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广东省江门市、佛山市2013届普通高中高三教学质量检测(二)数学理试题及答案


2013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测

数 学(理科)

2013.4

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:2013.4.18 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改 动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知 M ? ? x ? 2 ? x ? 4 , x ? Z ? , N ? ? x ? 1 ? x ? 3 ? ,则 M ? N ? A. ? ? 1, 3 ? 2.已知复数 z 的实部为 1 ,且 A. ? 3 B. [ ? 2 ,1)
z ? 2

C. ? 0 ,1, 2 ? C. ? 3 i

D. ? ? 2 , ? 1, 0 ? D. ? 3

,则复数 z 的虚部是

B. 3 i

3.已知数列 { a n } 是等差数列,若 a 3 ? a 11 ? 24 , a 4 ? 3 ,则数列 { a n } 的公差等于 A.1 B.3 C.5 D.6 4. 为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:cm) .根据所得数据画 出了样本的频率分布直方图(如右) ,那么在这 100 株树木中,底部周长小于 110cm 的株数是 A.30 B.60 频率/组距 C.70 D.80 5.函数 f ( x ) ? s in ? ? x ?
? ?

? ?

1 ? , x ? [ ? 1 ,] ,则 2 ?

0.04 0.02 0.01 80 90 100 110 120 130 周长(cm)

A. f ( x ) 为偶函数,且在 [ 0 ,] 上单调递减; 1 B. f ( x ) 为偶函数,且在 [ 0 ,] 上单调递增; 1 C. f ( x ) 为奇函数,且在 [ ? 1 , ] 上单调递增; 0 D. f ( x ) 为奇函数,且在 [ ? 1 , ] 上单调递减. 0 6.下列命题中假命题是 ...

第 4 题图

A.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行; B.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直; C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互平行.
? x ? ? y 7.直线 2 x ? y ? 10 ? 0 与不等式组 ? ? x ?4x ? ? 0 ? 0 ? y ? ?2 ? 3 y ? 20

表示的平面区域的公共点有

A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.无数个 8.将边长为 2 的等边三角形 P A B 沿 x 轴滚动,某时刻 P 与坐标原点重合(如图) ,设顶点 P ( x , y ) 的轨迹 方程是 y ? f ( x ) ,关于函数 y ? f ( x ) 的有下列说法: ① f ( x ) 的值域为 [ 0 , 2 ] ; ② f ( x ) 是周期函数; ③ f ( ? 1 .9 ) ? f ( ? ) ? f ( 2 0 1 3 ) ; ④ ? f ( x)dx ?
0 6

y B

9 2

? .

OP A 第 8 题图
第1页

x

其中正确的说法个数为: A.0 B. 1 C. 2 二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.命题“ ? x 0 ? R, e
x0

D. 3

? 0”的否定是
2 ,
3

.

10. 已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ?
n

?a

? b ? ? a , 向量 a 与 b 的夹角为
2

. .

11.若二项式 ? 1 ? 2 x ? 展开式中 x 的系数等于 x 的系数的 4 倍,则 n 等于 12. 已知圆 C 经过点 A ( 0 , 3 ) 和 B ( 3, 2 ) ,且圆心 C 在直线 y ? x 上,则圆 C 的方程为 . 13.将集合{ 2 ? 2 | 0 ? s ? t 且 s , t ? Z }中的元素按上小下大,左小右大
s t

3 5 9 ? ? 10 ? 6 12 ?

的顺序排成如图的三角形数表,将数表中位于第 i 行第 j 列的数记为 b i j ( i ? j ? 0 ),则 b 6 5 = . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C 1 : ? ? 2 s in ? 与
C 2 : ? ? 2 c o s ? 的交点分别为 A、 B ,则线段 A B 的垂直平分线的

第 13 题图

B O

极坐标方程为 . 15. (几何证明选讲)如图,圆 O 的直径 A B ? 9 ,直线 C E 与圆 O

相切于点 C , A D sin ? ? ______.

? CE

于 D ,若 A D

? 1 ,设 ? A B C

??

