ?x=2, 得? ?y=-3. 4 ?

1 3 所以,这两条直线的交点是 M(2,-4). 小结 判定两条直线的位置关系有两种方法:(1)通过解两直

线对应方程组成的方程组, 若方程组有一解两直线相交, 无解 两直线平行,两方程能化成同一个方程两直线重合;(2)利用 两直线的斜率及截距的关系.

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跟踪训练 1 判定下列各对直线的位置关系,如果相交,求

1.4

出交点的坐标: (1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0; (2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0;
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(3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0.
? 5 ?x-y=0 ?x=3 ? 解 (1)解方程组? ,得? ?3x+3y-10=0 ? ?y=5 5 5 ? 3 所以,l1 与 l2 相交,交点是 M( , ). 3 3
?3x-y+4=0 ? (2)解方程组? ?6x-2y-1=0 ?

.

① , ②

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1.4

①×2-②得 9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共 点,l1∥l2.
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?3x+4y-5=0 ? (3)解方程组? ?6x+8y-10=0 ?

① , ②

①×2 得 6x+8y-10=0.
因此,①和②可以化成同一个方程, 即①和②表示同一条直线,l1 与 l2 重合.

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探究点二 例 2 直线交点的应用

1.4

设三条直线 l1:x+y-1=0,l2:kx-2y+3=0,l3:
?x+y-1=0, ? l1,l2 的方程组成的方程组? ?kx-2y+3=0, ?

x-(k+1)y-5=0.若这三条直线交于一点,求 k 的值.
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解由

? ?x= -1 , ? 2+k 得? ? 3+k ?y=2+k, ? -1 3+k 所以,l1 与 l2 的交点是 P( , ). 2+k 2+k 又因为 l1,l2,l3 交于一点,即 P 点坐标满足直线 l3 的方程, -1 3+k -(k+1) -5=0, 2+k 2+k

解得 k=-7 或-2(舍去).所以 k=-7.

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1.4

小结
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本题的解题思路是选取两条直线对应的方程组成方程

组,求出交点坐标,因三直线交于一点,所以两直线的交点一 定在第三条直线上, 从而交点坐标满足第三条直线的方程. 在 选取直线方程组成方程组时,要注意选取的方程容易求出解, 以减少运算量.

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1.4

跟踪训练 2 已知直线 l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y-5=0, l3:6x+y-5=0, (1)若这三条直线交于一点,求 m 的值;
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(2)若三条直线能构成三角形,求 m 的值. ?3x-2y-5=0 ?x=1 ? ? ? 解 (1) ?? ,代入 l1 得,m=2. ?6x+y-5=0 ?y=-1 ? ? (2)当三直线交于一点或其中两条互相平行时, 它们不能构成
三角形. ①由(1)得,当 m=2 时,三线共点,不能构成三角形, 1 ②当 l1∥l2 时,m=-2,当 l1∥l3 时,m=2,此时它们不能

构成三角形.
1 综上所述:当 m≠± 且 m≠ 时,三条直线能构成三角形. 2 2

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x-y-1=0 的交点,求直线 l 的方程. ?2x+3y+8=0 ? 解 方法一 由两直线方程组成方程组 ? ,解 ?x-y-1=0 ?
方程组得交点(-1,-2),
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1.4

例 3 直线 l 经过原点,且经过另外两条直线 2x+3y+8=0,

设经过原点的直线方程为 y=kx,将(-1,-2)代入方程,得 k=2,所求方程为 y=2x. 方法二 设经过两条直线 2x+3y+8=0,x-y-1=0 交点的 直线方程为 2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,又过原点,由(0,0) 代入该直线方程,得 8-λ=0,即 λ=8,因此所求的直线方 程为 10x-5y=0,即 y=2x. 小结 已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0

相交,那么过两直线的交点的直线(不含 l2)方程可设为 A1x+ B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R).

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1.4

跟踪训练 3 求经过两直线 3x+4y-2=0 与 2x+y+2=0 的 交点且垂直于 5x+2y-1=0 的直线方程.
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?3x+4y-2=0, ? 由方程组? ?2x+y+2=0, ? ?x=-2, ? 解得 ? ?y=2, ?



即两直线的

交点为(-2,2). 设所求直线为2x-5y+m=0,将点(-2,2)坐标代入,得 2×(-2)-5×2+m=0,解得m=14.故所求直线方程为2x- 5y+14=0.

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1.4

1.已知直线 l1:3x+4y-5=0 与 l2:3x+5y-6=0 相交,则它们
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的交点是 1 A.(-1, ) 3 1 C.(1, ) 3
解析

( B ) 1 B.( ,1) 3

1 D.(-1,- ) 3 ? 1 ?3x+4y-5=0, ?x= , ? 由? 得? 3 ?3x+5y-6=0. ? ?y=1. ?

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1.4

2.直线 l1:( 2-1)x+y=2 与直线 l2:x+( 2+1)y=3 的位 置关系是
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( A ) B.相交 C.垂直 D.重合

A.平行
解析

2-1 1 2 由于 = ≠ ,所以 l1∥l2. 1 2+1 3

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3.已知直线 l1:(a-2)x+3y+a=0,l2:ax+(a-2)y-1=0.

1.4

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当 l1⊥l2 时,求 a 的值及垂足的坐标. 2 1 解 当 a=2 时,l1:y=- ,l2:x= .此时,l1⊥l2 且垂足坐标 3 2 ?1 2? 为?2,-3?, ? ? a-2 a 当 a≠2 时,k1=- ,k2=- . 3 a-2 a 由 l1⊥l2 知:k1·2=3=-1,∴a=-3. k
∴l1:-5x+3y-3=0,l2:-3x-5y-1=0. 9 ? x=- ?5x-3y+3=0 ? 17 ? 由? ,解得? ?3x+5y+1=0 ? ?y= 2 ? 17

.

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1.4

∴l1 与
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? 9 2? l2 的垂足坐标为?-17,17?. ? ?

?1 2? 综上所述:a 的值为 2,垂足坐标为?2,-3?;或 ? ? ? 9 2? 垂足坐标为?-17,17?. ? ?

a 的值为-3,

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1.4

1.与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程为 Ax+By+D= 0(D≠C) . 与 y = kx + b 平 行 的 直 线 系 方 程 为 y = kx +
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m(m≠b). 2.过两条直线交点的直线系方程:过两条直线 l1:A1x+B1y+ C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 交点的直线系方程是 A1x+B1y +C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但此方程中不含 l2;一般 形式是 m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m2+n2≠0), 是过 l1 与 l2 交点的所有直线方程.


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