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广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高考模拟考试文科数学试卷(4)


广东省汕头市澄海凤翔中学 2015 届高考模拟考试(4)

文科数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、已知集合 ? ? ? x 2 ? x ? 7? , ? ? ? x 3 ? x ? 10? ,则 ? ? ? ? ( A.? 2,10? 2、 i

是虚数单位, A. D.
1? i 2

) D.? 7,10?

B.?3,7 ?
1 ?i ? ( 1? i

C.? 2,3? ) B.
1? i 2

C.

1 ? 3i 2

?1 ? i 2

3、下列函数中,奇函数是( A.f ? x ? ? 2x



B.f ? x ? ? log2 x C.f ? x ? ? sin x ? 1 D.f ? x ? ? sin x ? tan x ? ? ? ? ? 4、已知向量 a ? ? ?3, 4? , b ? ?1, m ? ,若 a ? a ? b ? 0 ,则 m ? ( )

?

?

11 A. 2

? B.

11 2

7 C.

?7 D.

5、 如图, 四棱柱 ??CD ? ?1?1C1D1 中,? 、F 分别是 ??1 、?C1 的中点.下列结论中,正确的是( A. ?F ? ??1 C. ?F ? ?D ) B. ?F// 平面 ?CC1?1 D. ? F ? 平面 ?CC1?1 )
1 3

6、某人午睡醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,他等待的时 间不多于 15 分钟的概率是( A.
1 2 1 4 1 6

B.

C.

D.

?x ? 2 y ? 5 ? 7、若变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 3 ,则 z ? x ? y 的取值范围是( ?y ? 4 ?



A. ? 4, 7?

B. ??1,7?

?5 ? C. ,7 ? ?2 ? ?

D. ?1,7?

?? ? 8、将函数 f ? x ? ? sin ? x ? ? 的图象向右平移 ? ( ? ? 0 )个单位长度,得到的曲线 3? ?
经过原点,则 ? 的最小值是( )

? A. 12

? B. 6


? C. 4

? D. 3

9、下列命题中,错误的是(

A.在 ??? C 中, ? ? ? 是 sin ? ? sin ? 的充要条件 B.在锐角三角形 ?? C 中,不等式 sin ? ? cos ? 恒成立 C.在 ??? C 中,若 a cos ? ? b cos ? ,则 ??? C 必是等腰直角三角形 D.在 ??? C 中,若 ? ? 60? , b2 ? ac ,则 ??? C 必是等边三角形 10、设 f ? x ? , g ? x ? 都是定义在实数集上的函数,定义函数 ? f ? g ?? x ? : ?x ? R ,

? x, x ? 0 ?e x , x ? 0 f ? g x ? f g x ? ? .若 , ,则( f x ? g x ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? x , x ? 0 ln x , x ? 0 ? ?
A. ? f ? f ?? x ? ? f ? x ? C. ? g ? f ?? x ? ? g ? x ? B. ? f ? g ?? x ? ? f ? x ? D. ? g ? g ?? x ? ? g ? x ?



二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (一)必做题(11~13 题) 11、命题“若 a 、 b 都是偶数,则 a ? b 是偶数”的逆命题是 12、数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , ?n ? ?? , an ?1 ?
1 ,则 a2015 ? 1 ? an

. .

13、某班甲、乙两位同学升入高中以来的 5 次数学考试成 绩的茎叶图如图,则乙同学这 5 次数学成绩的中位数 是 ;已知两位同学这 5 次成绩的平均数都是 84 , (第二个空填“甲”或“乙” ) .

成绩比较稳定的是

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14 、 ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 直 角 坐 标 系 x?y 中 , 曲 线 C1 的 方 程 是
? ? x ? 3t ( t 为参数) ,则 C1 与 C2 交点的直角坐标 x2 ? 2 y 2 ? 5 , C2 的参数方程是 ? ? ?y ? ? t





15、 (几何证明选讲选做题)如图, ? ? 的两条割线与 ? ? 交 于 ? 、 ? 、 C 、 D ,圆心 ? 在 ??? 上,若 ?C ? 6 , CD ?
?? ? 12 ,则 ?? ?

22 , 3



三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. )

16、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2x ? x ? R ? .

?1? 求 f ? x ? 的最小正周期和最大值;
? 2 ? 若 ? 为锐角,且 f ? ?? ?
?

