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数学必修2空间几何体


(人教版)数学必修(二)

《立体几何部分》知识梳理

数学必修 2 立体几何知识汇总
第一章 《空间几何体》

1.1 空间几何体的结构 1.本节知识结构

1.2 空间几何体三视图和直观图 1、 本节知识结构

1.3 空间几何体的表面积与体积 1、本节知识结构

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重点:了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式。 难点:球体积和的表面积的推导。

三、重、难点解析
1.多面体的体积(表面积)问题; 2.点到平面的距离(多面体的一个顶点到多面体一个面的距离) 问题—“等体积代换法” 。 (一)多面体的体积(表面积)问题
1. 在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ,对角线 AC 与 BD 相交于点 O, PO⊥平面 ABCD, 与平面 ABCD 所成的角为 PB 60 ? . (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; 【解】 (1)在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥平面 ABCD,得 ∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角,∠PBO=60° . 在 Rt△ AOB 中 BO=ABsin30° =1,由 PO⊥BO, 于是,PO=BOtg60° 3 , = 而底面菱形的面积为 2 3 . ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V=
?

1 × 3 × 3 =2. 2 3

(二)点到平面的距离问题—“等体积代换法” 。
1. 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.
(III)求点 E 到平面 ACD 的距离。 【解】 (III) 设点 E 到平面 ACD 的距离为 h.

A

?VE ? ACD ? VA?CDE ,
O

D

1 1 ∴ h?S?ACD ? ?AO?S?CDE . 3 3


B

E

C

?ACD





C ?A

2? ,D C

? A2 D ,

1 2 7 ? S ?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( ) 2 ? . 2 2 2
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而 AO ? 1, S?CDE ?

1 3 2 3 ? ?2 ? , 2 4 2

?h ?

A O SC D E . ? S ?A C D

3 1? ? 2 7 2

?

21 . 7

?点 E 到平面 ACD 的距离为

21 . 7

2. 如图,已知平面 A1 B1C1 平行于三棱锥 V ? ABC 的底面 ABC,等边△ AB1C 所在 的平面与底面 ABC 垂直, 且∠ACB=90° 设 AC ? 2a, BC ? a , (Ⅱ)求点 A 到平面 VBC 的距离; 【解】 (Ⅱ)解法 1:过 A 作 AD ? B1C 于 D, ∵△ AB1C 为正三角形, ∵BC⊥平面 AB1C 又 B1C ? BC ? C , ∴D 为 B1C 的中点. A ∴ BC ? AD , B ∴AD⊥平面 VBC , A1 B1 C C1 V

∴线段 AD 的长即为点 A 到平面 VBC 的距离. 在正△ AB1C 中, AD ?

3 3 ? AC ? ? 2a ? 3a . 2 2

∴点 A 到平面 VBC 的距离为 3a . 解法 2: AC 中点 O 连结 B1O , B1O ⊥平面 ABC , 取 则 且 B1O = 3a . 由(Ⅰ)知 BC ? B1C ,设 A 到平面 VBC 的距离为 x, 即 ?

?VB1 ? ABC ? VA? BB1C ,

1 1 1 1 BC ? AC ? B1O ? ? BC ? B1C ? x ,解得 x ? 3a . 3 2 3 2

即 A 到平面 VBC 的距离为 3a . 所以, A 到平面 VBC 的距离为 3a .

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第二章

《点、直线、平面之间的位置关系》

2.1 空间中点、直线、平面之间的位置关系 1、本节知识结构

2.内容归纳总结 (1)四个公理
公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 符号语言: A ? l , B ? l , 且A ?? , B ?? ???l ? ? 。 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线(两个平面的交线) 。 符号语言: P ?? , 且P ? ? ? ? ? ? ? l , P ? l 。 公理 4: (平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言: a // l , 且b // l ? a // b 。

(2)空间中直线与直线之间的位置关系
1.概念 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线 a, b ,经过空间任意一点 O 作直线 a? // a, b? // b ,我们把 a? 与 b? 所成的角(或直角)叫异面直 a, b 所成的夹角。 (易知:夹角范围 0 ? ? ? 90? ) 定理:空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相 等或互补。 (注意:会画两个角互补的图形)

? ?相交直线:_______________________________; ?共面直线 ? 2.位置关系: ? ?平行直线:_______________________________; ? ?异面直线:_________________________________________.

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(3)空间中直线与平面之间的位置关系
?1.直线在平面内:l ? ? ? 直线与平面的位置关系有三种: ? ?2.直线与平面相交:l ? ? ? A ?直线在平面外 ?3.直线与平面平行:l // ? ? ?