,则
A

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程 第 15 题图 或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 x O y 中,以 O x 为始边,角 ? 的终边与单位圆 O 的交点 B 在第一象限, 已知 A ( ? 1, 3 ) . (1)若 O A ? O B ,求 ta n ? 的值; (2)若 B 点横坐标为
4 5

E

C

D

,求 S ? A O B .

第2页

17. (本题满分 12 分) 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设 工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否 堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学, 再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路 A 、 、 B
D 上下班时间往返出现拥堵的概率都是
1 10

,道路 C 、 E 上下班时间往返出现拥堵的概率都是

1 5

,只要遇

到拥堵上学和上班的都会迟到. (1)求李生小孩按时到校的概率; (2)李生是否有七成把握能够按时上班? (3)设 ? 表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到 拥堵的次数,求 ? 的均值.

A

D



B
C


E



第 17 题图

18. (本题满分 14 分) 如图甲,设正方形 A B C D 的边长为 3 ,点 E 、 F 分别在 A B 、 C D 上,并且满足 A E ? 2 E B, C F ? 2 F D ,如图乙,将直角梯形 A E F D 沿 E F 折到 A1 E F D 1 的位置,使点 A 1 在平面 E B C F 上的射影 G 恰好在 B C 上. (1)证明: A1 E / / 平面 C D 1 F ; (2)求平面 B E F C 与平面 A1 E F D 1 所成二面角的余弦值.
A1

A

D F

D1

E E B
图甲

F
C

B

G
图乙

C

第 18 题图

第3页

19. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系内,动圆 C 过定点 F ? 1, 0 ? ,且与定直线 x ? ? 1 相切. (1)求动圆圆心 C 的轨迹 C 2 的方程; (2)中心在 O 的椭圆 C 1 的一个焦点为 F ,直线 l 过点 M ( 4 , 0 ) .若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在 曲线 C 2 上,且直线 l 与椭圆 C 1 有公共点,求椭圆 C 1 的长轴长取得最小值时的椭圆方程.

20. (本题满分 14 分) 某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响, 环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱, 个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度 f ( x ) 与 1
x 6 ? 2? ? ? ? 6 x?3 时间 x (小时)的关系可近似地表示为: f ( x ) ? ? ?1 ? x ? 6 ? 0 ? x ? 3

,只有当污染河道水中碱的浓
3 ? x ? 6

度不低于

1 3

时,才能对污染产生有效的抑制作用.

(1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长? (2)第一次投放 1 单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到
1 3

时,马上再投放 1 个单位的固体碱,

设第二次投放后水中碱浓度为 g ( x ) ,求 g ( x ) 的函数式及水中碱浓度的最大值.(此时水中碱浓度为两次投 ...... 放的浓度的累加) ..

第4页

21. (本题满分 14 分) 设函数 f 0 ( x ) ? x ? e
2 ? 1 2 x

,记 f 0 ( x ) 的导函数 f 0? ( x ) ? f 1 ( x ) , f 1 ( x ) 的导函数 f 1?( x ) ? f 2 ( x ) ,

f 2 ( x ) 的导函数 f 2? ( x ) ? f 3 ( x ) ,?, f n ? 1 ( x ) 的导函数 f n?? 1 ( x ) ? f n ( x ) , n ? 1, 2 , ? .

(1)求 f 3 ( 0 ) ; (2)用 n 表示 f n ( 0 ) ;
* (3)设 S n ? f 2 ( 0 ) ? f 3 ( 0 ) ? ? ? f n ? 1 ( 0 ) ,是否存在 n ? N 使 S n 最大?证明你的结论.

第5页

2013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测 数 学(理科) 一、填空题 二、填空题
x 9. ? x ? R, e ? 0

CDBCABBC

10.
2 2

?
4

11. 8

12. ? x ? 1 ? ? ? y ? 1 ? ? 5
2 2

13. 8 0

14. ? s in ? ? ?
?

?

? ?

? ? 4 ?

(或 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 )

15.

