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平面向量


平面向量 一、发现问题 ? ? ? 1、设 a 是已知的平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: (1)给定向量 b , 总存在向量 c , 使a ? b ?c ; (2) 给定向量 b 和 c , 总存在实数 ? 和 ? , 使 a ? ?b ? ?c ;(3)给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使

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? ? ? ? ? ? ? ? a ? ?b ? ?c ;(4)给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ?b ? ?c 。
上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面且两两不共线,则真命题的个数是 (

? ?

?



D.4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2、 ?ABC 中,AB 边的高为 CD , 若 CB ? a ,CA ? b ,a ? b ? 0 , a ? 1 ,b ? 2 , 则 AD
为 ( )

A.1

B .2

C .3

4? 4? D. a ? b 5 5 ? ? ? ? ? ? 3、在 ?ABC 中, 点 D 在边 AB 上,CD 平分 ?ACB , 若 CB ? a ,CA ? b , a ? 1, b ? 2 ,
则 CD ? (
?

1? 1? A. a ? b 3 3

2? 2? B. a ? b 3 3

3? 3? C. a ? b 5 5



2? 1? 3? 4? 4? 3? B. a ? b C. a ? b D. a ? b 3 3 5 5 5 5 ? ? ? ? 4、已知向量 a ? (1, m),b ? (m,2),若a // b ,则实数 m 等于 ( )

1? 2? A. a ? b 3 3

A. ? 2

B. 2
?

C. ? 2或 2
?

D.0
( )

5、在 ?ABC 中, AB ? 2, AC ? 3, AB ? BC ? 1 ,则 BC ?

A. 3

B. 7

C.2 2

D. 23
? ?

6、已知圆 O 的半径为 1, PA 、PB 为该圆的两条切线, A、B 为两切点,那么 PA? PB 的 最小值为 ( )

A. ? 4 ? 2

B. ? 3 ? 2

C. ? 4 ? 2 2

D. ? 3 ? 2 2

7、若 a, b 是非零向量,且 a ? b , a ? b ,则函数 f ( x) ? ( xa ? b ) ? ( xb ? a) 是 (

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B. 一次函数但不是奇函数 D. 二次函数但不是偶函数 1 8、设 ?ABC , P0 是边 AB 上一定点,满足 P0 B ? AB , 且对于边 AB 上任一点 P ,恒有 4

A. 一次函数且是奇函数 C. 二次函数且是偶函数

PB? PC ? P0 B? P0C ,则(

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?

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A.?ABC ? 90?

B.?BAC ? 90?
? ?

C. AB ? AC
? ? ?

D. AC ? BC
? ?

b 的夹角为 60°, c ? t a ? (1 ? t ) b ,若 b ? c ? 0 ,则 9、已知两个单位向量 a ,

t?


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10、已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? CB 的值为

DE ? DC 的最大值为
? ?

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11、已知向量 a ? (1,0), b ? (1,1) ,则 (1)与 2 a ? b 同向的单位向量坐标表示为 (2)向量 b ? 3 a 与向量 a 的夹角的余弦值为
? ?
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; 。

二、问题突破 1、向量的概念 (1)向量 既有大小又有方向的量叫做向量。向量可以用有向线段来表示 数量不同于向量,数量是只有大小的量,数量之间可以比较大小; 向量是既有大小,又有方向的量,向量之间不能比较大小。 (2)模 向量的大小,也就是向量的长度称为向量的模 (3)零向量 长度或模的长度为 0 的向量叫零向量,规定:零向量的方向是任意的 (4)单位向量 长度或模等于 1 个单位的向量叫做单位向量 (5)共线向量 方向相同或相反的向量叫做平行向量,也叫做共线向量,规定:零向量与任一向量平行 (6)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 任意两个相等的非零向量, 都可以用一条有向线段来表示, 并且与有向线段的起点无关, 也就是说,相等向量经过平移总可以重合; 在平面上,两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量。 (7)相反向量 与向量 a 长度相等,方向相反的向量叫做向量 a 的相反向量,记作 ? a 典例 1 下列命题中,正确的是 ( )
? ?