(4)空间中平面与平面之间的位置关系
平面与平面之间的位置关系有两种: ?

?1.两个平面平行:? // ? ? 2.两个平面相交:? ? ? ? l

2.2 直线、平面平行的判定及其性质
1、本节知识结构

2.内容归纳总结 (1)四个定理
定理 定理内容 平面外的一条直 线与平面内的一条直 线平行,则该直线与 此平面平行。 一个平面内的两 条相交直线与另一个 平面平行,则这两个 平面平行。 一条直线与一个 平面平行,则过这条 直线的任一平面与此 平面的交线与该直线 平行。 如果两个平行平 面同时和第三个平面 相交,那么它们的交 线平行。 符号表示 分析解决问题的常用方法 在已知平面内“找出” 一条直线与已知直线平行 就可以判定直线与平面平 行。即将“空间问题”转化 为“平面问题” 判定的关键: 在一个已 知平面内 “找出” 两条相交 直线与另一平面平行。 即将 “面面平行问题”转化为 “线面平行问题”

直线与平面 平行的判定

a ? ? , b ? ? , 且a // b ? a // ?
a ? ? ,b ? ? , a ? b ? P, a // ? , b // ? ? ? // ?

平面与平面 平行的判定

直线与平面 平行的性质

a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b ? a // b

平面与平面 平行的性质

? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b

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(2)定理之间的关系及其转化
两平面平行问题常转化为直线与直线平行, 而直线与平面平行又可转化为直线与直线平 行,所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是:将“高维问题”转化 为“低维问题” ,将“空间问题”转化为“平面问题” 。

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
1、本节知识结构

2.内容归纳总结

(一)基本概念 1.直线与平面垂直:如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线 都垂直,我们就说直线 l 与平面 ? 垂直,记作 l ? ? 。直线 l 叫做平 面 ? 的垂线,平面 ? 叫做直线 l 的垂面。直线与平面的公共点 P 叫 做垂足。 2. 直线与平面所成的角: 角的取值范围: 0 ? ? ? 90? 。 3.二面角: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角。 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的 面。 二面角的记法: 二面角的取值范围: 0 ? ? ? 180?
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两个平面垂直:直二面角。 (二)四个定理
定理 定理内容 一条直线与一个 平面内的两条相交直 线垂直,则该直线与 此平面垂直。 符号表示 分析解决问题的常用方法 在已知平面内“找出” 两条相交直线与已知直线 垂直就可以判定直线与平 面垂直。即将“线面垂直” 转化为“线线垂直” 判定的关键: 在一个已 知平面内 “找出” 两条相交 直线与另一平面平行。 即将 “面面平行问题”转化为 “线面平行问题”

直线与平面 垂直的判定

m、n ? ? , m ? n ? P, 且a ? m, a ? n ? a ??
a ? ?,a ?? ? ? ??
(满足条件与 ? 垂直 的平面 ? 有无数个)

平面与平面 垂直的判定

一个平面过另一 平面的垂线,则这两 个平面垂直。 同垂直与一个平 面的两条直线平行。 两个平面垂直, 则一个平面内垂直与 交线的直线与另一个 平面垂直。

直线与平面 垂直的性质 平面与平面 垂直的性质

a ? ? , b ? ? ? a // b

? ? ? ,? ? ? ? l, a ? ? , 解决问题时, 常添加的 辅助线是在一个平面内作 a ?l ? a ??
两平面交线的垂线

(三)定理之间的关系及其转化:
两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直, 而直线与平面垂直又可转化为直线与直线垂 直,所以在解题时应注意从“高维”到“低维” 的转化,即“空间问题”到“平面问题” 的转化。

三、考点解析 第一部分、三类角(异面直线所成的夹角、直线与平面所成 的角、二面角)的求解问题 (一)异面直线所成的夹角

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1.异面直线所成的夹角是本部分的重点和难点。
异面直线所成的角的大小是刻划空间两条异面直线的相关位置的一个量, 掌握好概念是 解题的关键,其思维方法是把两条异面直线所成的角通过“平移法”转化为“平面角” ,然 后证明这个角就是所求的角,再利用三角形解出所求的角(简言之:①“转化角” 、②“证 明” 、③“求角”。以上三个步骤“转化角”是求解的关键,因为转化的过程往往就是求解 ) 的过程——其目的就是将“空间问题”转化为“平面问题(角问题)。 ”
1. 在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ,对角线 AC 与 BD
?