??

2 ,求 tan 2? 的值. ?? 8? 3

17、 (本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期中 考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分 的整数) 分成六段: ?, ?40,50? ,?50,60? , ?90,100? 后得到如图的频率分布直方图. ?1? 求图中实数 a 的值;

? 2 ? 若该校高一年级共有学生 640 人,试估计该校
高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数; ? 3? 若从数学成绩在 ?40,50? 与 ?90,100? 两个分数段 内的学生中随机选取两名学生, 求这两名学生的数 学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.

18、 (本小题满分 14 分)已知梯形 ?? CD 中, ?D//? C , ???C ? ???D ?
?? ? ?C ? 2?D ? 4 , ? 、 F 分别是 ?? 、 CD 上的点,?F//?C , ?? ? x .沿 ? F 将 梯形 ?? CD 翻折,使平面 ??FD ? 平面 ??CF (如图) . G 是 ? C 的中点. ?1? 当 x ? 2 时,求证: ?D ? ?G ;

?
2



? 2 ? 当 x 变化时,求三棱锥 D ? ?CF 的体 积 f ? x ? 的函数式.
19、 (本小题满分 14 分)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知数列

? S ? 是首项为1 ,公差为1 的等差数列.
n

?1? 求数列 ?an ? 的通项公式;
n L 1 ,若不等式 ? bi ? 对任意 n ? ?? 都成立, ? 2 ? 令 bn ? 2n ? 1 ? 1 an S2 n?1 ? an?1S2 n?1 i ?1

求实数 L 的取值范围.

20、 (本小题满分 14 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的一个焦点与抛物线 a 2 b2

? : y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点重合,椭圆 C 的离心率为

??? ? ???? ??? ? 在点 ? ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 ?? ? ?? ? ?? 成立?若存在,求出所有 的 ? 的坐标与 l 的方程;若不存在,请说明理由.

?1? 求椭圆 C 和抛物线 ? 的标准方程; ? 2 ? 设直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F 且与椭圆 C 交于 ? , ? 两点,在椭圆 C 上是否存

? 6 ? 3 且过点 ? ? 2 ,1? ?. 3 ? ?

21、 (本小题满分14分)已知函数 f ? x ? ? ?x3 ? ax2 ? b ( a , b ? R ) .

?1? 求函数 f ? x ? 的单调递增区间; ? 2 ? 若对任意 a ??3, 4? ,函数 f ? x ? 在 R 上都有三个零点,求实数 b 的取值范围.

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 B 6 C 7 D 8 D 9 C 10 A

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (一)必做题(11~13 题) 11、若 a ? b 是偶数,则 a 、 b 都是偶数 12、 ?1 13、 82 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14、 甲

?

3, ?1

?

15、 16

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 16、解: ?1? f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2 x

? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 ? 2? ? 2 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? ? ? ? ?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ? 2? ∴ f ? x ? 的最小正周期为 ? ? , 最大值为 2 . 2 分 ?? 2 ? 2? ∵ f ? ?? ? ? ? 8? 3 ?

?? 2 分 ?? 3 分 ?? 4 分 ?? 6

?? 2 ? ∴ 2 sin ? 2? ? ? ? 2? 3 ? 1 ∴ cos 2? ? 3
∵ ? 为锐角,即 0 ? ? ? ∴ 0 ? 2? ? ?

?? 7 分 ?? 8 分

?
2
2 2 3

∴ sin 2? ? 1 ? cos 2 2? ? ∴ tan 2? ?
sin 2? ?2 2 cos 2?

?? 10 分 ?? 12 分

17、解: ?1? 由于图中所有小矩形的面积之和等于1 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ? a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 ????????????1 分 解得 a ? 0.03 ???????????????????????????2 分

? 2 ? 成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 ??3 分
由于该校高一年级共有学生 640 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一 年级数学成绩不低于 60 分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人??????????? 5分

? 3? 成绩在 ? 40,50 ? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人,分别记为 A , B ???6 分
成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人,分别记为 C , D , E , F ??7 分 若从数学成绩在 ? 40,50 ? 与 ?90,100? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则 所有的基本事件有: ? A, B ? , ? A, C ? , ? A, D ? , ? A, E ? , ? A, F ? , ? B, C ? , ? B, D ? ,

? B, E ? ,? B, F ? ,? C , D ? ,? C , E ? ,? C , F ? ,? D, E ? ,? D, F ? ,? E , F ?
9分

共 15 种???