?

? ? ? ? A. a ? b ,则 a ? b ? ? ? ? C. 若 a ? b ,则 a ? b

? ? ? ? B. 若 a ? b ,则 a 与 b 是平行向量
? ? ? ? D. 若 a 与 b 不相等,则向量 a 与 b 不是共线向量

2、向量的加减法运算及其几何意义 平面向量的线性运算包括向量的加法、减法,实数与向量的乘法三种运算,求两个向量 和的运算,叫做向量的加法;求两个向量差的运算,叫作向量的减法,加法与减法运算遵循

三角形法则与平行四边形法则,在复习过程中要注意以下几点。 (1)线段中点的向量表示 若 M 是线段 AB 的中点, O 是平面内任一点,则 OM ? OA ? OB (2)向量加法的多边形法则 有 限 个 向 量 a1 , a2 ,...,an 相 加 , 可 以 从 点 O 出 发 , 逐 一 作 向 量
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OA1 ? a1 , A1 A2 ? a2 ,......,An?1 An ? an ,则向量 OAn 是这些向量的和,即: a1 ? a2 ? ... ? an ? OA1 ? A1 A2 ? ......? An?1 An ? OAn , 当 An 和 O 重 合 ( 即 上 述 折 线
? ? ? ? ? ? ?

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OA1 A2 ...An 成封闭折线)时,则和向量为零向量。
(3)向量加法与减法的区别 求 a ? b 时,是将的起点放在向量 a 的终点,然 b 后连接向量 a 的起点与向量 b 的终点所得 的向量;向量的减法是加法的逆运算,所以求 a ? b 时,是把这两个向量的起点放在一起, 他们的差是以减向量 b 的终点为起点,被减向量 a 的终点为终点的向量。 典例 2 如图,设 P, Q 为 ?ABC 内的两点,且 AP ?
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2 ? 1 ? AB ? AC 5 5


AQ ?

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2 ? 1 ? AB ? AC ,则 ?ABP 的面积与 ?ABQ 的面积之比为 3 4

3、向量的数乘运算及其几何意义 (1)实数与向量的积 一般地,实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘运算,记作 ? a , 它的长度和方向规定如下:
?

?

?a ? ? a

?

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当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反; 当 ? ? 0 时, ? a ? 0 ,由此,总有 ? a 与 a 平行。 (2)向量数乘的几何意义 向量数乘的几何意义是沿向量的方向或反方向放大或缩短, 若a ? 0 , 当 ? ? 1 时, 沿a
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的方向放大到原来的 ? 倍;当 0 ? ? ? 1 时,沿 a 的方向缩短到原来的 ? 倍;当 ? ? ?1 时,

沿 a 的反方向放大到原来的 ? 倍;当 ? 1 ? ? ? 0 时,沿 a 的反方向缩短到原来的 ? 倍。 典例 3 设 x 为未知向量, a , b 为已知向量,解方程 2 x ? (5 a ? 3 x ? 4 b ) ?
? ? ? ?

?

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1? ? a? 3 b ? 0 2

4、平面向量基本定理 由于平面上的向量有无数个, 当它们通过平移后以同一点为起点时, 能否类比平面坐标 系中点的唯一性表示呢? 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1,?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 。 平面向量基本定理是向量运算的基础, 利用这个定理可将平面内的所有向量用基底向量 唯一表示出来,从而进行线性运算,判断平行、垂直,也可求两向量之间的夹角。 点拨:(1)零向量不能作基底,两个非零向量共线时不能作基底,一旦选择了一组基底, 则定向量沿基底的分解是唯一的; ( 2 ) 如 果 e1 , e2 是 同 一 平 面 内 的 一 组 基 底 , 有 且 只 有 一 对 实 数
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?1,?2 , 使

a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ,则 a , e1 , e2 共面;
(3)如果 e1 , e2 是同一平面内的一组基底,且 ?1 e1 ? ?2 e2 ? 0 (?1 ? R, ?2 ? R) ,那么
? ? ? ? ?