相交于点 O, PO⊥平面 ABCD, 与平面 ABCD 所成的角为 PB 60 ? . (1)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的 大小(结果用反三角函数值表示) . 【解】 (1)取 AB 的中点 F,连接 EF、DF. 由 E 是 PB 的中点,得 EF∥PA, ∴∠FED 是异面直线 DE 与 PA 所成角(或它的补角) 。 在 Rt△ AOB 中 AO=ABcos30° 3 =OP, =

于是,在等腰 Rt△ POA 中,PA= 6 ,则 EF=

6 . 2

在正△ ABD 和正△ PBD 中,DE=DF= 3 .

1 6 EF 2 cos∠FED= 2 ? 4 = 4 DE 3
2 . 4

∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos

2. 如图,在正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

AB ? 1, BB1 ? 3 ? 1 , E 为 BB1 上使 B1 E ? 1 的点。平面

AEC1 交 DD1 于 F ,交 A1 D1 的延长线于 G ,求:
(Ⅰ)异面直线 AD 与 C1G 所成角的大小; 【 解 】 解 法 一 : 由 AD // D1G知?C1GD1 为 异 面 直 线

AD C G 与 1 所成的角。连接 C1 F .因为 AE 和 C1 F 分别是平
行 平 面 A B B A C C D D 平 面 AEC G的 交 线 , 所 以 和 1 1 1 1 与 1

? AE // C1 F , 由 此 可 得 D1 F ? B E 3 , 再 由 △F D G∽ 1

△FDA 得 D1G ? 3
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在 Rt△C1 D1G中,由C1 D1 =1,D1G= 3,得?C1GD1 ? 解法二:由 AD // D1G知?C1GD1 为异面直线

?
6



AD与C1G 所成的角。因为 EC1 和 AF 分别是平行平面 BB1C1C和AA1D1D 与平面 AEC1G 的交
线,所以 EC1 // AF ,由此可得

?AGA1 ? ?EC1 B1 ?

?
4

从而 A1G ? AA1 ? 3 ? 1 ,于是 D1G ? 3

在 Rt△C1 D1G中,由C1 D1 =1,D1G= 3,得?C1GD1 ?

?

6 3.如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,
A

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.
(1)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; 【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关 系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本 知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算 能力。 方法一: (1) 取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、 OE,由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC

D O B E C

?直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与
CD 所成的角 在 ?OME 中, EM ?

1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, 2 2 2

?OM 是 直 角 ?AOC 斜 边 AC 上 的 中 线 ,
? OM ? 1 AC ? 1, 2
? c o s? E M ? O 2 , 4 2 . 4

?异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos

(二) 直线与平面所成夹角
1.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形, AD // BC ,

?BAD ? 90? ,PA ? 底面 ABCD ,且 P ?A ? B ? B2 A D A C



M、N 分别为 PC 、 PB 的中点。 (1)求 CD 与平面 ADMN 所成的角。 【解】 (1)取 AD 的中点 G ,连结 BG 、 NG , 则 BG // CD , 所以 BG 与平面 ADMN 所成的角和 CD 与平面 ADMN 所
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成的角相等. 因为 PB ? 平面 ADMN , 所以 ?BGN 是 BG 与平面 ADMN 所成的角. 在 Rt ?BNG 中, sin ?BGN ?

BN 10 ? 。 BG 5 10 。 5

故 CD 与平面 ADMN 所成的角是 arcsin

2. 在正三角形 ABC 中,E、F、P 分别是 AB、AC、 BC 边上的点, 满足 AE:EB = CF:FA = CP:PB = 1:2 (如图 1) 。将△AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置, 使二面角 A1-EF-B 成直 二面角,连结 A1B、A1P (如图 2) (1)求直线 A1E 与 平面 A1BP 所成角的大小; 【解】不妨设正三角形的边长为 3,则 (1)在图 2 中,∵A1E 不垂直于 A1B,∴A1E 是面 A1BP 的斜线,又 A1E⊥面 BEP, ∴A1E⊥BP,∴BP 垂直于 A1E 在面 A1BP 内的射影(三垂线定理的逆定理) 设 A1E 在面 A1BP 内的射影为 A1Q,且 A1Q 交 BP 于 Q, 则∠EA1Q 就是 A1E 与面 A1BP 所成的角,且 BP⊥A1Q。 在△EBP 中,∵BE=BP=2,∠EBP=60o,∴△EBP 为正三角形,∴BE=EP。 又 A1E⊥面 BEP,∴A1B=A1P,∴Q 为 BP 的中点,且 EQ= 3 ,而 A1E=1, ∴在 Rt△A1EQ 中, tan ?A1 EQ ?