1 3

三、解答题 16.⑴解法 1、 由题可知: A ( ? 1, 3 ) , B (c o s ? , s in ? ) ,
??? ? ??? ? O A ? ( ? 1, 3 ) , O B ? ( c o s ? , s in ? ) ??? ??? ? ? O A ? O B ,得 O A ? O B ? 0

??1 分 ??2 分 ??3 分 ??4 分 ??1 分 ??2 分 ??3 分 ??4 分

∴ ? c o s ? ? 3 sin ? ? 0 , ta n ? ?

1 3

解法 2、 由题可知: A ( ? 1, 3 ) , B (c o s ? , s in ? )
kOA ? ? 3 ,

k O B ? ta n ?

∵ O A ? O B ,∴ K O A ? K O B ? ? 1
? 3 tan ? ? ? 1 ,

得 ta n ? ?

1 3

解法 3、 设B(x , y), (列关于 x、y 的方程组 2 分,解方程组求得 x、y 的值 1 分,求正切 1 分) ⑵解法 1、 由⑴ O A ? ∴ s in ? ? ∵ OB ? 1
3 10
( ? 1) ? (3 )
2 2

?

10 , 记? AO x ? ? , ? ? (

?
2

,? )

?

3 10 10
4 5

, cos ? ?

?1 10

? ?

10 10
2

(每式 1 分)
3 5

??6 分 ??8 分 ??10 分

cos ? ?

,得 s in ? ?
3 10 10 ? 4 5 1 2 ? ?

1 ? cos ? ?
10 10 3 5

(列式计算各 1 分) (列式计算各 1 分)
? 3 2

s in ? A O B ? s in ( ? ? ? ) ? 1 2

?

?

3 10 10 3 10 10

∴ S ?AOB ?

A O B O s in ? A O B ?

10 ? 1?

(列式计算各 1 分) ??12 分 ??6 分

解法 2、 由题意得: A O 的直线方程为 3 x ? y ? 0

第6页

则 s in ? ?

1 ? cos ? ?
2

3 5

即 B ( , ) (列式计算各 1 分)
5 5
4 ? 3 5 10 ? 3 5 ?
1 2

4 3

??8 分

则点 B 到直线 A O 的距离为 d ? 又 OA ? 解法 3、
s in ? ? 1 ? cos ? ?
2

5

3 10

1 0 (列式计算各 1 分)
1 2 3 10 10 3 2

??10 分 (每式 1 分)?12 分

( ? 1) ? (3 )
2

2

?

1 0 ,∴ S ? A O B ?

AO ? d ?

?

10 ?

?

3

即 B ( , ) (每式 1 分)

4 3

??6 分 ??7 分

5 5 5 ??? ? ??? ? 4 3 即: O A ? ( ? 1, 3 ) , O B ? ( , ) , 5 5

OA ?

( ? 1) ? (3 )
2

2

?

4 3 ??? ??? ? ? ?1? ? 3 ? OA ?OB 10 5 5 1 0 , O B ? 1 , c o s ? A O B ? ??? ??? ? ??9 分 ? ? ? 10 10 ? 1 OA OB

(模长、角的余弦各 1 分) ∴ s in ? A O B ? 则 S ?AOB ?
1 2

1 ? cos ? A O B ?
2

3 10 10

??10 分
10 ? 1? 3 10 10 ? 3 2

A O B O s in ? A O B ?

1 2

?

(列式计算各 1 分)

??12 分

解法 4、根据坐标的几何意义求面积(求 B 点的坐标 2 分,求三角形边长 2 分,求某个内角的余弦与 正弦各 1 分,面积表达式 1 分,结果 1 分) 17.⑴因为道路 D、E 上班时间往返出现拥堵的概率分别是 因此从甲到丙遇到拥堵的概率是
1 ? 1 ?
1 10



1 5



2 10
17 20

1 1 3 ? ? ? 0 .1 5 (列式计算各 1 分) ??2 分 2 5 20

所以李生小孩能够按时到校的概率是 1 ? 0 .1 5 ? 8 5 % ; ⑵甲到丙没有遇到拥堵的概率是 丙到甲没有遇到拥堵的概率也是 甲到乙遇到拥堵的概率是 ?
1 1

??3 分 ??4 分 ??5 分

, ,
? 1 ? 1 1 2 ? ? , 3 5 15

17 20

?

