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高中必修一数学复习教案(第一章 集合与函数概念 总结)


高中数学必修一复习课件(4) ——公式和总练习题
一、集合 1、含义与表示: (1)集合中元素的特征:确定性,互异性,无序性 (2)集合的分类;有限集,无限集 (3)集合的表示法:列举法,描述法,图示法 2、集合间的关系:子集:对任意 x ? A ,都有 x ? B ,则称 A 是 B 的子集。记作 A ? B 真子集:若 A 是 B 的子集,且在 B 中至少存在一个元素不属于 A,则 A 是 B 的真子集, 记作 A ? B
?

集合相等:若: A ? B, B ? A ,则 3. 元素与集合的关系:属于 ? 4、集合的运算:

A? B
空集: ?

不属于: ?

并集:由属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫并集,记为 A ? B 交集:由集合 A 和集合 B 中的公共元素组成的集合叫交集,记为 A ? B 补集:在全集 U 中,由所有不属于集合 A 的元素组成的集合叫补集,记为 CU A 5. 集合 {a1 , a2 ,? , an } 的子集个数共有 2
n

个; 真子集有 2 –1 个; 非空子集有 2
*

n

n

–1 个;

【必记】 6.常用数集:自然数集:N 正整数集: N 二、函数的奇偶性 1、定义: 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) 偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )(注意定义域) 2、性质: (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形; (2)偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形;

整数集:Z 有理数集:Q 实数集:R

(3)如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数; (4)如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数.
用于数学基础较弱的高中学生的基础复习教案 2012-11-17 广州市天河区东圃中学文科班

二、函数的单调性 1、定义:对于定义域为 D 的函数 f ( x ),若任意的 x1, x2∈D,且 x1 < x2 ① ②

f ( x1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) > f ( x 2 ) <=>
2

f ( x1 ) – f ( x2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数

三、二次函数 y = ax +bx + c( a ? 0 )的性质 1、顶点坐标公式: ? ? ?

?

b 4ac ? b 2 , 4a ? 2a

? 4ac ? b 2 b ? , 对称轴: x ? ? ,最大(小)值: ? 4a 2a ?

2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ;
2

(2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ;
2

(3)两根式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 习题: 1.已知集合 A ? {x | x ? 1} , B ? {x | ax ? 1} .若 B ? A ,求实数 a 的值.
2

2.求下列函数的定义域: (1) y ? (2) y ?

x?2? x?5 ;

x?4 . | x | ?5

3.已知函数 f ( x) ?

1? x ,求: 1? x
(2) f (a ? 1)(a ? ?2) .

(1) f (a) ? 1(a ? ?1) ;

1 ? x2 4.设 f ( x) ? ,求证: 1 ? x2
(1) f (? x) ? f ( x) ;
2

(2) f ( ) ? ? f ( x) .

1 x

5.已知函数 f ( x) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5, 20] 上具有单调性,求实数 k 的取值范围. 【选做,计算量较大】6.证明:

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; )? 2 2 x ? x2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 2 (2)若 g ( x) ? x ? ax ? b ,则 g ( 1 . )? 2 2
(1)若 f ( x) ? ax ? b ,则 f ( 答案: 1.解:显然集合 A ? {?1,1} ,对于集合 B ? {x | ax ? 1} ,

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当 a ? 0 时,集合 B ? ? ,满足 B ? A ,即 a ? 0 ; 当 a ? 0 时,集合 B ? { } ,而 B ? A ,则 得 a ? ?1 ,或 a ? 1 , 综上得:实数 a 的值为 ?1, 0 ,或 1 . 则 ( A ? B) ? ( B ? C ) ? {(0, 0), ( , ? )} . 2.解: (1)要使原式有意义,则 ?

1 a

1 1 ? ?1 ,或 ? 1 , a a

3 5

9 5

?x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 , ?x ? 5 ? 0

得函数的定义域为 [2, ??) ;

(2)要使原式有意义,则 ?

?x ? 4 ? 0 ,即 x ? 4 ,且 x ? 5 , ?| x | ?5 ? 0

得函数的定义域为 [4,5) ? (5, ??) .

3.解: (1)因为 f ( x) ?

1? x , 1? x 1? a 1? a 2 所以 f (a) ? ,得 f (a) ? 1 ? , ?1 ? 1? a 1? a 1? a 2 即 f (a) ? 1 ? ; 1? a 1? x (2)因为 f ( x) ? , 1? x 1 ? ( a ? 1) a 所以 f (a ? 1) ? , ?? 1? a ?1 a?2 a 即 f (a ? 1) ? ? . a?2
1 ? x2 , 1 ? x2
1 ? (? x) 2 1 ? x 2 ? ? f ( x) , 1 ? (? x) 2 1 ? x 2

4.证明: (1)因为 f ( x) ?

所以 f (? x) ?

即 f ( ? x) ? f ( x) ;

1 ? x2 (2)因为 f ( x) ? , 1 ? x2

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1 1 ? ( )2 2 1 x ? 1 ? x ? ? f ( x) , 所以 f ( ) ? x 1 ? ( 1 )2 x 2 ? 1 x 1 即 f ( ) ? ? f ( x) . x k 5.解:该二次函数的对称轴为 x ? , 8
函数 f ( x) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5, 20] 上具有单调性,
2

k k ? 20 ,或 ? 5 ,得 k ? 160 ,或 k ? 40 , 8 8 即实数 k 的取值范围为 k ? 160 ,或 k ? 40 . x ? x2 x ?x a 6.证明: (1)因为 f ( x) ? ax ? b ,得 f ( 1 ) ? a 1 2 ? b ? ( x1 ? x2 ) ? b , 2 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ax1 ? b ? ax2 ? b a ? ? ( x1 ? x2 ) ? b , 2 2 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以 f ( 1 ; )? 2 2
则 (2)因为 g ( x) ? x ? ax ? b ,
2

x1 ? x2 x ?x 1 ) ? ( x12 ? x2 2 ? 2 x1 x2 ) ? a( 1 2 ) ? b , 2 4 2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 ? [( x12 ? ax1 ? b) ? ( x2 2 ? ax2 ? b)] 2 2 x ?x 1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? a( 1 2 ) ? b , 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 因为 ( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) ? 0 , 4 2 4 1 2 1 2 2 2 即 ( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ) ? ( x1 ? x2 ) , 4 2 x1 ? x2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 所以 g ( . )? 2 2
得 g(

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