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就有 ?1 ? ?2 ? 0 。 典例 4 如图,在 ?OAB 的边 OA, OB 上分别取点 M , N ,使

OM : OA ? 1 : 3, ON : OB ? 1 : 4 ,设线段 AN 与 BM 交于点 P ,则
? ?

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?

AP PN
?

BP ?


PM

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5、平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解。 (2)平面向量的坐标表示 如图,在平面直角坐标系中,分别取 x 轴、 y 轴

j 作为基底,对于平面内 方向相同的两个单位向量 i ,
的一个向量 a ,由平面向量基本定理,可知有且只有
?

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一对 x , y ,使得 a ? x i ? y j ,这样,平面内的任一向量 a 都可以由 x , y 唯一确定,我们把 有序数对 ( x, y ) 叫作向量 a 的坐标,记作 a ? ( x, y ) 注意:由图知,若点 A 的坐标为 ( x, y ) ,则 OA 的坐标为 ( x, y ) ,反之, OA ? ( x, y) ,则点
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A 的坐标为 ( x, y ) 。

AD ? b ,H , M 是 AD, DC 的中点,点 典例 5 如图所示,已知在□ ABCD 中, AB ? a ,
F 在 BC 上,且使 BF ?
? ? ? ? 1 b 为基底 AM 和 HF 。 BC ,请以 a , 3

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6、平面向量的坐标运算 向量的坐标表示即向量的代数表示, 它是向量进行代数运算的基础, 它使向量同时具备 了数与形两方面的特征,是代数运算与几何证明之间的相互转换的工具。 在平面向量基本定理中,若选择的基底互相垂直且模为 1,就构成了正交基底,从而可

b ? ( x2 , y2 ) ,则向量线性运算的运算法则 将向量放置于直角坐标系中研究,设 a ? ( x1 , y1 ),
是: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), ? a ? (?x1 , ?y1 ), a ?
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x1 ? y1 ,

2

2

数量积 a? b ? x1 x2 ? y1 y2 典例 6 已知平行四边形的三个顶点分别是 A(4,2), B(5,7), C (?3,4) ,则第四个顶点 D 的坐 标是 。 7、平面向量共线的坐标表示 平 面 向 量 共 线 的 坐 标 表 示 : 设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , 则 a // b 的 充 要 条 件 是
? ?
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x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ,即 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
b ? ( x2 , y2 ) ,则 a // b 的充要条件不能表示为 注意: 若 a ? ( x1 , y1 ),
? ? ?
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x1 y1 ? , 因为 x2 , y2 有 x2 y 2
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可能等于 0,所以应表示为 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ,同时,若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , a // b 的 充要条件也不能错记为 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 或 x1 y1 ? x2 y2 ? 0 等。

b 是两个不共线的非零向量, 典例 7 设 a , ( 1) 若 OA ? 2 a ? b , OB ? 3 a ? b , OC ? a ? 3 b ,
求证: A, B, C 三点共线;(2)若 8 a ? k b , 和k a ? 2 b 共线,求实数 k 的值。
? ? ? ?

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8、平面向量的数量积 (1)平面向量数量积的概念 已知两个非零向量 a 与 b ,则 a b cos? 叫作 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a ? b ,
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即 a? b ? a b cos? (0 ? ? ? ? )
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其中 ? 是 a 与 b 的夹角, a cos? ( b cos? ) 叫作向量 a 在 b 方向上( b 在 a 方向上) 的投影。 规定:零向量与任一向量的数量积为 0. (2)平面向量数量积的几何意义 数量积 a ? b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos? 的乘积。 (3)平面向量数量积的运算律 已知向量 a , b , c 和实数 ? , ? ,则
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a? b ? b? a
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(? a ) ? b ? ?(a? b ) ? a ? (? b ) (? a )( ? ? b) ? ?? a? b ( a ? b ) ? c ? a? c ? b ? c
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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( a ? b ) 2 ? a 2 ? 2 a? b ? b 2

?

