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山东省淄博一中2012-2013学年高一上学期期末考试(数学)


2012-2013 学年高一第一学期期末考试

数学试题
注意事项:
1.答第I卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号,考试科目涂写在答题卡上; 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号,不能答在试题卷上.

[来源:GkStK.Com] 第 I 卷(选择

题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的). 1、下列四组中 f ?x ?, g ?x ? 表示相等函数的是 A. f ? x ? ? x, g ? x ? ? C. f ? x ? ? 1, g ? x ? ? ( )

? x?
x x

2

B. f ?x? ? x, g?x? ? 3 x 3 D. f ?x? ? x, g ?x? ? x

2、点 P 从 ?1,0? 出发,沿单位圆逆时针方向运动 A. ? ?

4? 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标为 3
D. ? ?

? 1 3? ? ? 2, 2 ? ? ?

B. ? ?

? ? ?

3 1? ,? ? 2 2? ?

C. ? ?

? ? ?

3 1? , ? 2 2? ?

? 1 3? ? ,? ? 2 2 ? ? ?


3、下列函数是偶函数,且在 ?? ?,0? 上单调递减的是 A. y ?



1 x

B. y ? 1 ? x 2 (

C. y ? 1? 2 x ) B.

D. y ? x

4、下列式子正确的是
3 A. a a ?

a ?a ? 0 ?

lg 6 ? lg 6 ? lg 2 lg 2

C. a

?2

?
0 .5

1 a

?a ? 0?

D. lg??? 3? ? ?? 5?? ? lg?? 3? ? lg?? 5?

5、三个数 6

, 0.5 6 ,

log0.5 6 的大小顺序为





A. log0.5 6 ? 0.56 ? 60.5 C. 0.56 ? 60.5 ? log0.5 6 6、为了得到函数 y ? sin(2 x ?

B. log0.5 6 ? 60.5 ? 0.56 D. 0.56 ? log0.5 6 ? 60.5

?
3

) 的图像,只需把函数 y ? sin 2 x 的图像(

)

A.向左平移 C.向左平移
x

?
3

个长度单位 个长度单位

B.向右平移 D.向右平移 (

?
6

个长度单位 个长度单位

?
6

?
3

7、方程 2 ? x ? 4 的根所在区间为 A. ?? 1,0? B. ?0,1?

) D. ?2,3? )

C. ?1,2?

8、函数 y ? a x?2 ? log a ( x ?1) +1(a>0,a≠1)的图象必经过定点 ( A.(0,1) B.(2,1) C.(2,2) D.(2,3)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9、已知向量 a 、 b 、 c ,且满足 a + b + c = 0 ,| a |=3,| b |=4,| b |=5,设 a 与 b ? ? ? ? 的夹角为 ? 1 , b 与 c 的夹角为 ? 2 , a 与 c 的夹角为 ? 3 ,则它们的大小关系是( A. ?1 ? ? 2 ? ?3 B. ?1 ? ?3 ? ? 2 C. ? 2 ? ?3 ? ?1 D. ?3 ? ? 2 ? ?1 ) )

10、函数 y ? cos x tan x ( 0 ? x ? ? 且 x ?

? )的图象为 ( 2

11、若 sin ? A. ?

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? = ?6 ? 3 ? 3 ?
7 9
B. ?





? ? ? ? 12、如下图,在△ABC中,设AB= a ,AC= b ,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P, ? ? ? 若AP=m a +n b ,则 m ? n ? ( ) A.

1 3

C.

1 3

D.

7 9

1 2

B.

2 3

C.

4 5

D.

6 7

C

P

[来源:高[考∴试﹤题∴库 GkStK]
A

Q R B

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 40 分,把正确答案填写在题中的横线上,或按题目要求作
答).

13、已知 f ( x ? 1) ? x 2 ? 2x ,则 f (2) ? 14、若幂函数的图象经过点( 2 , 函数(只填单调性) .



2 ) ,则该函数在(0, ? ?) 上是 2

15、若集合 A ? x 3 cos 2? x ? 3 x , x ? R , B ? y y 2 ? 1 , y ? R ,则: A∩B= . .

?

?

?

?

? ? ? ? ? 16、已知 a =(1,2), b =(-2,k),若 a ∥( a + b ),则实数 k 的值为 17、

1 ? tan15? ? 1 ? tan15?



角为

18、已知一扇形所在圆的半径为 10cm,扇形的周长是 45cm,那么这个扇形的圆心 弧度.

19、某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额, ①如果不超过 200 元,则不予优惠, ②如果超过 200 元,但不超过 500 元,则按标准价给予 9 折优惠, ③如果超过 500 元,则其 500 元按第②条给予优惠,超过 500 元的部分给予 7 折优惠; 某人两次去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设他只去一次购买上述同样的商品,则应 付款是 元. 20、已知函数 f ( x) ? cos x sin x ,给出下列四个说法: ①若 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x2 ,②点 (? ,0) 是 f (x) 的一个对称中心, ③ f (x) 在区间 [ ? 其中正确说法的序号是

? ?

3? , ] 上是增函数,④ f (x) 的图象关于直线 x ? 对称. 4 4 4
.(只填写序号)

三、解答题(本题满分 50 分,共 4 个题,解答题要求写出必要的解答过程,证明题要求写 出详细的证明步骤). 21、 (本小题满分 12 分) ? ? ? ? ? ? ? ? 2 已知| a |=1,| b |= 2;(I)若 a . b = ,求 a 与 b 的夹角;(II)若 a 与 b 的夹角为 2 ? ? 135? ,求| a + b |.