1

??6 分

3 10

3 10

甲到乙没有遇到拥堵的概率是 1 ?
17 ?

2 15

?

13 15

,李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是

17 13 3757 ? ? ? 0 .8 ,所以李生没有八成把握能够按时上班(计算结论各 1 分)??8 分 20 20 15 6000

⑶依题意 ? 可以取 0 ,1, 2 .
P (? ? 0 ) =

??9 分

13 17 221 2 17 13 3 73 2 3 6 ? ? ? ? ? ? , P ( ? ? 1) = ? , P (? ? 2 ) = ? ,?11 分 15 20 300 15 20 15 20 300 15 20 300

分布列是:
?
p

0
221 300

1
73 300

2
6 300

第7页

E? ?

221 300

? 0+

73 300

? 1+

6 300

? 2=

85 300

?

17 60

.

??12 分

18.⑴证明:在图甲中,易知 A E / / D F ,从而在图乙中有 A1 E // D 1 F , ⑵解法 1、 如图,在图乙中作 G H ? E F ,垂足为 H ,连接 A1 H , 由于 A1 G ? 平面 E B C F ,则 A1 G ? E F , 所以 E F ? 平面 A1 G H ,则 E F ? A1 H , 所以 ? A1 H G 平面 B E F C 与平面 A1 E F D 1 所成二面角的平面角, 图甲中有 E F ? A H ,又 G H ? E F ,则 A、 G 、 H 三点共线, ??5 分 ??6 分 ??8 分

??1 分

因为 A1 E ? 平面 C D 1 F , D 1 F ? 平面 C D 1 F ,所以 A1 E / / 平面 C D 1 F (条件 2 分)??4 分

??9 分
1 0 ;??

设 C F 的中点为 M ,则 M F ? 1 ,易证 ? A B G ? ? E M F ,所以, B G ? M F ? 1 , A G ? 11 分(三角形全等 1 分) 又由 ? A B G ? ? A H E ,得 A1 H ? A H ? 于是, H G ? A G ? A H ?
4 10 A B ?A E AG ? 6 10



??12 分 ??13 分


HG A1 H ? 2 3

在 R t ? A1 G H 中, c o s ? A1 G H ?

,即所求二面角的余弦值为

2 3

.??14 分
z

A1

A

D

A1
D1 D1

F
H

E B
G

M
C

H

F
E
T

y
F
C

E B
G

B

G

C

x

解法 2、 图甲 图乙 图丙 如图,在图乙中作 G H ? E F ,垂足为 H ,连接 A1 H ,由于 A1 G ? 平面 E B C F ,则
A1 G ? E F ,

??5 分 ??6 分
10 ;

所以 E F ? 平面 A1 G H ,则 E F ? A 1H ,图甲中有 E F ? A H ,又 G H ? EF ,则 A、 G 、 H 三点共 线,
A B ?A E AG 6 10

设 C F 的中点为 M ,则 M F ? 1 ,易证 ? A B G ? ? E M F ,所以 B G ? M F ? 1 ,则 A G ? 又由 ? A B G ? ? A H E ,得 A1 H ? A H ? 于是, H G ? A G ? A H ?
4 10 ?



??7 分


? ? ? 6 ? ? ? ?? 10 ? ?
2

在 R t ? A1 G H 中, A1 G ?

A1 H

2

? HG

2

?

? ? 10 ? 4

2

?