(a ? b ) ? (a ? b ) ? a 2 ? b2
典例 8 已知向量 a , b 的夹角为 45°,且 a ? 1 , 2 a ? b ? 10,则 b ? 9、平面向量数量积的性质 (1)向量的模 设 a ? ( x, y ) ,则 a ?
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a 2 ? x 2 ? y 2 ,若 A ? ( x1 , y1 ), B ? ( x2 , y2 ) ,则 A, B 两点间

?

的距离为 AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 (2)向量垂直

b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ),
(3)两向量的夹角公式
? ?

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b ? ( x2 , y2 ) ,则根据数量积的定义及坐标表示,可得: 两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ),

cos? ? cos ? a , b ??

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? ?

a? b

?

a?b

?

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x1 x2 ? y1 y2 x1 ? y1 ? x2 ? y2
2 2 2 2

(0 ? ? ? ? )

(4)与模有关的不等式
? ?

a? b ? a ? b
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b ? ( x2 , y2 ) ,则 x1 x2 ? y1 y2 ? 若 a ? ( x1 , y1 ),
典例 9 已知向量 a ? (cos
? ?
?

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x1 ? y1 ? x2 ? y2

2

2

2

2

3x 3x ? x x ? 3? , sin ), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [ , ] 2 2 2 2 2 2
? ? ? ?

(1)求 a ? b 的取值范围; (2)若 f ( x) ? a? b ? a ? b ,试求 f ( x) 的最小值,并求此时 x 的值。

10、利用向量解决平面几何中的问题 利用向量的知识去研究几何中的直线问题, 常可以取得意想不到的效果, 其证明的基本 思想是:将问题中有关线段表示为向量,然后根据图形的性质和特点,应用向量的运算、运 算律和有关的法则,推出所求证的结论,向量的方法可运用于证明有关直线平行、垂直,线 段的相等及共线等问题,其基本方法有: 要证明线段 AB ? CD ,可转化为证明 AB ? CD 或 AB2 ? CD 2 ;
? ?

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要证明线段 AB // CD ,只要证明存在一个实数 ? ? 0 ,使 AB ? ? CD 成立; 要证明线段 AB ? CD ,只需要证明它们的数量积 AB ? CD ? 0 ; 要 证 明 A, B, C 三 点 共 线 , 只 要 证 明 存 在 一 个 实 数 ? ? 0 , 使 AB ? ? AC , 或 若
? ? ? ?

OA ? a , OB ? b , OC ? c ,只需要证明存在一个实数 t ,使 c ? t a ? (1 ? t ) b
典例 10 求证 ?ABC 的三条高交于一点。

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11、利用向量解决物理中的应用问题 用数学知识解决物理问题, 要先把物理问题转化为数学问题, 根据题目的条件建立数学 模型,在转化为数学中向量运算来完成,平面向量在物理学中具有广泛的应用,主要体现在 以下几个方面: (1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减 法; (2)动量 mv是数乘向量; (3)功是力 F 与所产生位移 s 的数量积。 12、利用向量解决解析几何中的问题 典例 12 已知 ?OFQ 的面积为 S ,且 OF? FQ ? 1, 设 OF ? c(c ? 2), S ?
? ? ? ?

3 c ,若以 O 为 4

中心, F 为右焦点的椭圆经过点 Q ,当 OQ 取得最小值时,求此椭圆的方程。

13、平面向量基本定理的应用,共线、共点问题的证明方法 平面向量基本定理的应用,共线、共点问题的证明方法主要体现在两个方面: (1)在平面内任意取两个不共线的非零向量作基底,则平面内的任一向量都可以用这组基 底表示出来,从而简化向量的个数; (2)坐标平面内的三点 A, B, C 共线的充要条件是存在三个均不为零的实数 ?1 , ?2 , ?3 ,使

?1 OA? ?2 OB? ?3 OC ? 0 ,反之亦成立。
e2 是一组基底,且 a ? ?1e1 ? ?2 e2 ,则 a 与 e1 典例 13 已知 ?1 ? 0, ?2 ? 0, e1 ,
? ? ? ? ? ? ? ?