如果两名学生的数学成绩都在 ? 40,50 ? 分数段内或都在 ?90,100? 分数段内,那么这 两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 ? 40,50 ? 分数段 内,另一个成绩在 ?90,100? 分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一 定大于 10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M ,则事 件 M 包含的基本事件有:? A, B ? ,? C , D ? ,? C , E ? ,? C , F ? , ? D, E ? ,? D, F ? ,? E , F ? 共 7 种???11 分

所以所求概率为 P ? M ? ?

7 ?????????????????????12 分 15

18、 ?1? 证明:作 DH ? EF ,垂足 H ,连结 BH , GH ??????????2 分 ∵平面 AEFD ? 平面 EBCF ,交线 EF , DH ? 平面 EBCF , ∴ DH ? 平面 EBCF 又 EG ? 平面 EBCF 故 EG ? DH ??????????????4 分 1 ∵ EH ? AD ? BC ? BG , EF // BC , ?ABC ? 90? 2 ∴四边形 BGHE 为正方形 故 EG ? BH ??????????????6 分 又 BH 、 DH ? 面 DBH ,且 BH ? DH ? H 故 EG ? 面 DBH 又 BD ? 面 DBH 故 EG ? BD ??????????????8 分

? 2 ? 解:∵ AE ? EF ,平面 AEFD ? 平面 EBCF ,交线 EF , AE ? 平面 AEFD .
∴ AE ? 面 EBCF 又由 ?1? DH ? 平面 EBCF 故 AE // GH ??????????????10 分 ∴四边形 AEHD 是矩形, DH ? AE 故以 F 、 B 、 C 、 D 为顶点的三棱锥 D ? BCF 的高 DH ? AE ? x ??????11 分 1 1 又 S ?BCF ? BC ? BE ? ? 4 ? ( 4 ? x ) ? 8 ? 2 x ??????????????12 分 2 2 1 1 ∴三棱锥 D ? BCF 的体积 f ( x) ? S ?BFC ? DH ? S ?BFC ? AE 3 3 1 2 8 ? (8 ? 2 x ) x ? ? x 2 ? x ??????14 分 3 3 3 19、解: ?1? ∵数列 S n 是首项为,公差为的等差数列

? ?

∴ S n ? 1 ? ? n ? 1? ? n ∴ S n ? n 2 ??????????????2 分 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1
2

又 a1 ? 1 适合上式 ∴ an ? 2n ? 1 ??????????????4 分 1 1 ? ? 2 ? bn ? an S 2 n ?1 ? an ?1S 2 n ?1 ? 2n ? 1? 2n ? 1 ? ? 2n ? 1? 2n ? 1

?

? 2n ? 1?? 2n ? 1? ?
2n ? 1 ? 2n ? 1 2

1 2n ? 1 ? 2n ? 1

?

?

? 2n ? 1?? 2n ? 1?

1? 1 1 ? ? ? ? ? ??????????????6 分 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
∴ ? bi ? b1 ? b2 ? ? ? bn
i ?1 n

1 ? 2n ? 1 ? 1 ??????????????8 分 ?? 2n ? 1 ? 2 2n ? 1 n L 故要使不等式 ? bi ? 对任意 n ? N 都成立 2n ? 1 ? 1 i ?1 L 2n ? 1 ? 1 即 对任意 n ? N 都成立 ? 2n ? 1 ? 1 2 2n ? 1
对任意 n ? N 都成立???????10 分 2n ? 1 ? n ? 1? 2n ? 1 ? 2n3 ? 5n 2 ? 4n ? 1 ? 1 . c n 令 cn ? ,则 n ?1 ? cn n 2n ? 3 2n ? 1 2n3 ? 3n 2 ∴ cn ?1 ? cn 得L ?

1? ? ?1 ? 2? 1? ? ?1 ? 2?

1 ? 1? 1 1 ? 1? 1 1 ? ? ? ?? 2? ? ?? ? 2 ? ? 3? 5? 2n ? 1 ? ? 3 ? 2n ? 1

?

2n ? 1 ? 1

??