2

??8 分

作 G T / / B E 交 E F 于点 T ,则 T G ? G C ,以点 G 为原点,分别以 G C 、 G T 、 G A1 所在直线为

第8页

x、 y、 z 轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则 G ( 0 , 0 , 0 ) 、 E (1, ? 1, 0 ) 、 F ( 2 , 2 , 0 ) 、 A1 (0 , 0 , 2 ) , ??? ? ???? 则 E F ? (1, 3, 0 ), A1 ? ( ? 1,1, 2 ) (坐标系、坐标、向量各 1 分) ??11 分 E ???? 显然, G A1 ? (0 , 0 , 2 ) 是平面 B E F C 的一个法向量, ??12 分 ? ???? ? ? n ?E F ? x ? 3 y ? 0 , ? x ? ?3 y, ? ? 设 n ? ( x , y , z ) 是平面 A1 E F D 1 的一个法向量,则 ? ? ???? ,即 ? ,不 ? z ? ?2 2 y ? n ?E A1 ? ? x ? y ? 2 z ? 0 ? ? ? 妨取 y ? ? 1 ,则 n ? ( 3 , ? 1, 2 2 ) , ??13 分
???? ? G A1 ?n | 0 ? 3 ? 0 ? ( ? 1) ? 2 ? 2 2 | 2 ? ? ,所以,平面 B E F C 与平面 A1 E F D 1 所成二面角的 c o s ? ? ???? ? 2 2 2 3 | G A1 |?| n | 2 ? 3 ? ( ? 1) ? ( 2 2 )

设平面 B E F C 与平面 A1 E F D 1 所成二面角为 ? ,可以看出, ? 为锐角,所以,

余弦值为

2 3



??14 分

19.⑴由题可知,圆心 C 到定点 F ? 1, 0 ? 的距离与到定直线 x ? ? 1 的距离相等 (确定“曲线是抛物线”1 分,说明抛物线特征 1 分) 所以动圆圆心 C 的轨迹 C 2 的方程为 y ? 4 x .
2

??2 分

由抛物线定义知, C 的轨迹 C 2 是以 F ? 1, 0 ? 为焦点,直线 x ? ? 1 为准线的抛物线 ??4 分 ??5 分
m ?n ? k( ? 4) ? ?2 2 y ? k ( x ? 4 ) 对称,所以 ? ? n ? k ? ?1 ? m ?

⑵解法 1、 设 P ( m , n ) ,则 O P 中点为 (
m 2 n 2

,

)

, 因为 O 、 P 两点关于直线



? 8k ? m ? 2 ? km ? n ? 8k ? 1? k 即? ,解之得 ? ? m ? nk ? 0 ?n ? ? 8k 2 ? 1? k ?
2

(中点 1 分,方程组 2 分,化简 1 分) ??8 分

将其代入抛物线方程,得: ( ? 联立 由?
? y ? k (x ? 4) ? 2 2 ? x y ? 2 ? 2 ?1 b ? a
? ( ? 8 a ) ? 4 (b
2 2

8k 1? k
2

) ? 4?
2

8k

2 2

1? k
2

,所以 k 2

?1

.

??9 分

,消去 y ,得: ( b 2
2

? a )x ? 8a x ? 16a
2 2

2

? a b
2

2

? 0

??11 分 ??12 分

? a )(1 6 a
2

2

? a b )? 0
2 2

,得 a 2
34 2

? b

2

? 16
?


34

注意到 b 2

? a

2

? 1 ,即 2 a

2

? 17

,所以 a
34

?

,即 2 a


2

??13 分
y
2

因此,椭圆 C 1 长轴长的最小值为 解法 2、 设P ?
? m

.此时椭圆的方程为

x

17 2

+

15 2

? 1.

??14 分

? , m ? ,因为 O 、 P 两点关于直线 l 对称,则 O M ? M P = 4 , ? 4 ?
2

??6 分



? m ? 2 ? 4 ? ? m ? 4 ,解之得 m ? ? 4 ? 4 ? ?
2

2

??7 分

第9页

即 P ( 4 , ? 4 ) ,根据对称性,不妨设点 P 在第四象限, 且直线与抛物线交于 A , B .则 k A B ? ? 直线 l 方程为 y ? x ? 4 (斜率 1 分,方程 1 分) 联立 由?
? y ? x ? 4 ? 2 2 ,消去 y ?x y ? 2 ?1 ? 2 b ?a
? ( ? 8 a ) ? 4 (b
2 2 2 2

1 kOP

? 1 ,于是

??9 分
2 2 2

,得: ( b 2
2 2 2

? a )x ? 8a x ? 16a
2

? a b
2

2

? 0

??11 分 ??12 分

? a )(1 6 a
2

? a b )? 0

,得 a 2
34 2

? b

2

? 16
?