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a 与 e2

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。(填“共线”或“不共线”)

14、如何转化向量平行与垂直的条件 (1)向量平行的充要条件有两种形式: 若 b ? 0 ,则 a// b ? 存在 ? ? R,使 a ? ? b ; 设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) 且 b ? 0 ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 (2)两个非零向量垂直的充要条件主要有两种表示形式:
? ? ? ? ? ? ? ?

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b ,则 a ? b ? a ? b ? 0 ; 两个非零向量 a ,
设非零向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) 且,则 a ⊥ b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 注意:已知两向量垂直可以利用其数量积为零列出方程,通过解方程求出其中的参数值,在 计算数量积时要注意方法的选择: 一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来, 再计算 数量积; 另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算, 把这两个数量积的计算化归为 基本的向量数量积的计算。 典例 14 已知平面向量 a ? (1, x), b ? (2 x ? 3,? x)(x ? R) (1)若 a ⊥ b ,求 x 的值;(2)若 a // b ,求 a ? b 。
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15、平面向量数量积的综合运用 向量的数量积有两种形式,不管是哪种形式,在应用时要注意: (1)向量的数量积不同于实数的积,不能把实数的积的运算法则照搬到向量的数量积的运 算中; (2)可以用向量的数量积公式解决有关角度、长度问题; (3)利用向量垂直的充要条件研究平面几何中线与线垂直的问题时,通常建立适当的坐标 系, 得到简单的向量的坐标表示, 从而使平面集合问题转化为数的运算问题, 减少了运算量。 点拨:求平面向量的数量积的方法有两种:一是根据数量积的定义,另一种是根据坐标,定 义法是 a? b ? a b cos? (0 ? ? ? ? ) ,其中 ? 为两向量的夹角;坐标法是
? ? ? ?

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a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) 时,则 a? b ? x1 x2 ? y1 y2
? ? ? ?

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典例 15 如图所示, 在四边形 ABCD 中, 若 AC ? 3, BD ? 2 , 则 ( AB? DC) ? ( AC? BD) ? 。

三、高分高考 揭示平面向量数量积中的 6 种运算密码 研究平面向量问题, 离不开向量的基本运算, 其中向量的数量积运算是平面向量中的一 种重要运算,解读平面向量的运算法则,我们不仅可以看到蕴含的向量应用,还可以读出隐 含的几何背景, 让人感悟数形结合思想在这样一种法则下演绎的精彩, 下面我们以高考和联 考中的试题为例,一起看看平面向量数量积的运算方法和技巧。 1、数量积中的几何运算与几何方法 平面向量数量积的运算法则 a? b ? a b cos? (0 ? ? ? ? ) 中,明确表示关联两个向量的 计算是依据两个向量的模与它们的夹角来进行的, 这种计算法则体现的是一种几何关系, 给 出的是一种几何方法。 (1)几何运算 典例 1
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如图,已知点 A, B, C 满足 AB ? 3, BC ? 4, CA ? 5 ,则
? ? ? ?

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AB ? BC ? BC ? CA? CA? AB 的值是
(2)几何方法 典例 2 在平行四边形 ABCD 中,



AD ? 1, ?BAD ? 60?,E为CD的终点,若AC? BE ? 1 ,则 AB 的长为

?

?



2、数量积中的坐标运算与坐标方法 建立平面直角坐标系后, 平面向量有了坐标表示, 向量的运算对应着平面直角坐标系中 坐标的运算,于是我们说坐标的引进推广了向量的应用,优化了向量的计算方法。 (1)坐标运算

b ? (m ? 1,1), c ? (2, m) ,若 ( a ? c ) ? b ,则 a ? 典例 3 设向量 a ? (1,2m),
(2)坐标方法

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?

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?

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BD ? 典例 4 在边长为 1 的正三角形 ABC 中, A. ? 1 2 B. ? 2 3 C. ? 1 3

?