22、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 5sin x cos x ? 5 3 cos x ?
2

5 3 , Ⅰ) ( 确定函数 f ( x ) 的单调增区间;Ⅱ) ( 2

当函数 f ( x ) 取得最大值时,求自变量 x 的集合.

23、 (本小题满分 12 分)

? 在一个周期内的部分函数图象如图 2? 所示, (I)求函数 f ?x ? 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ?x ? 在区间 ?0,1? 上的最大值和最小值.
y

已知函数 f ?x ? ? A sin ??x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0, ? ?

? ?

??

[来源:学优高考网]

2

4 3

o 1
3

x

?2

24、 (本小题满分 14 分)[来源:高[考∴试﹤题∴库] ? 已知 A, B, C 为锐角 ?ABC 的三个内角,向量 m ? (2 ? 2sin A,cos A ? sin A) , ? ? ? n ? (1 ? sin A,cos A ? sin A) ,且 m ⊥ n . (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求下列函数:

y ? 2sin 2 B ? cos(

2? ? 2 B) 的值域. 3

[来源:高[考∴试﹤题∴库]

2012-2013 学年高一第一学期期末考试[来源:学优高考网 GkStK] 数学试题参考答案
题 号 答 案 1 B[来 源: 高 [考 ∴试 ﹤题 ∴ 库] 2 D 3 D 4 A 5 A[来 源:GkStK.Com] 6 B 7 C 8 C 9 B 10 C 11 A 12 D

题号

13

14

15

16

17[来 源:学优 高考网 GkStK]

18

19

20

答案

-1

减[来 源:高 [考∴试 ﹤题∴ 库]
? ?

?1?

-4

3

2.5

546.6

②③④

21、 解: (I)设 a 与 b 的夹角为 ? ,则 cos? ?

a ?b ab

?
?

1 2

……4 分

? ? 因 ? ? 0 ,180 ,所以 ? ? 60 ,故 a 与 b 的夹角为 60
?
? ?

?

?

?

?

……6 分

(II)因 a 与 b 的夹角为 135 ,所以 a? b ? a b cos135? ? ?1 ……8 分
?

?

所以 a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? a ? 2 ? b ? 1 所以 a ? b ? 1 22.解: f ( x) ? …………12 分

2

2

?

2

2

2

……11 分

5 5 3 5 3 5 5 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2 2 2
……6 分

1 3 ? ? 5( sin 2 x ? cos 2 x) ? 5sin(2 x ? ) . 2 2 3
(Ⅰ) 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

? k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? , 12

5? ], (k ? Z ) . ……9 分 12 12 ? ? 5? , k ? Z } 时, f ( x) 有最大值 5.… 12 分 (Ⅱ)当 2 x ? ? ? 2k? ,即 {x | x ? k? ? 3 2 12
所以 f ( x ) 的单调增区间为 [k? ?

?

, k? ?

23、解: (1)由函数图象知 A ? 2

……………………………………1 分

T 4 1 ? ? ?1 2 3 3 2? ?T ? 2 ? 则 ? ? ? …………………………………………3 分 ?

?

? f ?x? ? 2 sin??x ? ? ?
又由 ? ? ? ? 因为 ? ?

1 3

?
2

+2k? (k ? Z ) 得: ? ? 2k? ?

?
6

(k ? Z ) ,

?
2

,所以 ? ?

?
6

……………………………………………5 分

故 f ?x ? ? 2 sin ? ?x ?

? ?

??
? 6?

………………………………………6 分

(2)法Ⅰ:? 0 ? x ? 1 ,?

?
6

? ?x ?

?
6

?

7? …………… 9 分 6
……………………… 11 分

??

1 ? ? ? sin(?x ? ) ? 1 ? ?1 ? 2 sin(?x ? ) ? 2 2 6 6 ,

故 f ?x ? 在区间 ?0,1? 上的最大值为 2 ,最小值为 ? 1 .………………12 分 法Ⅱ:由函数的图象知:直线 x ?

1 是函数 f ?x ? 的对称轴, 3

则 f ?x ? 在 ?0, ? 上单调递增,在 ? ,1? 上单调递减.…………………9 分 3 3 故 f ?x ?max ? f ? ? ? 2

? 1? ? ?

?1 ? ? ?

?1? ? 3?

f ?x ?min ? f ?1? ? ?1 …………………11 分

即 f ?x ? 在区间 ?0,1? 上的最大值为 2 ,最小值为 ? 1 .…………………12 分

?? ? ?m?n, 24、解: (Ⅰ)
A ) n ? ( 2? 2 s i n ?( 1 As i? ) A (? o sA c s i A ? ) ( cA s………… 2 分 0 n o? sin )

? 2(1 ? sin A) ? sin A ? cos A
2 2 2

? 2cos2 A ? 1 ? 2cos2 A ? cos2 A ?

1 4.

… 5分

? ?ABC 是锐角三角形,

?cos A ?

1 ? ? A? 2 3 .…………………6 分

? (Ⅱ)? ?ABC 是锐角三角形,且 A ? ,
3

?

?
6

?B?

?
2

……8 分

? y ? 2sin 2 B ? cos(

2? 1 3 ? 2B) ? 1 ? cos 2 B ? cos 2 B ? sin 2 B 3 2 2

?
?

3 3 ? sin 2 B ? cos 2 B ? 1 ? 3 sin(2 B ? ) ? 1 ………………… 10 分 2 2 3

?
6

?B?

?
2

,? 0 ? 2 B ?

?
3

?

2? ? ,? 0 ? sin(2 B ? ) ? 1 3 3

? y ? (1,1 ? 3]

…………… 14 分

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