34

注意到 b 2

? a

2

? 1 ,即 2 a

? 17

,所以 a
34

?

,即 2 a


2

??13 分
y
2

因此,椭圆 C 1 长轴长的最小值为

. 此时椭圆的方程为

x

17 2

+

15 2

? 1.

??14 分

0 ? x ? 3 ? ? 3? x ? 6 ? ? 20.⑴由题意知 ? x 6 1 或? x 1 ? ? ?2 ? ? ?1 ? 6 x?3 3 6 3 ? ?

??2 分

解得 1 ? x ? 3 或 3 ? x ? 4 ,即 1 ? x ? 4 ??3 分 能够维持有效的抑制作用的时间: 4 ? 1 ? 3 小时. ??4 分 ⑵由⑴知, x ? 4 时第二次投入 1 单位固体碱,显然 g ( x ) 的定义域为 4 ? x ? 1 0 ??5 分 当 4 ? x ? 6 时,第一次投放 1 单位固体碱还有残留,故
? 11 x x ? ? 6 ( x ? 4) 6 ? ; ? ? ? g ? x ? =?1 ? ? + ?2 ? ?= 6 ? ? 3 x ?1 6 ( x ? 4) ? 3 ? 3 ? 当 6 ? x ? 1 0 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留,故

??6 分

当 6 ? x ? 7 时, g ( x ) ? 2 ? 当 7 ? x ? 1 0 时, g ( x ) ? 1 ?
x 6 ?11 ? ? ? 3 3 x ?1 ? x 6 ? 8 所以 g ( x ) ? ? 3 ? 6 ? x ? 1 ? x ?5 ? ? 6 ?3

(x ? 4) 6

?

6 (x ? 4) ? 3

=

8 3

?

x 6

?

6 x ?1

;

??7 分 ??8 分

x?4 6

?

5 3

?

x 6

;

4 ? x ? 6 6 ? x ? 7 7 ? x ? 10

??9 分

当 4 ? x ? 6 时, g ( x ) ? 当且仅当
x ?1 3 ? 6 x ?1

11 3

?

x 3

?

6 x ?1

=

10 3

?(

x ?1 3

?

6 x ?1

) ?

10 3

? 2

x ?1 3

?

6 x ?1

=

10 3

?2

2 ;

时取“=”,即 x ? 1 ? 3 2 ? [ 4 , 6 ] (函数值与自变量值各 1 分)??11 分

当 6 ? x ? 1 0 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留, 当 6 ? x ? 7 时, g ? ( x ) ?
6 ( x ? 1)
2

?

1 6

?

( x ? 5 )(7 ? x ) 6 ( x ? 1)
2

? 0 ,所以 g ( x ) 为增函数;

当 7 ? x ? 1 0 时, g ( x ) 为减函数;故 g ( x ) m a x = g ( 7 ) ?

1 2



??12 分

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又(
10 3 ?2

10 3

? 2

2)?

1 2

?

17 ? 12 6

2

=

289 ? 6

288

? 0 ,所以当 x ? 1 ? 3

2 时,水中碱浓度的最大值为

2 .