? ? 1 ? E 是 CA 的中点, BA , 则 CD? BE = ( 3 1 D. ? 6



3、数量积中的投影运算与投影方法 平面向量的数量积公式 a? b ? a b cos? (0 ? ? ? ? ) 中还包含着丰富的几何意义,即数
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? ? ?

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量积 a ? b 等于 a 的模与 b 在 a 方向上的投影的乘积,高考和各地联考的命题也常常以向量 的投影知识来设计问题。 (1)投影运算 典例 5 已知点 A(?1,1), B(1,2), C (?2,?1), D(3,4) , 则向量 AB 在 CD 方向上的投影为 (
?
?



A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

(2)投影方法

典例 6

? 3x ? y ? 0 ? 已知 A(3, 3 ) , O 是坐标原点,点 P ( x, y ) 的坐标满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则 ? y?0 ?
的取值范围是 。

OA? OP CD
?

?

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四、闯关检测

b 是两个向量,则“ a ? 3 b ”是“ a ? 3 b ”的( 1、已知 a ,
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件

? ?

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D. 既不充分也不必要条件
? ? ?

3 OA- OB 2、已知点 O, A, B 不在同一条直线上, 点 P 为该平面上一点, 且 OP ? , 则 ( 2
A.点P在线段AB上 C.点P在线段AB的延长线上
? ?



B.点P在线段AB的反向延长线上 D点P不 在 直 线 AB上
? ? ?

b ? (?1, x) ,若 2 a ? b 与 b 垂直,则 a = ( 3、已知 a ? (1, x),

?



A. 2
?

B. 3
?

C .2
? ?

D.4
? ?

4、平面向量 a 与 b 的夹角是 120°, a ? (2,0), b ? 1, 则 a ? 2 b ?





A. 3

B .2

C .3

D.4

5、已知 ?ABC 的三个顶点 A, B, C 及 ?ABC 所在平面内一点 P ,若 PA ? PB ? PC ? 0 ,且 实数 ? 满足 AB ? AC ? ? AP ,则实数 ? =(
? ? ?

?

?

?

?



A.

3 2

B .3

C. ? 1

D.2
? ?

6、如图,在 ?ABC 中, AB ? BC ? 3, ?ABC ? 30?, AD 是边 BC 上的高,则 AD ? AC 的 值等于( )

A.0 C .4
? ?

B.

9 4

D. ?

9 4

j 是平面直角坐标系(坐标原点为 O )内分别与 x 轴、 y 轴的正方向相同的两个单 7、设 i ,
位向量,且 OA ? ?2 i ? j , OB ? 4 i ? 3 j ,则 ?OAB 的面积为 (
? ? ? ? ? ?



A.

2 5 5
?

B .5
?

C .10

D.15
? ?

b ? (2,3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4,?7) 共线,则 ? ? 8、设向量 a ? (1,2),
9、已知向量 a 与 b 满足 a ? 3, b ? 2, a 与 b 的夹角为 60°,若 ( a ? m b ) ? a ,则实数
? ?

?



?

?

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m?



10、定 义 f ( M ) ? (m, n, p) , 其 中 M 是 ?ABC 内 的 一 点 , m, n, p 分 别 是

?ABC 中, AB ? AC ? 2 3,?BAC ? 30?, ?M B ,C ?M C ,A ?M A 的面积,已知在 B

?

?

1 1 4 f ( M ) ? ( , x, y ) ,则 ? 的最小值为 2 x y


? ? ?

11、如图,在 ?OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点, OP ? x ? OA? y ? OB (1)若 BP ? PA ,求 x , y 的值; (2)若 BP ? 3 PA, OA ? 4, OB ? 2 ,且
? ?
? ?

?

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?

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OA 与 OB 的夹角为 60°,求 OP ? AB 的值。

(cos 12、已知向量 m ?

?

? ? ? x x x ,?1) ,n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,设函数 f ( x) ? m? n 2 2 2

(1)求 f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的零点;(2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 且满足 b ? ac ,求 f ( B ) 的取值范围。
2


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