A E
E

A1

F
B P

F

C

B
图1

P

C
图2

EQ ? 3 ,即直线 A1E 与面 A1BP 所成角为 60o。 A1 E

(三) 二面角与二面角的平面角问题
1. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面 ABCD,且 PA ? AB ,点 E 是 PD 的中点. (1)求二面角 E ? AC ? B 的大小. 【解】 (1) 如图, AD 的中点 F, EF, 取 连 FO, EF 是△PAD 的中位线, ?EF // PA 则 又 PA ? 平面 ABCD , ?EF?平面 ABCD

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同 理

FO

是 △ ADC

的 中 位 线 ,

?FO // AB?FO?AC 由三垂线定理可知??EOF 是 二面角 E-AC-D 的平面角. = 又 FO=

1 AB 2

??EOF=45?而二面角 E ? AC ? B 与二面角 E -AC-D 互补, 故所求二面角 E ? AC ? B 的大小为 135?. 2. 如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形, AB // DC,

1 PA=EF。 2

AC ? BD, AC 与 BD 相交于点 O ,且顶点 P 在底面上的
射影恰为 O 点,又 BO ? 2, PO ?

2, PB ? PD .

(1)求二面角 P ? AB ? C 的大小; 【解】 ? PO ? 平面 ABCD , ? PO ? BD 又 PB ? PD, BO ? 2, PO ?

2, 6

由平面几何知识得: OD ? 1, PD ? 3, PB ?

(1)连结 OE ,由(Ⅰ)及三垂线定理知, ?PEO 为二面角 P ? AB ? C 的平面角

? sin ?PEO ?

PO 2 ? , PE 2

??PEO ? 450

?二面角 P ? AB ? C 的大小为 450
3. 如图,α ⊥β ,α ∩β =l , A∈α , B∈β ,点 A 在直线 l 上的射影为 A1, 点 B 在 l 的射

影为 B1,已知 AB=2,AA1=1, BB1= 2, 求: (II)二面角 A1-AB-B1 的大小。 【解】 (Ⅱ)∵BB1⊥α , ∴平面 ABB1⊥α 。 在平面α 内过 A1 作 A1E⊥AB1 交 AB1 于 E,则 A1E ⊥平面 AB1B。过 E 作 EF⊥AB 交 AB 于 F,连接 A1F, 则由三垂线定理得 A1F⊥AB, ∴∠A1FE 就是所求二面角的平面角. 在 Rt △ ABB1 中 , ∠ BAB1=45 ° , ∴ AB1=B1B= 2. ∴Rt△AA1B 中, A1B= AB2-AA12 = 4-1 = 由 AA1·A1B=A1F·AB 得 A1F= 3。

AA1·A1B 1× 3 3 = = , AB 2 2 A1E 6 = , A1F 3
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∴在 Rt△A1EF 中,sin∠A1FE =

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∴二面角 A1-AB-B1 的大小为 arcsin

6 . 3

第二部分 《空间直线、平面的平行问题》 举例说明将“高维问题”转化为“低维问题” ,将“空间问 题”转化为“平面问题”的“转化思想”的运用。 (一) “线线平行”与“线面平行”的转化问题
1. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面 ABCD,且 PA ? AB ,点 E 是 PD 的中点. (1)求证: PB // 平面 AEC ; 【解】 证明本题的关键:在平面 EAC 中“找”一条与 PB 平行的直线,由于点 E 在平面 PBD 中,所以可以在 平面 PBD 中过点 E“找” (显然,要“找”的直线就是 平面 PBD 与平面 EAC 的交线) 。最终将“线面平行”

问题转化为“线线平行”问题。
(1)连接 BD,与 AC 相交与 O,连接 EO, ?ABCD 是平行四边形 ?O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点, ?EO//PB. 又 PB ? 平面 AEC,EO ? 平面 AEC, ?PB ?? 平面 AEC。 2. 如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,面 CDE 是 等边三角形,棱 EF //

1 BC . ?2 (1)证明 FO //平面 CDE ;
1 1 OM // BC , // BC , EF 2 2

【证】 (Ⅰ)证明:取 CD 中点 M,连结 OM. 在矩形 ABCD 中。

则 EF //OM ,连结 EM,于是四边形 EFOM 为平 行四边形. ? FO // EM 又? FO ? 平面 CDE,且 EM ? 平面 CDE,∵FO∥平面 CDE