??13 分

答:第一次投放 1 单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为 3 小时;第一次投放 1 ? 3 2 小时后, 水中碱浓度的达到最大值为 21.⑴易得, f 1 ? x ? ? ? ?
? ? 1

10 3

?2

2 .
1

??14 分 ??1 分 ??2 分

? ? x 2 x ? 2x?e 2 , 2 ?
1

?1 2 ? ? x f2 ? x ? ? ? x ? 2 x ? 2 ? e 2 ? 4 ? 3 ? 1 2 ? ? x f3 ? x ? ? ? ? x ? x ? 3 ? e 2 ,所以 f 3 ( 0 ) ? ? 3 2 ? 8 ?
1

??3 分

⑵不失一般性,设函数 f n ? 1 ( x ) ? ? a n ? 1 x 2 ? b n ? 1 x ? c n ? 1 ? ? e ? x 的导函数为
f n ( x ) ? ? a n x ? bn x ? c n ? ? e
2

?x

,其中 n ? 1, 2 , ? ,常数 ? ? 0 , a 0 ? 1, b 0 ? c 0 ? 0 . ??4 分 ①, ??5 分

?x 2 对 f n ? 1 ( x ) 求导得: f n?? 1 ( x ) ? [ ? ? a n ? 1 x ? ( 2 a n ? 1 ? ? ? b n ? 1 ) x ? ( b n ? 1 ? ? ? c n ? 1 ) ] ? e

故由 f n?? 1 ( x ) ? f n ( x ) 得: a n ? ? ? a n ? 1

由①得: a n

? b n ? 2 a n ? 1 ? ? ? b n ? 1 ②, ? ? c n ? b n ?1 ? ? ? c n ?1 ? ③ ? n ? ? ,n ? N ,

??6 分
n ?1

n ?1 ? ? ? b n ? 1 ,即 代入②得: b n ? 2 ? ?
n ?1 故得: b n ? 2 n ? ? , n ? N .

bn

?

n

?

2

?

?

b n ?1

?

,其中 n ? 1, 2 , ? ??7 分

n?2 ? ? ? c n ? 1 ,即 代入③得: c n ? 2 n ? ?
n?2 故得: c n ? n ( n ? 1) ? ? , n ? N ,

cn

?

n

?

2n

?

2

?

c n ?1

?

n ?1

,其中 n ? 1, 2 , ? . ??8 分

因此 f n ( 0 ) ? c n ? n ( n ? 1) ? ? 将? ? ?
1 2

n?2

,n ? N .

代入得: f n ( 0 ) ? n ( n ? 1)( ?
1 2 )

1 2

)

n?2

,其中 n ? N .

??9 分

(2)由(1)知 f n ? 1 ( 0 ) ? n ( n ? 1)( ?

n ?1


1 2 )
2 k ?1

当 n ? 2 k ( k ? 1, 2 , ? ) 时, S 2 k ? S 2 k ? 1 ? f 2 k ? 1 ( 0 ) ? 2 k ( 2 k ? 1) ? ( ?
? S 2 k ? S 2 k ? 1 ? 0 , S 2 k ? S 2 k ? 1 ,故当 S n 最大时, n 为奇数.

? 0,

??10 分 ??11 分
1 2 )
2 k ?1

当 n ? 2 k ? 1( k ? 2 ) 时, S 2 k ? 1 ? S 2 k ? 1 ? f 2 k ? 2 ( 0 ) ? f 2 k ? 1 ( 0 ) 又 f 2 k ? 2 ( 0 ) ? ( 2 k ? 1)( 2 k ? 2 )( ?
1 2 )
2k

, f 2 k ? 1 ( 0 ) ? 2 k ( 2 k ? 1)( ?
1 2 )
2k

)

2 k ?1

? f 2 k ? 2 ( 0 ) ? f 2 k ? 1 ( 0 ) ? ( 2 k ? 1)( 2 k ? 2 )( ?

? 2 k ( 2 k ? 1)( ?

1 2

? ( 2 k ? 1)( k ? 1)( ?

1 2

)

2 k ?1

? 0,

? S 2 k ? 1 ? S 2 k ? 1 ,因此数列 ? S 2 k ? 1 ? ( k ? 1, 2 , ? ) 是递减数列

??12 分 ??13 分 ??14 分

又 S1 ? f2 (0 ) ? 2 , S 3 ? f2 (0 ) ? f3 (0 ) ? f4 (0 ) ? 2 , 故当 n ? 1 或 n ? 3 时, S n 取最大值 S 1 ? S 3 ? 2 .

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