2n ? 1 ? 1

2 2n ? 1

??

n

∴ cn ? cn ?1 ? ? ? c1 ? ∴L ?
3 3

3 ??????????????12 分 3

? 3? ∴实数 L 的取值范围为 ? ??????????????14 分 ? ??, 3 ? ? ?

20、解: ?1? 由已知得

c 3 ,? a ? 3c ,? b ? a 2 ? c 2 ? 2c ? a 3
2

? 6? ? ? 2 ? ? 6 ? 1 ? ? 2 ? 1 ,解得 又椭圆过点 ? ? 2 , 1? ? ,代入椭圆方程得 3c 2 2c ? ?
c ? 1 , ? a ? 3 , b ? 2 , ? 所求椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ?????4 分 3 2

由已知抛物线 ? : y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点与椭圆的一个焦点重合

?

p ? 1 , ? 抛物线 ? 的标准方程为 y 2 ? 4 x ???????????7 分 2

? 2 ? 假设存在满足题设条件的直线
由题意知直线的斜率不为 0,设直线的方程为 x ? ty ? 1 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

? ty ? 1? .把 x ? ty ? 1 代入椭圆方程得
3

2

?

y2 ? 1 ,整理得 2

? 2t

2

? 3? y 2 ? 4ty ? 4 ? 0 ????????????????????10 分
2t ? 3

4t 由韦达定理得 y1 ? y2 ? ? 2

? x1 ? x2 ? ? ty1 ? 1? ? ? ty2 ? 1? ? ?
4t ? ? 6 ?P? 2 ,? 2 ? 2t ? 3 ? ? 2t ? 3

4t 2 6 ?2? 2 2 2t ? 3 2t ? 3

4t ? ? 6 ? ? ? 2 ? ?? 2 ? 2t ? 3 ? ? 2t ? 3 ? ? ? ? 1 ,化简整理得 4t 4 ? 4t 2 ? 3 ? 0 ? P 在椭圆上,? 3 2
? ? 2t 2 ? 3?? 2t 2 ? 1? ? 0

2

2

?t 2 ?

1 2 ,?t ? ? 2 2

当t ?

?3 2 2? 时,点 P 的坐标为 ? ,直线的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 , ? ? ?2 ? 2 2 ? ? ?3 2 2? 时,点 P 的坐标为 ? ,直线的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ??14 分 , ? ? ? 2 ?2 2 ?

当t ? ?

21、解: ?1? 因为 f ( x) ? ? x 3 ? ax 2 ? b
2a ? ? 所以 f ?( x) ? ?3 x 2 ? 2ax ? ?3 x ? x ? ? ???1分 3 ? ?

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 没有单调递增区间???????????2 分 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ?
2a 3

? 2 ? 故 f ( x) 的单调递增区间为 ? 0, a ? ??3 分 ? 3 ?

当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得

2a ?x?0 3

?2 ? 故 f ( x) 的单调递增区间为 ? a, 0 ? ??4 分 ?3 ?

综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 没有单调递增区间;当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单
? 2 ? ?2 ? 调递增区间为 ? 0, a ? ;当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? a, 0 ? ???5 ? 3 ? ?3 ?



? 2 ? 由 ?1? 知,a ? ?3, 4? 时,f ( x) 的单调递增区间为 ? ? 0,
? ?2 ? 和 ? a, ?? ? ?????????????6 分 ?3 ?

2 ? 单调递减区间为 ? ??, 0 ? a?, 3 ?

所以函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值 f ? 0 ? ? b ??????????????7 分 函数 f ( x) 在 x ?
2a 处取得极大值 3
3 ? 2a ? 4a f ? ?? ? b ????????????8 分 ? 3 ? 27

由于对任意 a ? ?3, 4? ,函数 f ( x) 在 R 上都有三个零点

?f ? 所以 ? ?f ?
解得 ?

? 0 ? ? 0,

?b ? 0, ? 即 ? 4a 3 ?????????????????10 分 ? 2a ? ? 0. ? b ? 0. ? ? ? ? 27 ? 3 ?

4a 3 ? b ? 0 ????????????????????????11 分 27 4a 3 恒成立 27

因为对任意 a ? ?3, 4? , b ? ?

? 4a 3 ? 4 ? 33 ? ? ? ?4 ???13 分 所以 b ? ? ? ? 27 ? 27 ? max
所以实数 b 的取值范围是 ? ?4, 0 ? ?????????????????14 分


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