(二) “线面平行”与“面面平行”的转化问题
1. 如图,长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,E、P 分别是 BC、 A1D1 的中点,M、N 分别是 AE、 CD1 的中点, AD=AA1 ? a, AB=2a, (Ⅰ)求证: MN // 平面ADD1 A1 ; 【证明】本题如果利用“线线平行”找“线”比较复 杂 (不是不可以) 所以我们可以考虑利用 , “面面平行” 来将问题转化。关键是:考虑到点 M、N 都是中点,
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于是我们就轻松的可以找到另一个比较特殊的中点 K(OC 的中点) “线面平行”问 ,将

题转化为“面面平行”问题。
(Ⅰ)取 CD 的中点 K ,连结 MK , NK ∵ M , N , K 分别为 AK , CD1 , CD 的中点 ∵ MK // AD, NK // DD1 ∴ MK // 面 ADD1 A1 , NK // 面 ADD1 A1 ∴面 MNK // 面 ADD1 A1 ∴ MN // 面 ADD1 A1

第三部分 《 空间直线、平面的垂直问题》 举例详细说明空间直线、平面的垂直问题中将“高维问题” 转化为“低维问题” ,将“空间问题”转化为“平面问题”转化 思想的运用。 (一) “线线垂直”到“线面垂直”
1. 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.
(I)求证: AO ? 平面 BCD; 【解】 (I)证明:连结 OC

? BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. ? BO ? DO, BC ? CD,?CO ? BD.
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,

? AO 2 ? CO 2 ? AC 2 ,

??AOC ? 90o , 即 AO ? OC.

? BD ? OC ? O,
2 . 如 图 4,

? AO ? 平面 BCD
已 知 两 个 正 四 棱 锥
D C A B P

P ? ABCD与Q ? ABCD 的高分别为 1 和 2, AB ? 4 。
(I)证明: PQ ? 平面ABCD ;

Q

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图4

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【解】 (Ⅰ)取 AD 的中点 M,连接 PM、QM。 因为 P-ABCD 与 Q-ABCD 都是正四棱锥,所以 AD ? PM,AD ? QM。 从而 AD ? 平面 PQM。 又 PQ ? 平面 PQM,所以 PQ⊥AD。 同理 PQ⊥AB,所以 PQ⊥平面 ABCD。 3.在正三角形 ABC 中,E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点,满足 AE:EB=CF:FA =CP:PB=1:2(如图 1) 。将△AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置,使二面角 A1-EF-B 成直 二面角,连结 A1B、A1P (如图 2) (Ⅰ)求证:A1E⊥ 平面 BEP; 【解】[考点分析:本题主 要考查线面垂直、直线和 平面所成的角、二面角等 基础知识,以及空间线面
B P C

A E
E

A1

F

F

B
图1

P

C
图2

位置关系的证明、角和距离的计算等,考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力] 不妨设正三角形的边长为 3,则 (I)在图 1 中,取 BE 的中点 D,连结 DF, ∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2,∴AF=AD=2,而∠A=60o,∴△ADF 为正三角形。 又 AE=DE=1,∴EF⊥AD。 在图 2 中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB 为二面角 A1-EF-B 的一个平面角, 由题设条件知此二面角为直二面角,∴A1E⊥BE。 又 BE ? EF=E,∴A1E⊥面 BEF,即 A1E⊥面 BEP。

(二) “线面垂直” 到“线线垂直”
1.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形, AD // BC ,

?BAD ? 90? ,PA ? 底面 ABCD ,且 P ?A ? B ? B2 A D A C



M、N 分别为 PC 、 PB 的中点。 (Ⅰ)求证: PB ? DM ; 【解】 (I) 因为 N 是 PB 的中点, ? AB , 所以 AN ? PB . PA 因为 AD ? 平面 PAB ,所以 AD ? PB , 从而 PB ? 平面 ADMN .因为 DM ? 平面 ADMN , 所以 PB ? DM .

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2 . 如 图 , 在 三 棱 锥

A - BCD

中 , 侧 面

ABD 、 ACD

是 全

等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且 AD= 3 ,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形 (1)求证:AD?BC; 【解】 (1)方法一:作 AH?面 BCD 于 H,连 DH。 AB?BD?HB?BD,又 AD= 3 ,BD=1 ?AB= 2 =BC=AC ?BD?DC 又 BD=CD,则 BHCD 是正方形,则 DH? BC ?AD?BC 方法二:取 BC 的中点 O,连 AO、DO 则有 AO?BC,DO?BC, ?BC?面 AOD ?BC?AD
B D A

C

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